矩阵第一章线性空间与线性变换

1、矩阵第一章线性空间与线性变换第1页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五1.1线性空间定义1.1.1第2页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五加法规则：第3页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五数乘规则： 第4页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五两条相容性规则： 第5页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五第6页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五第7页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五第8页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五定理1.

2、1.1第9页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五1.1.2 基、坐标定义1.1.2第10页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五0)t2t2(k)t3t2(kt1k)t(Pk)t(Pk)t(Pk2322111=-+-+）（解：第11页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五 于是k有非平凡解，是线性相关向量组。第12页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五。的维数，记为称为线性空间的基向量，称为（底），称是的一个基n)Vdim(n,n21=aaaL定义1.1.3第13页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期

3、五注：线性空间中的基不是唯一的。如和第14页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五定义1.1.4第15页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五定理1.1.2第16页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五定义1.1.5第17页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五第18页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五1.1.3 基变换与坐标变换 (1) 基变换第19页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五上式用矩阵可以写成 第20页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五 (1.1

4、.9) 式称为 中两个基的变换公式。矩阵 p 称为从 s 到 s* 的过渡矩阵，且 第21页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五（2) 向量的坐标变换定理1.1.3 设向量 在基 下的坐标是 ; 在基 下的坐标是 ， ；假设从 到 的基满足关系式(1.1.10)，那么坐标 满足关系式 (1.1.11) (1.1.12)即第22页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五其中第23页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五第24页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五第25页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期

5、五1.2.1线性子空间定义1.1.2 设 是线性空间 的非空子集，如果 对 中所定义的加法和数乘两种运算满足： 如果 ，则 ； 如果 ，则 ，则称 是 的线性空间的子空间。1.2 线性空间的子空间第26页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五易证，线性子空间 也是线性空间。 和 叫做线性空间 的两个平凡子空间，其它子空间叫做非平凡子空间。 第27页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五图1.2.1中 是 的两个线性子空间，而在图1.2.2中由于直线 和平面 不含原点所以不能形成的子空间。图 第28页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五图

6、第29页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五见下面动画第30页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五 零子空间维数规定为零。而对于 的其它的子空间，维数比原空间的维数小，即 第31页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五下面讨论子空间的生成问题设 是数域 上 中的一个向量组，在 中任取m个数 ，做S中向量的线性组合显然 ，这样 全体的集合表示成第32页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五）（）（生成的子空间，记为为由中的向量称m21mm2211m21m21,spankkk,SWaaaaaaaaaaaaLLLL+=第33

7、页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五图1.2.3中,表示 的几个子空间。其中 是 的一个基。三个子空间分别可以写成第34页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五子空间 也可以写成： 也可以写成以上类似形式。第35页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五像空间和零空间第36页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五像空间和零空间第37页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五定理1.2.1 设 是数域 上线性空间 的一个 维子空间， 是 的基，则 的向量一定可以扩充为 的一个基。第38页，共101页，202

8、2年，5月20日，9点22分，星期五定理1.2.2 设 和 是线性空间 的两个子空间，则它们的交 是 的子空间，称为 和 的交空间.第39页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五定理1.2.3 设 和 是线性空间 的两个子空间，则它们的和是 的子空间，称为 和 的和空间。第40页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五第41页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五第42页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五第43页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五定理1.2.4 （维数公式）设 和 是的两个线性子空间

9、，则 第44页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五推论1 如果 维线性空间的两个子空间 和 的和空间维数小于 和 维数之和，那么它们的交空间一定含有非零向量，即第45页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五定义1.2.2 如果 中任一向量只能唯一的表示成子空间 的一个向量和子空间 中的一个向量的和，则称 是 的直和，记为 （或）第46页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五定理1.2.5 两个子空间的和是直和的充要条件是： 第47页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五推论 设 是的 两个子空间，则 的充要条件是：推论2

10、可以作为定义1.2.2的等价定义。 第48页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五推论3 如果 是的 基； 是 的基, 是直和, 那么 是 的基. 第49页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五1.3.1 线性变换 定义从线性空间到线性空间的映射叫做变换 先看一个例子 1.3 线性变换及其矩阵表示第50页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五第51页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五注:不满足(1)，（2） 的变换不是线性变换 定义1.3.1 设 和 是两个线性空间，假如一个从 到 的变换 具有以下性质（1） （2）

