31 刚体的定轴转动

1、3-1 刚体的定轴转动一、质点系的角动量定理1、质点系对固定点的角动量定理对由n个质点组成的质点系中第i个质点，有：质点i受力对i求和有：因内力成对出现故该项为零1得：作用于质点系的外力矩的矢量和等于质点系角动量的增量质点系对固定点的角动量定理22、质点系对轴的角动量定理virimii转动惯量I因有：3质点系的转动惯量国际单位制中转动惯量的单位为千克米2（kgm2）3、转动惯量的计算与转动惯量有关的因素：刚体的质量转轴的位置刚体的形状 实质上与转动惯量有关的只有前两个因素。形状即质量分布，与转轴的位置结合决定转轴到每个质元的矢径。单个质点的转动惯量质量连续分布的刚体的转动惯量4质量为线分布质量

2、为面分布质量为体分布其中、分别为质量的线密度、面密度和体密度。线分布体分布刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。面分布5例1、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。解:I是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。ROdm注意只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量6例2、求质量为m、半径为R、厚为l 的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。解：取半径为r宽为dr的薄圆环,可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是mR2/2。7例3、求长为L、质量为m的均

3、匀细棒对图中不同轴的转动惯量。ABLXABL/2L/2CX解：取如图坐标，dm=dx8平行轴定理前例中IC表示相对通过质心的轴的转动惯量， IA表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距L/2。可见：推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对其转动惯量为I，则有：IICmd2。这个结论称为平行轴定理。9 右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？(棒长为L、球半径为R）101、力对转轴的力矩转动平面(2)转动平面(1)方向如图任意方向的力对转轴的力矩二、刚体的转动定律11如果有几个外力矩作用在刚体上积分得 力矩的大小等于力在作用点的切向分量与力的作用点到转轴Z

4、的距离的乘积。122、刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律 刚体绕定轴转动时，它的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体对转轴的转动惯量成反比。 刚体转动定律可由牛顿第二定律直接导出 和 为合外力和合内力13 将切向分量式两边同乘以r，变换得ZMdf dFOrdFddmdFn转动平面转动定律vvvvvvz分解为作用在质量元dm上的切向力和法向力：对等式左边积分得到外力矩其中，14角加速度对所有质量元都相等于是有所以其中写成矢量形式m反映质点的平动惯性，I反映刚体的转动惯性力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。MI 与地位相当刚体绕定轴Z的转动惯量(moment of

5、 inertia)15刚体定轴转动的转动定律的应用例、一个质量为、半径为的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体由静止下落高度时的速度和此时滑轮的角速度。mg16mg解：17例2 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴OO转动设大小圆柱体的半径分别为R和r，质量分别为M和m .绕在两柱体上的细绳分别与物体 m1和m2相连， m1和m2则挂在圆柱体的两侧，如图3.12所示 设R0.20m，r=0.10m，m=4kg，M=10kg，m1=m2=2kg，h=2.0 ，求：图3.12(1)柱体转动时的角加速度；(2)

6、两侧细绳的张力；(3) 开始运动到m1落地所需的时间. 18解 (1) ,和柱体的运动方程为图3.12 式中 而 代入数据得19(2) 由式有 图3.12由式有(3) 设开始运动到 m1落地所需的时间为 t，20转动动能与角动量的关系三、定轴转动的动能定律1、转动动能 刚体绕定轴转动时转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方乘积的一半。212、力矩的功ZMdf dFOrdFddmdFn转动平面vvvvvvz式中对i求和，得：力矩的功率为：当输出功率一定时,力矩与角速度成反比。223、刚体定轴转动的动能定理当=1时，=1 所以：合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量刚体定轴转动的动能定理23例2、一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的角加速度和角速度。解：棒下摆为加速过程，外力矩为重力对O的力矩。 棒上取质元dm,当棒处在下摆角时，该质量元的重力对轴的元力矩为Ogdmdm24重力对整个棒的合力矩为Ogdmdm代入转动定律，可得25外力矩对系统的角冲量（冲量矩）等于角动量的增量。四、刚体组对轴的角动量守恒定律外力对某轴的力矩之和为零，则该物体对同一轴的角