多元相关与回归分析

1、多元相关与回归分析第1页，共58页，2022年，5月20日，13点36分，星期二学习目标1.回归模型、回归方程、估计的回归方程2.回归方程的拟合优度回归方程的显著性检验利用回归方程进行估计和预测非线性回归用 SPSS 进行回归分析第2页，共58页，2022年，5月20日，13点36分，星期二9.1 多元线性回归模型9.1.1 多元回归模型与回归方程9.1.2 估计的多元回归方程9.1.3 参数的最小二乘估计第3页，共58页，2022年，5月20日，13点36分，星期二多元回归模型与回归方程第4页，共58页，2022年，5月20日，13点36分，星期二多元回归模型 (multiple regre

2、ssion model)一个因变量与两个及两个以上自变量的回归描述因变量 y 如何依赖于自变量 x1 ， x2 ， xp 和误差项 的方程，称为多元回归模型涉及 p 个自变量的多元回归模型可表示为 b0 ，b1，b2 ，bp是参数 是被称为误差项的随机变量 y 是x1,，x2 ， ，xp 的线性函数加上误差项 包含在y里面但不能被p个自变量的线性关系所解释的变异性第5页，共58页，2022年，5月20日，13点36分，星期二多元回归模型(基本假定) 误差项是一个期望值为0的随机变量，即E()=0对于自变量x1，x2，xp的所有值，的方差 2都相同误差项是一个服从正态分布的随机变量，即-N(0,

3、2)，且相互独立第6页，共58页，2022年，5月20日，13点36分，星期二多元回归方程 (multiple regression equation)描述因变量 y 的平均值或期望值如何依赖于自变量 x1， x2 ，xp的方程多元线性回归方程的形式为 E( y ) = 0+ 1 x1 + 2 x2 + p xp b1，b2，bp称为偏回归系数 bi 表示假定其他变量不变，当 xi 每变动一个单位时，y 的平均变动值第7页，共58页，2022年，5月20日，13点36分，星期二估计的多元回归方程第8页，共58页，2022年，5月20日，13点36分，星期二估计的多元回归的方程(estimate

4、d multiple regression equation)用样本统计量 估计回归方程中的 参数 时得到的方程由最小二乘法求得 是 估计值 是 y 的估计值第9页，共58页，2022年，5月20日，13点36分，星期二参数的最小二乘估计第10页，共58页，2022年，5月20日，13点36分，星期二参数的最小二乘法求解各回归参数的标准方程如下使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达到最小来求得 。即第11页，共58页，2022年，5月20日，13点36分，星期二参数的最小二乘法(例题分析)【例】一家大型商业银行在多个地区设有分行，为弄清楚不良贷款形成的原因，抽取了该银行所属的25家分行20

5、02年的有关业务数据。试建立不良贷款y与贷款余额x1、累计应收贷款x2、贷款项目个数x3和固定资产投资额x4的线性回归方程，并解释各回归系数的含义 第12页，共58页，2022年，5月20日，13点36分，星期二9.2 回归方程的拟合优度9.2.1 多重判定系数9.2.2 估计标准误差第13页，共58页，2022年，5月20日，13点36分，星期二多重判定系数第14页，共58页，2022年，5月20日，13点36分，星期二多重判定系数(multiple coefficient of determination) 回归平方和占总平方和的比例计算公式为因变量取值的变差中，能被估计的多元回归方程所解

6、释的比例 第15页，共58页，2022年，5月20日，13点36分，星期二在样本容量一定的条件下，不断向模型中增加自变量，即使新增的变量与Y不相关，模型的R2也可能上升，至少不会下降。在实际应用中，研究人员更欢迎简单的模型，这样的模型更简单和易于解释。如果根据R2来选择模型，显然会倾向于复杂的模型。更常用的指标是“修正后的Ra2”。修正的判定系数第16页，共58页，2022年，5月20日，13点36分，星期二修正多重判定系数(adjusted multiple coefficient of determination) 用样本容量n和自变量的个数p去修正R2得到 计算公式为避免增加自变量而高估

7、 R2意义与 R2类似数值小于R2第17页，共58页，2022年，5月20日，13点36分，星期二估计标准误差 Sy对误差项的标准差 的一个估计值衡量多元回归方程的拟合优度计算公式为第18页，共58页，2022年，5月20日，13点36分，星期二9.3 显著性检验9.3.1 线性关系检验9.3.2 回归系数检验和推断第19页，共58页，2022年，5月20日，13点36分，星期二线性关系检验第20页，共58页，2022年，5月20日，13点36分，星期二线性关系检验检验因变量与所有自变量之间的线性关系是否显著，也被称为总体的显著性检验检验方法是将回归离差平方和(SSR)同剩余离差平方和(SSE

8、)加以比较，应用 F 检验来分析二者之间的差别是否显著如果是显著的，因变量与自变量之间存在线性关系如果不显著，因变量与自变量之间不存在线性关系第21页，共58页，2022年，5月20日，13点36分，星期二线性关系检验提出假设H0：12p=0 线性关系不显著H1：1，2，p至少有一个不等于02. 计算检验统计量F确定显著性水平和分子自由度p、分母自由度 n-p-1找出临界值F 4. 作出决策：若FF ，拒绝H0第22页，共58页，2022年，5月20日，13点36分，星期二回归系数检验和推断 回归方程显著，并不意味着每个解释变量对因变量Y的影响都重要,因此需要进行检验：回归系数检验的必要性回归

9、方程显著每个回归系数都显著第23页，共58页，2022年，5月20日，13点36分，星期二回归系数的检验(步骤)提出假设H0： bi = 0 (自变量 xi 与 因变量 y 没有线性关系) H1： bi 0 (自变量 xi 与 因变量 y有线性关系) 计算检验的统计量 t 确定显著性水平，并进行决策 tt，拒绝H0； tt(25-2)=2.0687，所以均拒绝原假设，说明这4个自变量两两之间都有显著的相关关系由表Excel输出的结果可知，回归模型的线性关系显著(Significance-F1.03539E-06=0.05) 。这也暗示了模型中存在多重共线性固定资产投资额的回归系数为负号(-0.

