矩阵的初等变换

1、矩阵的初等变换第1页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五1 矩阵的初等变换一、初等变换的概念二、矩阵之间的等价关系三、初等变换与初等矩阵四、初等变换的应用第2页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五引例：求解线性方程组一、矩阵的初等变换消元法第3页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五2第4页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五23 第5页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五 253第6页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五2 第7页，共105页，2022年，5月20日，9点20

2、分，星期五取 x3 为自由未知数，则 令 x3 = c ，则 恒等式无意义可去掉第8页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五上述消元过程中共使用了三种变换： 交换方程的次序，记作 ； 以非零常数 k 乘某个方程，记作 ； 一个方程加上另一个方程的 k 倍，记作 . 上面三种变换都可逆，其逆变换是：iji k ik j第9页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五结论：由于对原线性方程组施行的变换是可逆变换，因此变换前后的方程组同解.在上述变换过程中，实际上只对方程组的系数和常数进行运算，未知数并未参与运算对方程组的变换，可以转换为对矩阵的变换。第10页，共10

3、5页，2022年，5月20日，9点20分，星期五定义1：下列三种变换称为矩阵的初等行变换：对换两行，记作 ；以非零常数 k 乘某一行的所有元素，记作 ； 某一行加上另一行的 k 倍，记作 .其逆变换是：把“行”换成“列”，就得到矩阵的初等列变换的定义 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换 初等变换初等行变换初等列变换第11页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五增广矩阵结论： 对原线性方程组施行的变换可以转化为对增广矩阵的变换系数矩阵加上常数项后称为增广矩阵第12页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五 2第13页，共105页，2022年，5月2

4、0日，9点20分，星期五2 3第14页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五 25 3 第15页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五2第16页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五第17页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五B5 对应方程组为 令 x3 = c ，则 第18页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五备注带有运算符的矩阵运算，用“ = ”例如：矩阵加法数乘矩阵、矩阵乘法矩阵的转置 T（上标）方阵的行列式|不带运算符的矩阵运算，用“”例如：初等行变换初等列变换第19页，共105页，2022年

5、，5月20日，9点20分，星期五有限次初等行变换有限次初等列变换行等价，记作 列等价，记作 二、矩阵之间的等价关系第20页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五有限次初等变换矩阵 A 与矩阵 B 等价，记作第21页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五定义2 若非零矩阵满足可画出一条阶梯线，线的下方全为零； 每个台阶只有一行； 阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.则称此矩阵为行阶梯形矩阵进一步，若还满足非零行的第一个非零元为 1;这些非零元所在的列的其它元素都为零.则称为行最简形矩阵第22页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五B5行

6、最简形矩阵 特征：F左上角是一个单位矩阵，其它元素全为零. 标准形矩阵第23页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五行阶梯形矩阵标准形矩阵由m、n、r三个参数完全确定，其中 r 就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.行最简形矩阵标准形矩阵三者之间的包含关系 第24页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五任何矩阵行最简形矩阵行阶梯形矩阵标准形矩阵有限次初等行变换 有限次初等列变换 有限次初等变换 结论有限次初等行变换 第25页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五定义3：由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种

7、初等矩阵.对调单位阵的两行（列）；(2)以常数 k0 乘单位阵的某一 行（列）；(3)以 k 乘单位阵单位阵的某一 行（列）加到另一 行（列） 三、初等变换与初等矩阵第26页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五(1) 对调单位阵的第 i, j 行（列），记作 Em( i, j ) 记作 E5(3, 5)第27页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五(2)以常数 k0 乘单位阵第 i 行（列）， 记作 E5(3(k) 记作 Em(i(k) 第28页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五(3)以 k 乘单位阵第 j 行加到第 i 行, 记作

8、Em(ij(k)记作 E5(35(k) 以 k 乘单位阵第 i 列加到第 j 列 分行、列 两种理解！第29页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五性质1 设A是一个 mn 矩阵，对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.口诀：左行右列.第30页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五验证第31页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五第32页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五结 论把矩阵A的第 i 行与第 j 行

9、对调，即 .把矩阵A的第 i 列与第 j 列对调，即 .以非零常数 k 乘矩阵A的第 i 行，即 .以非零常数 k 乘矩阵A的第 i 列，即 .把矩阵A第 j 行的 k 倍加到第 i 行，即 .把矩阵A第 i 列的 k 倍加到第 j 列，即 .第33页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五第34页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五因为“对于n 阶方阵A、B，如果AB = E，那么A、B都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵”，所以 一般地， 第35页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五因为“对于n 阶方阵A、B，如果AB = E，那么A、B

