多面体和旋转体的体积

1、多面体和旋转体的体积第1页，共12页，2022年，5月20日，14点23分，星期二2.7 体积的概念与公理几何体占有空间部分的大小叫做它的体积 同读量长度，面积一样，要度量一个几何体的体积，首先要选取一个单位体积作为标准。 然后求出几何体的体积的体积是单位体积的多少倍，这个倍数就是这个几何体的体积的数值。 公理 5 长方体的体积等于它的长，宽，高的积。 acb第2页，共12页，2022年，5月20日，14点23分，星期二推论 1 长方体的体积等于它的底面积s和高h的积。推论 1 正方体的体积等于它的棱长的立方。从公理 5 ，可以直接得到下面的推论：(注:.ab=s 、h=s)(注:.a=b =

2、c)第3页，共12页，2022年，5月20日，14点23分，星期二 公理 6 夹在两个平面间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等. 夹在平行平面,之间的两个形状不同的几何体，被平行于平面 , 的任意一个平面所截，如果截面P和Q的面积相等，那么它们的体积一定相等。 例如，取一摞书或一摞纸张堆放在桌面上，将它如图那样改变一下形状，这时高度没有改变，每页纸的面积也没有改变，因而这摞书或纸的体积与变形前相等。Back第4页，共12页，2022年，5月20日，14点23分，星期二2.8 棱柱,圆柱的体积 设有底面积都等于S,高都等于h

3、的任意一个棱柱和一个圆柱,取一个与它们底面积相等,高也相等的长方体,使它们的下底面在同一个平面上。因为它们的上底面和下底面平行，并且高都相等，所以它们的上底面都在和平面平行的同一个平面内。 用和平面平行的任意平面去截它们时，所得的截面都和它们的底面分别全等，故这些截面的面积都等于S。根据定理6，它们的体积相等。 由于长方体的体积等于它的底面积和高的乘积，于是我们得到下面的定理： 定理 柱体（棱体，圆体）的体积等于它的面积S和高h的积。第5页，共12页，2022年，5月20日，14点23分，星期二 例1 有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重5.8kg。已知底面六边形的边长是12mm,高是10mm,内

4、孔直径是10mm.问约有毛坯多少个(铁的比重是7.8g/cm3) 解: 六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积的差.PNO毛坯的体积答：这堆毛坯约有250个。Back第6页，共12页，2022年，5月20日，14点23分，星期二2.9 棱锥,圆锥的体积CBAABCABCCAB第7页，共12页，2022年，5月20日，14点23分，星期二 取任意两个锥体,设它们的底面面积都是S,高都是H.把这两个锥体放在同一个平面上,这时它们的顶点都在和平面平行的同一个平面内。用平行于平面的任意平面去截它们，截面分别与底面相似。设截面与顶点的距离是h1，截面面积分别是S1,S2,那么根据公理6，

5、这两的锥体的体积相等，及三棱锥的体积公式。由此我们可以得到下面的定理： 定理 等面积等高的两的锥体的体积相等。 定理 如果一个锥体（棱锥，圆锥）的底面积S，高是h，那么它的体积是Back第8页，共12页，2022年，5月20日，14点23分，星期二 1.用棱长为1的正方体的体积作为体积单位右图长方 体的体积的数值为36。假如将体积单位改用棱长 为2的正方体的体积，这个长方体的体积变为多少 ？为什么？解：原来以1为一个单位，现在以2为一个单位。 故，这个长方体的体积是4.5第9页，共12页，2022年，5月20日，14点23分，星期二 2.已知长方体形的铜块长，宽，高分别是2cm,4cm,8cm，将它们融化后铸成一个正方体形的铜块，求铸成的铜块的棱长（不计损耗）。解：由柱体体积公式有：不计损耗所求棱长为4cm第10页，共12页，2022年，5月20日，14点23分，星期二 3.如图，将长方体沿相邻三个面的对角线截取一个三棱锥。这个三棱锥的体积是长方体体积的几分之几？解：AABBCDD