边界元法与无网格法无网格法概论

1、边界元法与无网格法无网格法概论第1页，共46页，2022年，5月20日，11点59分，星期四参考文献张雄，刘岩. 无网格法，清华大学出版社，2004刘更，刘天祥，谢琴. 无网格法及其应用. 西北工业大学出版社，2005 .G.R.Liu, Y.T. Gu (王建明、周学军). 无网格法理论及程序设计, 山东大学出版社，2007.S.N. Atluri, S.P.Shen. The Meshless Local Petrov-Galerkin Method, Tech Science Press, 2002.第2页，共46页，2022年，5月20日，11点59分，星期四有限元法存在的某些困难冲压

2、成型：网格畸变裂纹动态扩展：网格重分高速碰撞：网格畸变奇异性问题：解析函数自适应问题：网格重分(h)、近似函数(p)应变局部化：网格重分薄壳问题：近似函数高阶连续性问题复杂三维结构有限元网格的生成第3页，共46页，2022年，5月20日，11点59分，星期四无网格法直接利用分布在求解域中的离散点来构造近似函数的一种求解偏微分方程的数值方法。不需要借助于网格。 网格法（有限元法、边界元）无网格法对某些特殊问题，无网格法很有效。第4页，共46页，2022年，5月20日，11点59分，星期四无网格法概论无网格法的研究历史全域插值函数典型无网格法第5页，共46页，2022年，5月20日，11点59分，

3、星期四无网格法的研究历史七十年代：非规则网格有限差分法1977年：Smoothed particle hydrodynamics SPH归一化光滑函数算法 分片试验不稳定的起因及稳定化方案 克服零能模态的具体方案MLSPH水下爆炸仿真模拟、高速碰撞等第6页，共46页，2022年，5月20日，11点59分，星期四无网格法的研究历史1992年：Diffuse element (Nayroles等)1994年：Element Free Galerkin (Belytschko)动态裂纹扩展数值模拟三维撞击、流体晃动分析 板壳分析EFG和有限元、边界元法耦合相变问题；扩散问题1995年：Reprodu

4、cing Kernel Particle Method （W K Liu）多尺度分析、自适应分析结构动力学、流体动力学动态断裂和局部化金属加工成形中厚梁板、微电子机械系统纳米管起皱 节理岩体 2000边界条件 2001质点积分 2006实质上与EFG等价！第7页，共46页，2022年，5月20日，11点59分，星期四无网格法的研究历史1996年：Finite Point Method（Onate等）流体动力学 弹塑性分析1996年：Hp Clouds (Oden等)铁摩辛柯梁问题厚板的弯曲问题基于云团法的新型hp有限元Hp无网格云团法1996年：PUFEM和GFEM（Babuska等）动态裂纹

5、扩展问题 1998年：Local boundary integral equation method (LBIE) 和Meshless local Petrov-Galerkin法(MLPG) (Atluri, Sladek) 第8页，共46页，2022年，5月20日，11点59分，星期四无网格法的研究历史将无网格法的思想引入有限元法中PUFEM Babuska，1996GFEM DuarteXFEM Belytschko流形元法（石根华）动态裂纹扩展节理岩体应变局部化网格连续近似函数不连续第9页，共46页，2022年，5月20日，11点59分，星期四无网格法类型2000年：紧支径向基函数配点

6、法 2001年：最小二乘配点无网格法 2001年：加权最小二乘无网格法 2003年：伽辽金最小二乘无网格法 2003年：伽辽金配点无网格法2004年：边界弱形式配点法2005年：物质点有限元法2006年：质点积分无网格伽辽金法2009年：冲击爆炸三维物质点法数值仿真软件MPM3D第10页，共46页，2022年，5月20日，11点59分，星期四无网格法活动1996年 Computer Methods in Engineering Mechanics and Engineering 出版了无网格法专辑（139卷）2000年 Computational Mechanics 出版了无网格法专辑（25卷

