理论力学第十六章虚位移原理

1、理论力学第十六章虚位移原理第1页，共44页，2022年，5月20日，17点5分，星期四约 束非自由质点系在空间的位置以及在运动中受到 的限制.1. 几何约束与运动约束几何约束 在质点系中，所加的约束只能限 制各质点在空间的位置或质点系的位形。 16-1 约束 约束的分类或yxOAA0l第2页，共44页，2022年，5月20日，17点5分，星期四COyxvCC*运动约束 在质点系中，所加的约束不仅限制各质点在空间的位置，还限制它们运动的速度。第3页，共44页，2022年，5月20日，17点5分，星期四第4页，共44页，2022年，5月20日，17点5分，星期四运动约束OyxAxByBxAyABv

2、A其约束方程的一般形式:第5页，共44页，2022年，5月20日，17点5分，星期四2. 定常约束与非定常约束定常约束约束方程中不显含时间的约束：非定常约束约束方程中显含时间的约束：yxvOM第6页，共44页，2022年，5月20日，17点5分，星期四3. 单面约束与双面约束双面约束 约束方程可以写成等式的约束。 单面约束 约束方程不能写成等式、但是可以写成 不等式的约束。BByxOyxO第7页，共44页，2022年，5月20日，17点5分，星期四yxO单面约束还是双面约束？约束方程？yxOAAA0lA0l3. 单面约束与双面约束第8页，共44页，2022年，5月20日，17点5分，星期四4.

3、 完整约束与非完整约束 完整约束 约束方程不包含质点速度，或者包含质点速度但约束方程是可以积分的约束。 非完整约束 约束方程包含质点速度、且约束方程不可以积分的约束。第9页，共44页，2022年，5月20日，17点5分，星期四约束方程不可积分，所以导弹所受的约束为非完整约束。圆轮所受约束为完整约束。OyxAxByBxAyABvACOyxvCC*第10页，共44页，2022年，5月20日，17点5分，星期四16-2 广义坐标与自由度yxOlA(x, y)yxOA(x1, y1)B(x2, y2)ab广义坐标 确定质点系位形的独立参变量。第11页，共44页，2022年，5月20日，17点5分，星期

4、四广义坐标 确定质点系位形的独立参变量。 用 q1，q2，表示。自 由 度 在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参变 量的数目等于系统的自由度数。 对于稳定的完整约束，各质点的坐标可以写成广义坐标的函数形式:N=3ns 第12页，共44页，2022年，5月20日，17点5分，星期四16-3 虚位移和理想约束1. 虚 位 移BAM 质点系在给定瞬时，为约束所允许的无限小位移虚位移（1）虚位移是假定约束不改变而设想的位移；（2）虚位移不是任何随便的位移，它必须为约束所允许；（3）虚位移是一个假想的位移，它与实位移不同；（4）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。xyOF第13页，共44页，2

5、022年，5月20日，17点5分，星期四 虚位移与实位移的区别和联系（1）在完整定常约束下，实位移是诸多虚位移中的一个；MM1drdrerdr 实位移 r 虚位移实位移质点或质点系在其真实运动中，在一定的时间间 隔内发生的位移。（2）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。第14页，共44页，2022年，5月20日，17点5分，星期四 2. 虚 功 质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功虚功。 W = F r 3. 理想约束 质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的虚功等于零，我们把这种约束系统称为理想约束。 W = M FNi ri = 0第15页，共44页，2022年，5月20日，17点5

6、分，星期四16-4 虚位移原理FiFNim1 rim2miFi 主动力FNi约束反力 ri虚位移Fi + FNi = 0Fi ri + FNi ri =0Fi ri + FNi ri = 0 Fi ri = 0 FNi ri = 0理想约束第16页，共44页，2022年，5月20日，17点5分，星期四FiFNim1 rim2miFi 主动力FNi约束反力 ri虚位移 Fi ri = 0 对于具有理想约束的质点系，其平衡条件是：作用于质点系的主动力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零虚位移原理16-4 虚位移原理第17页，共44页，2022年，5月20日，17点5分，星期四 Fi ri = 0 上

7、式称为虚位移原理的解析表达式 应用虚位移原理解题时，主要是建立虚位移间的关系，通常采用以下方法： （1）通过运动学关系，直接找出虚位移间的几何关系；（2）建立坐标系，选广义坐标，然后仿照函数求微分的方法对坐标求变分，从而找出虚位移（坐标变分）间的关系。第18页，共44页，2022年，5月20日，17点5分，星期四BAOMF例 题 1已知：OA=r , AB=l, 不计各杆质量。求： 平衡时F与M 间的关系。解： 取系统为研究对象Fi ri = 0 由运动学关系可知：第19页，共44页，2022年，5月20日，17点5分，星期四CBADM例 题 2已知：菱形边长为 a , 螺距为 h，顶角为 2

8、 ，主动力偶为 M.求： 物体 C 所受到的压力。第20页，共44页，2022年，5月20日，17点5分，星期四CBADMFNrArC解： (1) 取系统为研究对象(2) 建立虚位移间的关系第21页，共44页，2022年，5月20日，17点5分，星期四xy解法二： 取建立图示坐标系FNCBADM第22页，共44页，2022年，5月20日，17点5分，星期四OABCDPQ例 题 3图示操纵汽门的杠杆系统，已知OA/OB = 1/3，求此系统平衡时主动力P 和Q 间的关系。第23页，共44页，2022年，5月20日，17点5分，星期四OABCDPQ解： (1) 取系统为研究对象由运动学关系可知：r

