【高等代数试题】2011ans

1、北京大学数学学院期末试题 20102011学年第二学期考试科目 高等代数II 考试时间 2011年6月15日姓 名 学 号 判断对错, 正确的请给出简要证明, 错误的举出反例. （24分）只要A是幂零矩阵, 就有 | I + A | = 1 .正确. A可写成 U J U-1的形式, J是A的Jordan 标准型. 由于A幂零, J的对角元都是0 . 于是 | I + A | = | I + U J U-1 | = | I + J | = 1 .设 F 5是包含5个元素的有限域, A为F 5上的方阵.若A满足3 A 3 + A 2 + 2A = I , 则A可以在F 5上对角化.正确. 由于A

2、的最小多项式m ( x )是 x 3+ 2x 2 x 2 = ( x + 2)( x 2 1 ) = ( x + 2)( x + 1 ) ( x 1 )的因式, m ( x )是F 5上不同的一次因式的乘积. A可对角化.若线性变换 A 满足 Ker A Im A = 0 , 则A 2 = A .不正确.例如, R上的线性变换 a a2a 即不满足此命题. 若A是实矩阵, 满足 AT = A , 则 I + A 一定可逆.正确.反对称实矩阵的特征值都是纯虚数或0, 不可能是 1 .填空题（20分）在 R x 1 , x 2 , x 3 中, 由全体 10次齐次多项式和零多项式构成的实线性空间的

3、维数是_; 其中由全体 10次齐次对称多项式和零多项式构成的线性子空间的维数是_14_.已知 1 , 2 , 3 , 4是欧氏空间R4的标准正交基, 其中 1 = 1 0 0 0 T , 2 = 0 0 1 0 T , 且 3 与 1 1 1 1 T 的夹角为45 , 则 4 =_.3) 以下诸矩阵的相似等价类的分类为 A , C , B , D _., , 三（10分）已知 R3 上的对称双线性函数 f ( a , b ) 在基底 1 , 2 , 3 下的度量矩阵为 .1) 判断 f ( a , b ) 能否构成R3 上的内积;2) 求基底 b1 , b2 , b3 , 使得 f 在此基下的

4、度量矩阵是对角矩阵. 解: 1) 由于 但 f ( a , b ) 不构成内积;2) 对以下矩阵做成对的行列变换, 得 于是, 在新基底 下, f 的度量矩阵是 .四（24分）已知 A是实线性空间 V上的线性变换, 且在基底 1 , 2 , 3 , 4 下的矩阵为 A = . 1) 求A 的特征多项式与最小多项式 ;2) 求 V 的根子空间分解, 写出每个根子空间的基底;3) 求 V 的一组基, 使得A的矩阵为 Jordan 标准型.解: 1) A 的特征多项式为 注意到 A - 2I = 的秩 = 3, ker( A - 2I )的维数 = 1 ; ( A - 2I ) 2 = 的秩 = 2

5、, ker( A - 2I ) 2的维数 = 2 ;( A - 2I ) 3 = 的秩 = 1, ker( A - 2I ) 3的维数 = 3 .于是有 ker( A - 2I ) ker( A - 2I ) 2 ker( A - 2I ) 3 = ker( A - 2I ) 4 = . . .故 A 的最小多项式为 . 2) 全空间可以分解为根子空间的直和: V = Ker( A - 2I ) 3 Ker( A - I ) .由以上计算可知 ( A - 2I ) 3 1 = 0, 但 ( A - 2I ) 2 1 = 3 0 .于是 1 , ( A - 2I ) 1 = 1 + 3 4 ,

6、( A - 2I ) 2 1 = 3 是根子空间 Ker( A - 2I ) 3 的一组基底.另一方面, 对矩阵A I 做初等行变换, 得A - I = ( A I ) X = 0 解的公式为 , x 4是自由变量.( A I ) 的解空间为 , 于是 2 4 是根子空间 Ker( A - I ) 的一组基底. 由以上讨论可知, 在基底 ( A - 2I ) 2 1 , ( A - 2I ) 1 , 1 , 2 4下, A的矩阵为Jordan 标准型 . 由 (A - 2I ) 2 1 ,(A - 2I ) 1 , 1 , 2 4 = 1 , 2 , 3 , 4 可知五（12分）设b1 , b

7、2 , b3 与 1 , 2 , 3分别是矩阵 B = 与 C = 的列向量. 求欧氏空间R2上的线性变换A (写出标准基下的矩阵), 使得 取到最小值.解: 记线性变换A在标准基下的矩阵为 A = , 记 bi = , i = , . 则=+ . (*)欲求A , 使得(*)式取到最小值, 只需分别求 a , b与 c , d , 使得等号右边的两个求和式各取到最小值. 注意到右边第一个求和式取最小值当且仅当 是 在子空间 上的正交投影, 即 a, b T是方程组 的解. 解此方程组, 得 取到的最小值为 类似地, (*)式右边第二个和式取最小值当且仅当 是 在 上的正交投影, 即 c, d

8、 T是方程组 的解. 解此方程组得 取到的最小值为 0. 于是, 当A在标准基下的矩阵为 A = 时, 取到最小值 1/3 .六 设A是欧氏空间Rn上的正交变换. 证明:1)（3分）A的每个复特征值 都满足 | | = 1 ;2)（7分）Rn 可分解成有限个1维与2维A -子空间的直和.证: 设A在欧氏空间Rn的一组标准正交基下的矩阵为A . 则A是正交矩阵且与A有相同的(复)特征值. 以下对矩阵A进行讨论.1) 设 是A的一个复特征值, 是相应的复特征向量. 由 A = , 可得 . 于是 . 注意到A是正交矩阵且 0, 我们有 | | = 1 .2) 对欧氏空间的维数应用数学归纳法:当 n

9、 = 1或2时命题显然成立. 设命题对维数 n 的欧氏空间成立, 以下考察n 维欧氏空间的情况.设 是A的一个复特征值. 若 是实数, 则 = 1. 设V1 = , 是 的一个实特征向量. 对任意b V1, 有 ( Ab , ) = ( Ab , A ) = ( b , ) = 0 , 于是A b V1. 注意到线性变换 A 限制在不变子空间V1 上, 是欧氏空间V1上的正交变换. 由归纳假设, V1可分解为 1维与2维A -子空间的直和. 于是Rn = V1 V1也可分解为1维与2维A -子空间的直和.以下设 = u + i v 不是实数( u, v R, v 0), 设1 + i 2是 的复特征向量 ( 1, 2 Rn ). 由A ( 1 + i 2 ) = ( u + i v ) ( 1 + i 2 ) = ( u 1 v 2 ) + i ( v 1 + u 2 )得 A 1 = u 1 v 2, A 2 = v 1 + u 2 . 于是V2