10、029193) ，与预期的不一致第32页，共58页，2022年，5月20日，13点36分，星期二多重共线性问题的处理第33页，共58页，2022年，5月20日，13点36分，星期二多重共线性(问题的处理)将一个或多个相关的自变量从模型中剔除，使保留的自变量尽可能不相关如果要在模型中保留所有的自变量，则应避免根据 t 统计量对单个参数进行检验对因变量值的推断(估计或预测)的限定在自变量样本值的范围内 Excel 输出结果的分析第34页，共58页，2022年，5月20日，13点36分，星期二多元回归中的变量筛选在多元回归中，预先选定的自变量不一定都对Y有显著的影响。有一些统计方法可以帮助我们从众多

11、可能的自变量中筛选出重要的自变量。SPSS软件提供了多种筛选自变量的方法： “向前引入法（Forward）” “向后剔除法（Backward）” “逐步引入剔除法（Stepwise）”第35页，共58页，2022年，5月20日，13点36分，星期二逐步回归的思想将变量逐一引入回归方程，先建立与y相关最密切的一元线性回归方程，然后再找出第二个变量，建立二元线性回归方程，。在每一步中都要对引入变量的显著性作检验，仅当其显著时才引入，而每引入一个新变量后，对前面已引进的变量又要逐一检验，一旦发现某变量变得不显著了，就要将它剔除。这些步骤反复进行，直到引入的变量都是显著的而没有引入的变量都是不显著的时

12、，就结束挑选变量的工作。可以设定引入和删除变量的条件。 第36页，共58页，2022年，5月20日，13点36分，星期二9.5 非线性回归9.5.1 双曲线9.5.2 幂函数曲线9.5.3 对数曲线第37页，共58页，2022年，5月20日，13点36分，星期二非线性回归1.因变量 y 与 x 之间不是线性关系2.可通过变量代换转换成线性关系用最小二乘法求出参数的估计值并非所有的非线性模型都可以化为线性模型第38页，共58页，2022年，5月20日，13点36分，星期二双曲线 0基本形式：线性化方法令：y = 1/y，x= 1/x, 则有y = + x图像第39页，共58页，2022年，5月2

13、0日，13点36分，星期二幂函数曲线基本形式：线性化方法两端取对数得：lg y = lg + lg x令：y = lgy，x= lg x，则y = lg + x图像0 1 1 = 1-1 0 -1 =-1 第40页，共58页，2022年，5月20日，13点36分，星期二对数曲线基本形式：线性化方法x= lnx , 则有y = + x图像 0 0 第41页，共58页，2022年，5月20日，13点36分，星期二指数曲线基本形式：线性化方法两端取对数得：lny = ln + x令：y = lny，则有y = ln + x图像 第42页，共58页，2022年，5月20日，13点36分，星期二S 型曲

14、线基本形式：线性化方法令：y = 1/y，x= e-x, 则有y = + x图像第43页，共58页，2022年，5月20日，13点36分，星期二非线性回归(例题分析)【例】一种商品的需求量与其价格有一定的关系。现对一定时期内的商品价格x与需求量y进行观察，取得的样本数据如下表。试判断商品价格与需求量之间回归函数的类型，并求需求量对价格的回归方程废品率与生产率的关系价格 (元) x12345678910需求量(千克) y58504438343029262524第44页，共58页，2022年，5月20日，13点36分，星期二非线性回归 (例题分析)价格与需求量的散点图第45页，共58页，2022年

15、，5月20日，13点36分，星期二非线性回归 (例题分析)用双曲线模型：按线性回归的方法求解和 ，得第46页，共58页，2022年，5月20日，13点36分，星期二SPSS中可以进行的曲线回归包括：第47页，共58页，2022年，5月20日，13点36分，星期二曲线回归的计算机实现： Spss：analyzeregressioncurve estimation； Eviews：quickestimate equation。第48页，共58页，2022年，5月20日，13点36分，星期二例题：我国19782002年人均GDP数据（1978年不变价），试建立人均GDP与时间之间的回归方程。第49页，共58页，2022年，5月20日，13点36分，星期二1、画出散点图第50页，共58页，2022年，5月20日，13点36分，星期二2、计算相关系数第51页，共58页，2022年，5月20日，13点36分，星期二3、进行回归第52页，共58页，2022年，5月20日，13点36分，星期二3、进行回归第53页，共58页，2022年，5月20日，13点36分，星期二4、精细比较（1）二次曲线：决定系数（2）三次曲线：决定系数第54页，共58页，2022年，5月20日，13点36分，星期二4、精细比较（1）二次曲