计算机辅助设计之Bézier曲线

1、计算机辅助设计一：两条Bzier曲线如何求交点？1. Bzier曲线的定义： 给定空间n+1个点的位置矢量Pi ( i=0,1,2,n )，则Bzier曲线可定义为： 其中，Pi(i=0,1, ,n)构成该Bzier曲线的特征多边形，Bi,n(t)是n次Bernstein基函数： 控制顶点 特征多边形2.Bernstein基函数的性质 (1) 正性 (2) 端点性质 Bi,n(0)= Bi,n(1)=1, i=00, i01, i=n0, in在Bernstein基函数 曲线的次数。由排列组合和导数运算规律可以推导出Bernstein基函数的如下性质：中，n为基本 (3) 权性 由二项式定理可

2、知： (4) 对称性： 因为 (5) 递推性 (6) 导函数： (7) 最大值 即高一次的Bernstein基函数可由两个低一次的Bernstein调和函数线性组合而成。Bi,n ( t ) 在 t=i/n 处达到最大值。3. Bzier曲线的性质（1）端点性质： Bezier曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、终点重合。 Bezier曲线起点和终点处的二阶导 矢只与相邻的3个顶点有关。r阶导矢只与r+1个相邻点有关。 Bezier曲线起点和终点处的切线方向和特征多边形的第一条边及最后一条边的走向一致。（2）对称性：由控制顶点构造出的新Bezier曲线，与原Bezier曲线形状相同，走向

3、相反。（3）凸包性：意味着Bezier曲线P(t)在 中各点是控制点Pi的凸线性组合，即曲线落在Pi构成的凸包之中。（4）几何不变性： Bezier曲线位置与形状与其特征多边形顶点Pi (i=0,1,n)的位置有关，它不依赖坐标系的选择。（5）变差缩减性 ： Bezier曲线比其特征多边形的波动还小，也就是说Bezier曲线比特征多边形的折线更光顺。二：Bzier 曲线的递推公式例如：抛物线三切线定理设P0，B，P2是抛物线上顺序三个不同的点，过P0，P2的两条切线交于P1，B点的切线交P0P1和P2P1于Q0和Q1，则有下式成立假设比例为t：（1-t），则：得 它表示由三个顶点P0，P1，P

4、2定义的一条二次Bzier 曲线，并且表明：这条二次Bzier 曲线B可以定义为分别由前两个顶点（ P0，P1 ）和后两个顶点（ P1，P2 ）决定的一次Bzier 曲线的线性组合。 以此类推，由4个控制点定义的三次Bzier 曲线可被定义为分别由（ P0，P1，P2 ）和（ P1，P2 ，P3 ）确定的两条二次Bzier 曲线的线性组合。三：Bzier曲线的拼接 若给定两条Bezier曲线P(t)和Q(t)，相应控制点为Pi(i=0, 1, ., n)和Qj(j=0,1,., m) P3Q0P2P1P0Q1Q2Q3 若给定两条Bezier曲线P(t)和Q(t)，相应控制点为Pi(i=0, 1

5、, ., n)和Qj(j=0,1,., m) (1) 使达到G0 连续的充要条件是：Pn=Q0 (2) 要使达到G1连续的充要条件是：Pn-1，Pn=Q0，Q1三点共线 (3) 使达到G2 连续的充要条件是：在 G1连续的条件下，满足：闭合曲线能通过使最后一个控制点与第一个控制点重合获得. 1阶连续可以通过保证前两个点和后两个点的切线相同来获得. 四：Bzier曲线分割给定控制顶点Pi(i=0,1,n)及一参数值，由de Casteljau（ /wiki/De_Casteljau%E7%AE%97%E6%B3%95）算法求出相应Bzier曲线上的一点。该点把曲线一分为二，分成两条子线段：怎样求出定义这两条子曲线段的Bzier点，就是Bzier曲线的分割问题。Bzier曲线的分割可由执行de Casteljau算法时同时得到。五： Bzier曲线的求交。曲线是点的集合，只要比较取得两个集合的交点。两条Bzier曲线的公式相减，值为零