10、都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵”，所以 一般地， 第36页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五因为“对于n 阶方阵A、B，如果AB = E，那么A、B都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵”，所以 一般地， 第37页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五结论 初等矩阵的逆矩阵：第38页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五性质2 方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵P1, P2, , Pl，使 A = P1 P2 , Pl 证 充分性A = P1 P2 , Pl 因初等矩阵可逆，有限个初等矩阵的乘积仍可逆，故A可逆必要性A可逆A经过有限次

11、初等行变换成为行最简形矩阵B根据性质1，存在初等矩阵Q1, Q2, , Ql , 使得B 可逆B 为单位矩阵其中注意 此时，B 为行最简形矩阵，具有n 个非零行第39页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五例如第40页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五推论 方阵 A 可逆的充要条件是 .定理1 设有矩阵Amn 与 Bmn，那么 （1） 的充要条件是存在 m 阶可逆矩阵 P ，使 PA = B ；（2） 的充要条件是存在 n 阶可逆矩阵 Q ，使AQ = B；（3） 的充要条件是存在m 阶可逆矩阵 P 及n 阶可逆矩阵 Q，使得PAQ = B .初等行变换

12、初等行变换初等行变换 证 (1)第41页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五四、初等变换的应用第42页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五 解例 1第43页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五第44页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五初等行变换所以第45页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五例 2解第46页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五第47页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五第48页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五行变换

13、列变换第49页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五例 4 求解线性方程组解 将方程组写成矩阵形式 A x = b ，则增广矩阵为第50页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五因为A E，故A 可逆，于是线性方程组有解，且解为r注意：本题在第二章例16（P .45）用克拉默法则与逆矩阵求解过。比较而言，此种方法较为简便快捷，尤其针对变量多、方程多时，更具优越性。或者，利用“初等行变换不改变方程组的解”原理，得第51页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五2 矩阵的秩第52页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五一、矩阵秩的

14、概念定义4：在 mn 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列( k m，kn)，位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它们在 A中所处的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式显然，mn 矩阵 A 的不同 k 阶子式共有 个概念辨析： k 阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式3 阶子式第53页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五与元素a12相对应的余子式相应的代数余子式矩阵 A 的一个 2 阶子块矩阵 A 的一个 2 阶子式第54页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五三阶子式（行列式）子块/分块矩阵a22= 5 的余子式a22= 5

15、的代数余子式第55页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五矩阵 A 的一个 3 阶子式矩阵 A 的 2 阶子式 如果矩阵 A 中所有 2 阶子式都等于零，那么这个 3 阶子式也等于零 那么，如果有一个 2 阶子式不等于零呢？第56页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五定义5：设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R(A)规定：零矩阵的秩等于零但是，A 的4个3阶子式全部等于零！所以，R (A ) = 2第57页，共105页，2

16、022年，5月20日，9点20分，星期五根据行列式按行（列）展开法则可知，矩阵 A 中任何一个 r +2 阶子式（如果存在的话）都可以用 r +1 阶子式来表示如果矩阵 A 中所有 r +1 阶子式都等于零，那么所有 r +2阶子式也都等于零 事实上，所有高于 r +1 阶的子式（如果存在的话）也都等于零 因此矩阵 A 的秩r 就是 A 中非零子式的最高阶数第58页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五矩阵 A 的秩就是 A 中非零子式的最高阶数 显然，若矩阵 A 中有某个 s 阶子式不等于零，则 R(A) s ；若矩阵 A 中所有 t 阶子式等于零，则 R(A) t 若 A

17、 为 n 阶矩阵，则 A 的 n 阶子式只有一个，即|A| 当|A|0 时， R(A) = n ;可逆矩阵（非奇异矩阵）又称为满秩矩阵当|A| = 0 时， R(A) n ;不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为降秩矩阵若 A 为 mn 矩阵，则 0 R(A) min(m, n) R(AT) = R(A) 第59页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五矩阵 A 的一个 2 阶子式矩阵 AT 的一个 2 阶子式所以，AT 的子式与 A 的子式对应相等，从而 R(AT) = R(A) 证明 R(AT) = R(A) 第60页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五例5：求矩

18、阵 A 和 B 的秩，其中解：在 A 中，2 阶子式 A 的 3 阶子式只有一个，即|A|，而且|A| = 0，因此 R(A) = 2 二、矩阵秩的计算第61页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五例5（续）：求矩阵 A 和 B 的秩，其中解（续）：B 是一个行阶梯形矩阵，其非零行有 3 行，因此其 4 阶子式全为零以非零行的第一个非零元为对角元的 3 阶子式 ，因此 R(B) = 3 还存在其它3 阶非零子式吗？第62页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五例5（续）：求矩阵 A 和 B 的秩，其中解（续）：B 还有其它 3 阶非零子式，例如结论：行阶梯形