7、，2-3期）近年来许多著名数值方法国际会议都设置了无网格法的主题会。许多著名有限元专家，如Zienkiewicz、Belytscho、Atluri、WK Liu、KJ Bathe等都对无网格法进行了深入研究。第11页，共46页，2022年，5月20日，11点59分，星期四无网格法概论无网格法的研究历史全域插值函数典型无网格法第12页，共46页，2022年，5月20日，11点59分，星期四点插值法MLS拟合（n m）：I=1,2, , n线性函数：二次函数：配点：函数逼近：第13页，共46页，2022年，5月20日，11点59分，星期四紧支试函数移动最小二乘法 (Moving Least Squ

8、are)核函数近似 (Kernel approximation)重构核近似(Reproducing Kernel approx.)单位分解法 (Partition of Unity)径向基函数（Radial basis functions）点插值法（Point interpolation method）自然邻接点插值Kriging插值非均匀有理B样条（NURBS）函数u(x)可以近似为大多数无网格法形函数不满足插值特性，即第14页，共46页，2022年，5月20日，11点59分，星期四径向基函数一类以点x到节点xI的距离dI为自变量的函数，也称为距离函数 中心位于节点xI的距离基函数MQ：RM

9、Q：TPS：Gaussians： 4th order spline radial basis function： 紧支性：当第15页，共46页，2022年，5月20日，11点59分，星期四径向基函数第16页，共46页，2022年，5月20日，11点59分，星期四径向基函数增加多项式基后，MQ插值正定如果p中包含常数基和线性基，则插值具有一阶一性；Wang等采用局部形式 径向基点插值法Hermite型径向基函数插值第17页，共46页，2022年，5月20日，11点59分，星期四移动最小二乘近似近似函数 基函数（多项式或其它已知函数） 待定系数线性基：二次基：第18页，共46页，2022年，5月2

10、0日，11点59分，星期四移动最小二乘近似 待定系数的确定有限元法 令uh(x)在单元节点i处等于函数u(x)在该节点处的函数值ui待定系数的个数必须等于单元自由度uh(xi) = u(xi) 具有插值特性依赖于网格MLS 使uh(x)在节点处的误差在加权最小二乘意义下取极小值精度高，并且可具有高阶连续性能够精确重构基中的任何函数计算量大uh(xi) u(xi) 不具有插值特性 (拟合)第19页，共46页，2022年，5月20日，11点59分，星期四移动最小二乘近似第20页，共46页，2022年，5月20日，11点59分，星期四移动最小二乘近似第21页，共46页，2022年，5月20日，11点

11、59分，星期四移动最小二乘近似当基函数中最高阶完备多项式的阶数k = 0时，MLS形函数退化为为Shepard函数如果在MLS近似中将权函数在域内取为1，在域外取为0，则MLS近似退化为标准的最小二乘近似MLS近似可以精确重构包含在基底中的任何函数pi(x)，即对于裂纹扩展问题，基函数可以取为对于声场，基函数可以取为第22页，共46页，2022年，5月20日，11点59分，星期四广义移动最小二乘近似MLS要求近似函数在各节点处误差的平方和为最小，但对近似函数导数的误差没有任何约束Atluri等人在分析欧拉梁时，要求近似函数及其导数在各点处误差的平方和最小可只将函数在面力边界各节点处的导数作为自

12、变量，要求近似函数在所有节点处误差的平方和与近似函数导数在面力边界各点处误差的平方和之和最小第23页，共46页，2022年，5月20日，11点59分，星期四无网格法概论无网格法的研究历史全域插值函数典型无网格法第24页，共46页，2022年，5月20日，11点59分，星期四典型无网格法第25页，共46页，2022年，5月20日，11点59分，星期四典型无网格法伽辽金型无网格法配点型无网格法基于局部弱形式和边界积分方程的无网格法最小二乘无网格法物质点法加权余量法第26页，共46页，2022年，5月20日，11点59分，星期四伽辽金型无网格法EFGMLSGalerkinRKPMRKGalerkin

