非线性控制系统分析

1、非线性控制系统分析第1页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四$1 引言非线性：指元件或环节的静特性不是按线性规律变化。非线性系统：如果一个控制系统，包含一个或一个以上具有非线性静特性的元件或环节，则称这类系统为非线性系统，其特性不能用线性微分方程来描述。一控制系统中的典型非线性特性下面介绍的这些特性中，一些是组成控制系统的元件所固有的，如饱和特性，死区特性和滞环特性等，这些特性一般来说对控制系统的性能是不利的；另一些特性则是为了改善系统的性能而人为加入的，如继电器特性，变增益特性，在控制系统中加入这类特性，一般来说能使系统具有比线性系统更为优良的动态特性。第2页，共78页，2

2、022年，5月20日，15点5分，星期四(1) 饱和特性（2）死区特性式中 a-线性区宽度 k-线性区特性的斜率 第3页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四危害：使系统输出信号在相位上产生滞后，从而降低系统的相对 稳定性，使系统产生自持振荡。（3）间隙特性第4页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四功能：改善系统性能的切换元件（4）继电器特性第5页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四特点：使系统在大误差信号时具有较大的增益，从而使系统响应迅速；而在小误差信号时具有较小的增益，从而提高系统的相对稳定性。同时抑制高频低振幅噪声，提高系统响应控制信

3、号的准确度。本质非线性：不能应用小偏差线性化概念将其线性化非本质非线性：可以进行小偏差线性化的非线性特性二非线性控制系统的特性（1）对于线性系统，描述其运动状态的数学模型是线性微分方程，它的根本标志就在于能使用叠加原理。而非线性系统，其数学模型为非线性微分方程，不能使用叠加原理。(5)变增益特性第6页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四对非线性系统，一般并不需要求解其输出响应过程。通常是把讨论问题的重点放在系统是否稳定，系统是否产生自持振荡，计算自持振荡的振幅和频率，消除自持振荡等有关稳定性的分析上。（2）在线性系统中，系统的稳定性只与其结构和参数有关，而与初始条件无关。对于

4、线性定常系统，稳定性仅取决于特征根在s平面的分布。但非线性系统的稳定性除和系统的结构形式及参数有关外，还和初始条件有关。在不同的初始条件下，运动的最终状态可能完全不同。如有的系统初始值处于较小区域内时是稳定的，而当初始值处于较大区域内时则变为不稳定。反之，也可能初始值大时系统稳定，而初始值小则不稳定。甚至还会出现更为复杂的情况。（3）在非线性系统中，除了从平衡状态发散或收敛于平衡状态两种运动形式外，往往即使无外作用存在，系统也可能产生具有一定振幅和频率的稳定的等幅振荡。第7页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四自持振荡：无外作用时非线性系统内部产生的稳定的等幅振荡称为自持振荡

5、，简称自振荡。改变非线性系统的结构和参数，可以改变自持振荡的振幅和频率，或消除自持振荡。对线性系统，围绕其平衡状态只有发散和收敛两种运动形式，其中不可能产生稳定的自持振荡。（4）在线性系统中，输入为正弦函数时，其输出的稳态分量也是同频率的正弦函数，输入和稳态输出之间仅在振幅和相位上有所不同，因此可以用频率响应来描述系统的固有特性。而非线性系统输出的稳态分量在一般情况下并不具有与输入相同的函数形式。第8页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四三非线性系统的研究方法 现在尚无一般的通用方法来分析和设计非线性控制系统。对非本质非线性系统 基于小偏差线性化概念来处理对本质非线性系统 二

6、阶系统：相平面法 高阶系统：描述函数法第9页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四$2 相平面法 相平面法是一种通过图解法求解二阶非线性系统的准确方法。一基本概念第10页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四二线性系统的相轨迹相轨迹的斜率不能由该点的坐标值单值地确定的点称为奇点。第11页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四第12页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四第13页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四（6）第14页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四三.相轨迹的绘制第15页，共78页

7、，2022年，5月20日，15点5分，星期四b.直接积分法第16页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四（2）图解法a.等倾线法等倾线：在相平面内对应相轨迹上具有等斜率点 的连线原理第17页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四步骤：a.根据等倾线方程式（*），做出不同值的等倾线b.根据初始条件确定相轨迹的起始点c.从起始点处的等倾线向相邻的第二条等倾线画直线，它的斜率近似等于这两条相邻等倾线斜率的平均值。再从该直线与第二条等倾线的交点向相邻的第三条等倾线画直线。这段直线的斜率等于第二.第三等倾线斜率的平均值，如此继续下去，即可作出相轨迹。 第18页，共78页，

8、2022年，5月20日，15点5分，星期四第19页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四第20页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四第21页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四第22页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四第23页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四四.由相轨迹求时间解第24页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四2根据求时间解以为横坐标，为纵坐标则有如下轨迹便是阴影部分的面积第25页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四第26页，共78页，2022年，5月20