19、矩阵的秩就等于非零行的行数第63页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五例6：求矩阵 A 的秩，其中 分析：在 A 中，2 阶子式 A 的 3 阶子式共有 (个)，要从40个子式中找出一个非零子式是比较麻烦的后面解决第64页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五一般的矩阵，当行数和列数较高时，按定义求秩是很麻烦的 .行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数.一个自然的想法是用初等变换将一般的矩阵化为行阶梯形矩阵.两个等价的矩阵的秩是否相等？第65页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五定理2：若 A B，则 R(A) = R(B) 证明思路：证明

20、 A 经过一次初等行变换变为 B，则 R(A) R(B) B 也可经由一次初等行变换变为 A，则 R(B) R(A)，于是 R(A) = R(B) 经过一次初等行变换的矩阵的秩不变，经过有限次初等行变换的矩阵的秩仍然不变设 A 经过初等列变换变为 B，则 AT 经过初等行变换变为 BT ，从而 R(AT) = R(BT) 又 R(A) = R(AT) ，R(B) = R(BT)，因此 R(A) = R(B) 第66页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五第 1 步： A 经过一次初等行变换变为 B，则R(A) R(B) 证明：设 R(A) = r ，且 A 的某个 r 阶子式

21、 D 0 当 或 时，在 B 中总能找到与 D 相对应的 r 阶子式 D1 由于D1 = D 或 D1 = D 或 D1 = kD，因此 D1 0 ，从而 R(B) r 当 时，只需考虑 这一特殊情形第67页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五证明（续）：分两种情形讨论：(1) D 中不包含 A的第一行 这时 D 也是 B 的 r 阶非零子式，故 R(B) r (2) D 中包含 A的第一行 这时 B 中与 D 相对应的 r 阶子式 D1 为第68页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五若p = 2，则 D2 = 0，D = D1 0 ，从而 R(B) r

22、 ；若p 2，则 D1kD2 = D 0 ，因为这个等式对任意非零常数 k 都成立，所以 D1、D2 不同时等于零，于是 B 中存在 r 阶非零子式 D1 或 D2，从而 R(B) r ，即R(A) R(B) 第 2 步： 根据第1步的证明，反过来 B 经过一次初等行变换变为 A，则R(B) R(A) 第69页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五应用：根据这一定理，为求矩阵的秩，只要用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩。例6（续）：求矩阵A 的秩，并求 A 的一个最高阶非零子式。于是，经过一次初等变换，R(A) = R(B). 故经过

23、有限次初等变换，也有R(A) = R(B) 成立. 第70页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五解：第一步，先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵。行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故R(A) = 3 第二步，求 A 的最高阶非零子式。选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在的列，与之对应的是选取矩阵 A 的第一、二、四列第71页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五R(A0) = 3，计算 A0的前 3 行构成的子式因此这就是 A 的一个最高阶非零子式第72页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五分析：对 B 作初等行变换变为行阶梯形矩阵，

24、设 B 的行阶梯形矩阵为 ，则 就是 A 的行阶梯形矩阵，因此可从中同时看出R(A)及 R(B) 例7：设 ，求矩阵 A 及矩阵B = (A, b) 的秩解：R(A) = 2R(B) = 3第73页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五若 A 为 mn 矩阵，则 0 R(A ) min(m, n) R(AT) = R(A) 若 A B，则 R(A) = R(B) 若 P、Q 可逆，则 R(PAQ) = R(A) maxR(A), R(B) R(A, B) R(A)R(B) 特别地，当 B = b 为非零列向量时，有R(A) R(A, b) R(A)1 R(AB) R(A)R(

25、B) R(AB) minR(A), R(B) 若 Amn Bnl = O，则 R(A)R(B) n 矩阵的秩的性质第74页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五证明 maxR(A), R(B) R(A, B) R(A)R(B) 特别地，当 B = b 为非零列向量时，有R(A) R(A, b) R(A)1 证 因为A的最高阶非零子式一定是(A, B)的非零子式，所以R(A) R(A, B)，同理 R(B) R(A, B) . 两者结合起来，有 MaxR(A), R(B) = R(A, B) 设R(A) = r，R(B) = t . 把AT和BT分别作初等行变换化成行阶梯型矩阵

26、 和 . 因为矩阵和它的转置矩阵的秩相等，故 和 分别含 r 个和 t 个非零行，从而 中的非零行不大于 r + t . 又因为第75页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五第76页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五证明 R(AB) R(A)R(B) 即得 设A和B是m n 矩阵，对矩阵 作初等行变换证于是第77页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五例8：设 A 为 n 阶矩阵， 证明 R(AE)R(AE) n 证明：因为 (AE) (EA) = 2E， 由性质“R(AB) R(A)R(B) ” 有R(AE)R(EA) R(2E) =

