高中 高二 数学 等比数列的概念 教学设计

1、中科附高 中科附高 刘小秀4.3.1 等比数列的概念中科附高 刘小秀一、内容与内容解析1.内容：等比数列的定义、等比数列的通项公式、等比中项，等比数列与函数的关系，学习等比数列的必要性2.内容解析：研究等比数列的必要性：数列是高中数学的重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承上启下的作用。一方面数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面学习数列也为大学内容学习数列的极限做好铺垫。等比数列是两类特殊数列中的一种，对于等比数列的研究源于现实生产，生活的需要。探索它的取值规律，建立它的通项公式和前n项和公式，并应用它们解决实际问题。例如：生物学上的细胞分裂个数问题、生物体死亡后碳1

2、4的衰退问题、日常生活中的银行存款、贷款问题等。通过数学抽象将实际问题转化为等比数列的知识，并运用等比数列的相关知识进行数学运算、逻辑推理等，最终达到解决实际问题的目的，从中感受数学模型的现实意义与应用。（2）等比数列的概念：等比数列的概念是等比数列在教学中的第一节。通过类比等差数列的研究思路和方法，从运算学的角度出发引出我们要研究的内容。通过分析教材中给出的生物、语文、生活、历史等方面的问题，提取出6组数列，让学生从“运算”上发现取值规律，之后类比等差数列的定义得出等比数列的定义。通过对定义的巩固练习得出等比数列的注意事项。类比等差数列通项公式的推导方法、等差中项的定义让学生独立推导出等比数

3、列的通项和等比中项。本节课的难点分析等比数列的通项公式与函数的关系。为了突出重点突破难点，我将等比数列的通项公式变形为（），不妨设，由此总结得到等比数列的第n项就是指数函数当时的函数值，即。从等比数列角度，等比数列每一项就是指数函数取相应正整数时的函数值，即等比数列的通项公式就是指数函数时的离散函数。反之，已知指数函数，构成一个等比数列，其首项为,公比为，最终阐明等比数列通项公式与指数函数之间的关系，进一步为等比数列的判断指明了方向。3.教学重点：探索并掌握等比数列的通项公式，能运用通项公式解决实际问题.二、目标与目标解析目标：（1）通过实例，理解并抽象出等比数列和等比中项的概念.（2）探索并

4、归纳出等比数列的通项公式，在此过程中发展学生的数学抽象和逻辑推理素养.能运用通项公式解决简单的问题.（3）通过等比数列的定义及等比数列与函数的关系，要求学生会判断和证明一个数列是等比数列目标解析：达成上述目标的标志分别是：给出一个数列会判断并能证明它是不是等比数列；给出两个数能准确判断是否存在等比中项。能够正确利用等比数列的通项公式将实际问题转化为解方程问题，发展学生的数学抽象和逻辑推理素养，并体会数学在实际生活中的价值。三、教学问题诊断解析问题诊断本节课对等比数列公比条件的限定是本节课的一个易错点，“非零”的常数列既是等差数列又是等比数列是本节的第二个易错点。为了让学生发现并解决这两个问题，

5、我以实际问题入手让学生发现问题的本质。等比数列通项公式的推导是本节的一个难点，我采用类比方法解决此问题。等差数列通项公式的推导采用了两种方法分别是：不完全归纳法和叠加法，通过类比等差数列让学生总结出等比数列通项公式的推导方法。其中不完全归纳法的间接代换学生可以完成；根据叠加法的原理教师积极的引导学生的思考方向进而总结得到叠乘法的过程，最终完成等比数列通项公式的推导。通过学生直接参与知识的产生过程，让学生体会到收获知识的喜悦。等比数列与函数的关系是本节课的另一个难点。解决方案：我将等比数列的通项公式变形为（），不妨设，由此总结得到等比数列的第n项就是指数函数当时的函数值，即。从等比数列角度，等比

6、数列每一项就是指数函数取相应正整数时的函数值，即等比数列的通项公式就是指数函数时的离散函数。教学难点等比数列与函数之间的关系。四、教学支持条件分析如何讲解等比数列与函数之间的关系是本节课的重点，为了突出这一重点，需要师生借助信息技术手段，通过指数函数的图象让学生发现等比数列的各项实际上就是指数函数取相应正整数时的函数值五、教学过程设计引导语 上节课我们学习了等差数列，它的特点是“从第2项起每一项与它的前一项的差都是同一个常数”，类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的呢？带着这个问题，我们来看下面问题中的数列:1.情境引入2.合作探究探究 等比数列的定义

7、？追问 1 如果一个数列是等比数列，它至少有几项？追问 2 结合等差数列的定义式，将等比数列的文字定义转化为数学符号语言。师生活动：通过类比等差数列归纳探究等比数列的通项公式。 师生活动：学生总结等比数列的定义式，教师点评注意事项。设计意图让学生经历概念的自主建构过程，并让学生体会知识的完备性与纯粹性。巩固练习例 判断下列数列是否是等比数列，若是，则公比是多少，若不是，请说明理由.1）1，3，9，27，； 是 是 1，0，1，0，； 不是 2，2，2，2，； 是 4，-8，16，-32，64，-128； 是 不一定注意事项（1）等比数列中各项均不能为0（2）非零的常数列既是等差数列又是等比数列

8、问题 6 请同学们回忆等差数列的通项公式推导方法有哪些呢？师生活动：方法有两种，分别是不完全归纳法和叠加法，类比等差数列的通项公式的推导方法，等比数列的通项公式也有两中推导方法。教师和学生共同完成等比数列的两种推导方法：设等比数列，首项为，公比为不完全归纳法： 叠乘法 ，共有（n-1）个等式将这（n-1）个等式左右两边相乘得到设计意图 类比等差数列通项公式的推导方法，感受数学知识生产的过程，激发学生进一步学习的动力。问题7 回忆等差中项的定义？追问1 类比等差中项的定义，能否总结出等比中项的定义？如果三个数组成等比数列，那么叫做的等比中项.追问2 如何求等比数列的通项公式?师生活动 设计意图通

9、过问题 7 通过类比等差数列的相关知识，进一步解析等比数列。学以致用下列两个数是否有等比中项？（1）1，9（2）-1，-4（3）-1，1师生活动 按照等比中项的定义，（1）有，答案是；（2）有，答案是 （3）没有设计意图熟悉等比数列的等比中项。知识深化等比数列与指数函数的关系师生活动 当时的函数值，即反之，任意指数函数，则设计意图 阐明等比数列通项公式与指数函数之间的关系，进一步为等比数列的判断指明了方向，也让学生更深层次的了解了数列实际上就是离散型函数的本质。当堂检测 若等比数列的第4项和第6项分别是48和12，求的第5项.师生活动：解法一：通项公式法解得追问 还有没有其它的解题办法？师生活动解法二 等比中项法设计意图 熟练本节课知识，通过解决实际问题，打开学生的思维， 体现知识的灵活性。2 已知等比数列的公比为，试用的第项表示设计意图 本题的关键是利用等比数列的通项公式将等比数列的第项与任意一项联系起来，从而得出等比数列任意两项之间的关系。共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132，