11、称作 的一个线性变换或线性算子。特别当 = 时，称 是上 的线性变换。第52页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五在 的线性变换中有两个特殊的变换： 如果对任意 ，恒有 ，则 称 是零变换，记为 ，即对任意 ，恒有 。 如果对任意 ，恒有 ，则称 是恒等变换，记为 ，即 第53页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五关于线性变换还有以下性质：(1) (2) 则 (1.3.2) 若 线性相关，则 也线性相关, 但逆命题不成立。第54页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五例:如下图第55页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星

12、期五 第56页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五1.3.2 线性变换的运算 线性变换的相等 两个线性变换 ，若对 中任意向量都有 则 . 设 是 的一个基，则第57页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五 线性变换的和 两个线性变换 ，对任意一个元素 ，与 相对应的变换为 。即 第58页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五 线性变换的数乘 设 ，则与 对应的变换称为 与线性变换 的数乘，记为 ，即 第59页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五 线性变换的乘积 两个线性变换 , ，与 对应的变换称为 与 的积，记作

13、，即 第60页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五定理1.3.1 设 是线性空间 中的两个线性变换，则 都是 中的线性变换。第61页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五第62页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五 线性变换的逆变换 如果两个线性变换满足 ，则称 互为逆变换，记作 ， 。第63页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五1.3.3用矩阵表示线性变换 第64页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五第65页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五第66页，共101页，2022年

14、，5月20日，9点22分，星期五定义1.3.2第67页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五 定理1.3.2 设 与 分别是线性变换 与 在基 下的矩阵，则在这个基下有（1） 的矩阵是 ；（2） 的矩阵是 ； （3） 的矩阵是 ；（4）若 可逆，则 的矩阵是 .第68页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五例：第69页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五下面我们用实例来了解线性变换。 第70页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五第71页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五第72页，共101页，202

15、2年，5月20日，9点22分，星期五第73页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五*线性变换的值域与核 定义1.3.3第74页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五第75页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五 可以证明 和 分别是 和 的线性子空间. 称 的维数 是线性变换 的秩，记为 ； 的维数 称为线性变换 的零度，记为第76页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五第77页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五1.3.4 不变子空间 定义1.3.4 设 是线性空间 上的线性变换， 是 的子空间， 如

16、果 ，称 是 的不变子空间。第78页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五显然线性空间 和零空间是 的不变子空间，称为平凡子空间。第79页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五 1.4.1 内积的定义定义 1.4.1 设 是复数域 上的线性空间，对于 中的两个任意向量 ，按某种法则定义一个复值函数，用 表示，并且满足以下条件：1.4 欧氏空间和酉空间 对称性 ； 线性性 ； 3.第80页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五这时称函数 为向量 的内积或范数。 称为向量 的长度或范数。记作:第81页，共101页，2022年，5月20日，9点2

17、2分，星期五如果线性空间 定义在实数域 上，那么，关于内积的三个条件就可以改写为： 对称性 ； 线性性 ； 正定性第82页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五定义了内积的实线性空间称为欧氏空间， 定义了内积的复线性空间称为酉空间。我们称 的实值函数 为 与 的内积。 的范数定义为 。第83页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五第84页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五第85页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五单位向量：长度为1的向量称为单位向量。向量 ， (1.4.4) 称为 的单位向量。向量的夹角：向量 夹角

18、 的余弦定义为: (1.4.5) 第86页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五可以证明不等式 或 (1.4.6) 此式称为Cauchy-Schwarz不等式。第87页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五由Cauchy-Schwarz不等式，可以得到以下两个三角不等式。 (1) (1.4.8) (2) . (1.4.9) 用 表示向量 之间的 距离。记作 (1.4.10) 第88页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五距离具有以下性质: 第89页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五1.4.2 标准正交基与 正交化方法 4.2.1 标准正交基显然， 零向量与任意向量正交； 只有零向量与自己正交。定义1.4.2 线性空间 中的两个向量 ，如果其内积 则称 正交，记为 。第90页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五定义1.4.3 设 是线性空间 中的一个向量组，如果 称 是 中的正交向量组。 第91页，共101页，2022年，5月20日，9点22分，星期五 定理1.4.1 假设 是线性空间 中的正交向量组，则 也是线性无关向量组。第92页，共101页，2022年，5