矿大高数.多元函数的基本概念

1、矿大高数.多元函数的基本概念1第1页，共35页，2022年，5月20日，9点37分，星期五（2）区域例如，即为开集2第2页，共35页，2022年，5月20日，9点37分，星期五3第3页，共35页，2022年，5月20日，9点37分，星期五连通的开集称为区域或开区域例如，例如，4第4页，共35页，2022年，5月20日，9点37分，星期五有界闭区域；无界开区域例如，5第5页，共35页，2022年，5月20日，9点37分，星期五（3）聚点1 内点一定是聚点；说明：2 边界点可能是聚点；例(0,0)既是边界点也是聚点6第6页，共35页，2022年，5月20日，9点37分，星期五3 点集E的聚点可以属

2、于E，也可以不属于E例如,(0,0) 是聚点但不属于集合例如,边界上的点都是聚点也都属于集合7第7页，共35页，2022年，5月20日，9点37分，星期五（4）n维空间1 n维空间的记号为说明：2 n维空间中两点间距离公式 8第8页，共35页，2022年，5月20日，9点37分，星期五3 n维空间中邻域、区域等概念 特殊地当 时，便为数轴、平面、空间两点间的距离内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义邻域：设两点为9第9页，共35页，2022年，5月20日，9点37分，星期五（5）二元函数的定义10第10页，共35页，2022年，5月20日，9点37分，星期五类似地可定义三元及三元以上函数11第

3、11页，共35页，2022年，5月20日，9点37分，星期五12第12页，共35页，2022年，5月20日，9点37分，星期五例1 求 的定义域解所求定义域为13第13页，共35页，2022年，5月20日，9点37分，星期五二元函数的图形通常是一张曲面.14第14页，共35页，2022年，5月20日，9点37分，星期五例如,图形如右图.例如,左图球面.单值分支:15第15页，共35页，2022年，5月20日，9点37分，星期五16第16页，共35页，2022年，5月20日，9点37分，星期五二、多元函数的极限17第17页，共35页，2022年，5月20日，9点37分，星期五 设函数的定义域为是

4、其聚点，如果对于任意给定的正数，总存在正数 ，使得对于适合不等式的一切点 P (x ,y)，都有成立，则称A为函数当，时的极限，记为 定义118第18页，共35页，2022年，5月20日，9点37分，星期五说明：（1）定义中 的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限19第19页，共35页，2022年，5月20日，9点37分，星期五例2 求证 证当 时，原结论成立20第20页，共35页，2022年，5月20日，9点37分，星期五21第21页，共35页，2022年，5月20日，9点37分，星期五例5 求极限 解其中22第22页，共35页，2022年，5月20日，9点37分，星期五23第23

5、页，共35页，2022年，5月20日，9点37分，星期五24第24页，共35页，2022年，5月20日，9点37分，星期五例7 证明 不存在 证取其值随k的不同而不同，故极限不存在25第25页，共35页，2022年，5月20日，9点37分，星期五26第26页，共35页，2022年，5月20日，9点37分，星期五三、多元函数的连续性27第27页，共35页，2022年，5月20日，9点37分，星期五定义328第28页，共35页，2022年，5月20日，9点37分，星期五29第29页，共35页，2022年，5月20日，9点37分，星期五30第30页，共35页，2022年，5月20日，9点37分，星期

6、五例9讨论函数在(0,0)处的连续性解31第31页，共35页，2022年，5月20日，9点37分，星期五例9 讨论函数在(0,0)的连续性解取其值随k的不同而变化，极限不存在故函数在(0,0)处不连续32第32页，共35页，2022年，5月20日，9点37分，星期五闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理（2）介值定理33第33页，共35页，2022年，5月20日，9点37分，星期五 多元初等函数： 由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数