13、PIMPIGalerkin第27页，共46页，2022年，5月20日，11点59分，星期四伽辽金型无网格法等效积分弱形式（虚位移原理）MLS近似：计算量大精度高，稳定性好需要背景网格进行积分系数矩阵对称不易施加本质边界条件处理第28页，共46页，2022年，5月20日，11点59分，星期四伽辽金型无网格法 数值积分背景网格积分第29页，共46页，2022年，5月20日，11点59分，星期四伽辽金型无网格法 数值积分第30页，共46页，2022年，5月20日，11点59分，星期四伽辽金型无网格法 数值积分节点积分稳定化方案零能模态第31页，共46页，2022年，5月20日，11点59分，星期四伽

14、辽金型无网格法 位移边界条件的处理拉格朗日乘子法第32页，共46页，2022年，5月20日，11点59分，星期四伽辽金型无网格法 位移边界条件的处理修正变分原理第33页，共46页，2022年，5月20日，11点59分，星期四伽辽金型无网格法 位移边界条件的处理罚函数法第34页，共46页，2022年，5月20日，11点59分，星期四加权余量法平衡方程应变-位移关系应力-应变关系 边界条件线弹性力学的控制方程第35页，共46页，2022年，5月20日，11点59分，星期四加权余量法对于复杂问题，只能求近似解加权余量法不要求余量在各点均为零，而要求余量的加权积分为零 平均意义上满足方程近似解：加权余

15、量法的物理意义：选取合适的待定参数强迫余量在某种平均意义下为零等效积分形式检验函数Test functions 试探函数(trial function) 待定系数第36页，共46页，2022年，5月20日，11点59分，星期四加权余量法如何选取权函数？取：选择不同的权函数，得到不同的加权余量法 Test function第37页，共46页，2022年，5月20日，11点59分，星期四加权余量法1. 配点法强迫余量在域内N个离散点上为零!2. 子域法强迫余量在N个子域VI上的积分为零!第38页，共46页，2022年，5月20日，11点59分，星期四加权余量法3. 最小二乘法强迫余量的均方和为最小

16、！4. 伽辽金法在有限元法中主要采用伽辽金法第39页，共46页，2022年，5月20日，11点59分，星期四加权余量法5. 局部彼得洛夫-伽辽金法余量在各子域s上消除，且检验函数和试探函数取自不同的函数空间第40页，共46页，2022年，5月20日，11点59分，星期四加权余量法子域s以各节点为中心：球形、椭球、立方体在子域中积分，易于实现检验函数MLS权函数Dirac 函数误差函数微分方程的基本解：等价于LBIE单位阶跃函数：无域内积分，效率高近似函数：与Galerkin法等价最终得到的求解方程的系数矩阵一般是不对称第41页，共46页，2022年，5月20日，11点59分，星期四无网格法的应

17、用天体物理水下爆炸高速碰撞动态裂纹扩展板壳分析流体力学相变问题大变形自适应金属加工成型塑性变形局部化纳米管起皱第42页，共46页，2022年，5月20日，11点59分，星期四岩土数值模拟岩土特性：强度和压力相关性，剪胀性，非关联塑性，以及应变软化和等压屈服特性。Drucker-Prager弹塑性本构模型 屈服面与压力相关，剪胀性和非关联塑性。 屈服面：f s和f t平面上 第43页，共46页，2022年，5月20日，11点59分，星期四岩土数值模拟Drucker-Prager模型剪切失效-屈服函数 拉伸失效-屈服函数 屈服面 剪切失效-塑性势函数 非关联流动拉伸失效-塑性势函数 关联流动摩擦角：粘聚力：c剪胀角：第44页，共46页，2022年，5月20日，11点59分，星期四岩土数值模拟 边坡失效粘土边坡E=70MPa, =0.3, =2.1 g/cm3 = 20 ; =00 ; c = 10.0 kPaMPM