9、CrBrA第24页，共44页，2022年，5月20日，17点5分，星期四例 题 4 图示系统中除连接H点的两杆长度为 l 外, 其余各杆长度均为 2l, 弹簧的弹性系数为k, 当未加水平力 P 时弹簧不受力，且 = 0 ，求平衡时水平力P 的大小。第25页，共44页，2022年，5月20日，17点5分，星期四解： (1) 建立图示坐标系(2) 系统的虚功方程第26页，共44页，2022年，5月20日，17点5分，星期四第27页，共44页，2022年，5月20日，17点5分，星期四PMqll2lABCDPMqABCDFDsEsD例 题 5求图示连续梁的支座反力。解： (1) 解除D处约束，代之以

10、反力FD ，并将其视为主动力。其中:解得:第28页，共44页，2022年，5月20日，17点5分，星期四PMqll2lABCDFBsEsCPMqABCDsB(2) 解除B处约束，代之以反力FB ，并将其视为主动力。其中:解得:由虚功方程，得代入虚功方程，得第29页，共44页，2022年，5月20日，17点5分，星期四PMqll2lABCDFAsEsCPMqABCDsA(3) 解除A处约束，代之以反力FA ，并将其视为主动力。由虚功方程，得其中:代入虚功方程，得解得:第30页，共44页，2022年，5月20日，17点5分，星期四 考察由n个质点的、具有理想约束的系统。根据达朗贝尔原理，有主动力约

11、束力惯性力 令系统有任意一组虚位移系统的总虚功为16-5 动力学普遍方程第31页，共44页，2022年，5月20日，17点5分，星期四利用理想约束条件得到 动力学普遍方程 任意瞬时作用于具有理想、双面约束的系统上的主动力与惯性力在系统的任意虚位移上的元功之和等于零。 第32页，共44页，2022年，5月20日，17点5分，星期四动力学普遍方程的直角坐标形式动力学普遍方程 适用于具有理想约束或双面约束的系统。动力学普遍方程 既适用于具有定常约束的系统，也适用于具有非定常约束的系统。动力学普遍方程 既适用于具有完整约束的系统，也适用于具有非完整约束的系统。动力学普遍方程 既适用于具有有势力的系统，

12、也适用于具有无势力的系统。第33页，共44页，2022年，5月20日，17点5分，星期四 动力学普遍方程 主要应用于求解动力学第二类问题，即：已知主动力求系统的运动规律。 应用 动力学普遍方程 求解系统运动规律时，重要的是正确分析运动，并在系统上施加惯性力。 由于 动力学普遍方程 中不包含约束力，因此，不需要解除约束，也不需要将系统拆开。 应用 动力学普遍方程 ，需要正确分析主动力和惯性力作用点的虚位移，并正确计算相应的虚功。动力学普遍方程的应用第34页，共44页，2022年，5月20日，17点5分，星期四例 题 6已知： m ，R, f ， 。求：圆盘纯滚时质心的加速度。CmgaCFIR M

13、ICx解：1、分析运动，施加惯性力 2、本系统有一个自由度，令其有一虚位移 x。3、应用动力学普遍方程其中：第35页，共44页，2022年，5月20日，17点5分，星期四C2DC1ACB求：1、三棱柱后退的加速度a1； 2、圆轮质心C2相对于三棱加速度 ar。例 题 7质量为m1的三棱柱ABC通过滚轮搁置在光滑的水平面上。质量为m2、半径为R的均质圆轮沿三棱柱的斜面AB无滑动地滚下。第36页，共44页，2022年，5月20日，17点5分，星期四C2DC1ACB解：1、分析运动三棱柱作平动，加速度为 a1。圆轮作平面运动，质心的牵连加速度为ae= a1 ；质心的相对加速度为ar；圆轮的角加速度为

14、2。a1aear2第37页，共44页，2022年，5月20日，17点5分，星期四C2DC1ACBa1aear22、施加惯性力FI 2 eFI 2 rMI2FI1m1gm2 g3、确定虚位移 考察三棱柱和圆盘组成的系统，系统具有两个自由度。 第一组第二组 二自由度系统具有两组虚位移：x, x第38页，共44页，2022年，5月20日，17点5分，星期四C2DC1ACBFI 2 eFI 2 rMI2FI1m1gm2 gx4、应用动力学普遍方程 令第39页，共44页，2022年，5月20日，17点5分，星期四C2DC1ACBFI 2 eFI 2 rMI2FI1m1gm2 gx 令第40页，共44页，2022年，5月20日，17点5分，星期四C2DC1ACBFI 2 eFI 2 rMI2FI1m1gm2 gx 5、求解联立方程第41页，共44页，2022年，5月20日，17点5分，星期四 结论与讨论1. 虚 位 移 质点系在给定瞬时，为约束所允许的无限小位移虚位移 作用在质点上的力在虚位移上所做的功虚功 2. 理想约束 质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的虚功等于零，我们把这种约束系统称为 理想约束。广义坐标 确定质点系位形的独立参变量。自 由 度 在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参 变量的数目等于