27、 n 又因为R(EA) = R(AE)，所以R(AE)R(AE) n(E - A) (A -E)第78页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五例9：若 Amn Bnl = C，且 R(A) = n，则R(B) = R(C) 因为 R(C) = R(PC)，而 ，所以解：因为 R(A) = n， 所以 A 的行最简形矩阵为设 m 阶可逆矩阵 P ，满足于是故R(B) = R(C)第79页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五附注：当一个矩阵的秩等于它的列数时，这样的矩阵称为列满秩矩阵特别地，当一个矩阵为方阵时，列满秩矩阵就成为满秩矩阵，也就是可逆矩阵因此，本例

28、的结论当 A 为方阵时，就是性质 本题中，当 C = O，这时结论为：设 AB = O，若 A 为列满秩矩阵，则 B = O 反证法第80页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五3 线性方程组的解第81页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五一般形式 矩阵方程的形式方程组可简化为 AX = b 增广矩阵的形式向量组线性组合的形式第82页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五线性方程组的解的判定设有 n 个未知数 m 个方程的线性方程组 线性方程组如果有解，就称它是相容的；如果无解，就称它是不相容的问题1：方程组是否有解？问题2：若方程组有解

29、，则解是否唯一？问题3：若方程组有解且不唯一，则如何确定所有的解？ m、n 不一定相等！第83页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五定理3：n 元线性方程组 Ax = b无解的充分必要条件是 R(A) R(A, b)；有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = n ；有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) n 分析：只需证明条件的充分性，即R(A) R(A, b) 无解；R(A) = R(A, b) = n 唯一解；R(A) = R(A, b) n 无穷多解那么无解 R(A) R(A, b) ；唯一解 R(A) = R(A, b) = n

30、；无穷多解 R(A) = R(A, b) n 由矩阵的秩判断方程组的解第84页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五第一，往证 R(A) R(A, b) 无解若 R(A) R(A, b) ，则 dr+1 = 1 于是 第 r +1 行对应矛盾方程 0 = 1，故原线性方程组无解证明：设 R(A) = r ，为叙述方便，不妨设 B = (A, b) 的行最简形矩阵为第85页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五第二，往证 R(A) = R(A, b) = n 唯一解若 R(A) = R(A, b) = n，则 dr+1 = 0 且 r = n， 从而 bij

31、都不出现。故原线性方程组有唯一解对应的线性方程组为n00第86页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五第三，往证 R(A) = R(A, b) n 无穷多解若 R(A) = R(A, b) n ，即 r n， 则 dr+1 = 0 . 对应的线性方程组为第87页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五令 xr+1, , xn 作自由变量，则 再令xr+1 = c1, xr+2 = c2, , xn = cn-r ，则 线性方程组的通解第88页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五例10：求解非齐次线性方程组解：R(A) = R(A, b) =

32、 3 4，故原线性方程组有无穷多解第89页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五即得与原方程组同解的方程组令 x3 做自由变量，则令 x3 = c , 原方程组的通解可表示为 第90页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五例11：求解非齐次线性方程组解：因为 R(A) = 2，R(A, b) = 3 ，故原线性方程组无解第91页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五例12：求解齐次线性方程组提问：为什么只对系数矩阵 A 进行初等行变换变为行最简形矩阵？答：因为齐次线性方程组 AX = 0 的常数项都等于零，于是必有 R(A, 0) = R(

33、A) ，所以可从 R(A) 判断齐次线性方程组的解的情况第92页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五第93页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五令 x3 = c1, x4 = c2通解第94页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五例13：设有线性方程组问 l 取何值时，此方程组有(1) 唯一解；(2) 无解；(3) 有无限多个解？并在有无限多解时求其通解第95页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五解法1：对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵第96页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五附注：对含参数的矩阵作初等变换时，由于 l +1， l +3 等因式可能等于零，故不宜进行下列的变换：如果作了这样的变换，则需对 l +1 = 0（或 l +3 = 0）的情况另作讨论 第97页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五分析：讨论方程组的解的情况，就是讨论参数 l 取何值时，r2 、r3 是非零行在 r2 、r3 中，有 5 处地方出现了l ，要使这 5 个元素等于零， l = 0，3，3，1 实际上没有必要对这 4 个可能取值逐一进行讨论，先从方程组有唯一解入手第98页，共105页，2022年，5月20日，9点20分，星期五于是当 l 0 且 l 3 时，R(A) =