9、日，15点5分，星期四五非线性系统的相平面分析1基本概念实奇点：奇点位于对应的线性工作区域内虚奇点：奇点位于对应的线性工作区域外极限环：极限环是相平面图上一个孤立的封闭轨迹，所有极限环附近的相轨迹都将卷向极限环，或从极限环卷出。极限环内部（或外部）的相轨迹，总是不可能穿过极限环而进入它的外部（或内部）。第27页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四（1）稳定极限环 在极限环附近，起始于极限环外部或内部的相轨迹均收敛于该极限环。这时，系统表现为等幅持续振荡。第28页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四（2）不稳定极限环 在极限环附近的相轨迹总是从极限环发散出去。

10、在这种情况下，如果相轨迹起始于极限环内，则该相轨迹收敛于极限环内的奇点，如果相轨迹起始于极限环外，则该相轨迹发散至无穷远。第29页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四（3）半稳定极限环 如果起始于极限环外部的相轨迹，从极限环发散出去，而起始于极限环内部各点的相轨迹，收敛于极限环; 或者相反，起始于极限环外部各点的相轨迹收敛于极限环，而起始于极限环内部各点的相轨迹收敛于原点。第30页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四 一般非线性系统可用分段线性微分方程来描述。在相平面的不同区域内，代表该非线性系统运动规律的微分方程是线性的，因而每个区域内的相轨迹都是线性系统

11、的相轨迹，仅在不同区域的边界上相轨迹要发生转换。区域的边界线称为开关线或转换线。2非线性系统相轨迹 因此，一般非线性系统相轨迹实际上就是分段线性系统相轨迹，我们只需做好相轨迹在开关线上的衔接工作。第31页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四（1）将非线性特性用分段的直线特性来表示，写出相应线段的数学表达式。（2）首先在相平面上选择合适的坐标，一般常用误差及其导数分别为横纵坐标。然后将相平面根据非线性特性分成若干区域，使非线性特性在每个区域内都呈线性特性。（3）确定每个区域的奇点类别和在相平面上的位置。（4）在各个区域内分别画出各自的相轨迹。（5）将相邻区域的相轨迹，根据在相邻

12、两区分界线上的点对于相邻两区具有相同工作状态的原则连接起来，便得到整个非线性系统的相轨迹。（6）基于该相轨迹，全面分析二阶非线性系统的动态及稳态特性。用相平面法分析非线性系统的一般步骤：第32页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四例1.非线性系统方框图如图所示，试取其系统在输入信号作用下的相轨迹，并分析该系统的特性。初始状态-M-e0M第33页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四 第34页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四例2.非线性系统方框图如图所示，试取其系统在输入信号作用下的相轨迹，并分析该系统的特性。初始状态第35页，共78页，2

13、022年，5月20日，15点5分，星期四解：死区特性的数学表达式为线性部分微分方程为而根据死区特性，系统可分为三个区I区区区故有第36页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四(1)I区区区三个区的微分方程分别为在I区奇点正好位于I，区分界线上;说明相轨迹是斜率为的 直线或在区第37页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四同理在区，等倾线为起始坐标第38页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四(2)渐近线虚奇点实奇点第39页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四例3解：第40页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四I

14、区区区衰减振荡，最终稳态误差为常值 第41页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四例1 求下列方程的奇点，并确定奇点类型解：奇点故奇点为中心点 令在奇点处，将 进行泰勒(Taylor)级数展开故有特征方程第42页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四所以为不稳定焦点第43页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四$3 描述函数法一本质非线性特性的谐波线性化1谐波线性化：具有本质非线性的非线性元件在正弦输入作用下，在其非正弦周期函数的输出响应中，假设只有基波分量有意义，从而将本质非线性特性在这种假设下视为线性特性的一种近似。3应用描述函数法分析非线性

15、系统的前提a.非线性特性具有奇对称性b.非线性系统具有图a所示的典型结构c.非线性部分输出x(t)中的基波分量最强d.非线性部分G(s)的低通滤波效应较好第44页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四4.描述函数第45页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四b.非线性特性的描述函数的求取方法非线性元件的正弦输入为式中其非线性周期输出 付立叶级数为第46页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四的基波分量为若非线性特性是奇对称的式中第47页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四二典型非线性特性的描述函数（1）饱和特性的描述函数第48页

16、，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四第49页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四第50页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四（2）死区特性描述函数第51页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四第52页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四（3）间隙特性的描述函数第53页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四第54页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四第55页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四（4）继电特性描述函数第56页，共78页，2022年，5月20日，

17、15点5分，星期四第57页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四第58页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四（5）变增益特性的描述函数第59页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四第60页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四第61页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四(6)典型非线性环节串联时的描述函数例1 求取非线性环节的等效形式第62页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四例2 第63页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四三.非线性控制系统的描述函数分析(1)控制系统的稳

18、定性分析特征方程为相当于非线性特性的负倒描述函数第64页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四Nyquist图上分析谐波线性化系统稳定的准则是第65页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四类型非线性特性描述函数 负倒描述函数曲线 理想继电器特性死区继电器特性第66页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四类型非线性特性描述函数 负倒描述函数曲线 滞环继电器特性 死区加滞环继电器特性第67页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四类型非线性特性描述函数 负倒描述函数曲线 饱和特性死区特性第68页，共78页，2022年，5月20日，15点5分，星期四类型非线性特性描述函数 负倒描