2021-2022学年湖南省浏阳一中、株洲二中等湘东七校数学高二下期末复习检测试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项：1 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用05毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1函数的零点个数是（ ）A0B1C2D32已知随机变量，若，则的值为( )A0.1B0.3C0

2、.6D0.43设复数z满足=i，则|z|=（ ）A1BCD24在正四面体中，点，分别在棱，上，若且，则四面体的体积为（ ）ABCD5某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A20B10C30D606下列表格可以作为的分布列的是（）A BCD7若直线的参数方程为（为参数），则直线的倾斜角为( )ABCD8一个四面体各棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）ABCD9若实数满足不等式组，则的最大值为（）A8B10C7D910函数的图象沿轴向右平移个单位后，得到为偶函数，则的最小值为（ ）ABCD11己知一组样本数据恰好构成公差为5的等差数列，则这组数据的方差为A25B50C1

3、25D25012已知函数的定义域为，为的导函数，且，若，则函数的取值范围为（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13函数的值域为_14已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是_15若变量，满足约束条件 则的最大值为_16某超市国庆大酬宾，购物满100元可参加一次游戏抽奖活动，游戏抽奖规则如下：顾客将一个半径适当的小球放入如图所示的容器正上方的入口处，小球自由落下过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，落入A袋得奖金4元，落入B袋得奖金8元，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左向右下落的概率都为.已知李女士当天在该超

4、市购物消费128元，按照活动要求，李女士的活动奖金期望值为_元.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）为促进全面健身运动，某地跑步团体对本团内的跑友每周的跑步千米数进行统计，随机抽取的100名跑友，分别统计他们一周跑步的千米数，并绘制了如图频率分布直方图.（1）由频率分布直方图计算跑步千米数不小于70千米的人数；（2）已知跑步千米数在的人数是跑步千米数在的，跑步千米数在的人数是跑步千米数在的，现在从跑步千米数在的跑友中抽取3名代表发言，用表示所选的3人中跑步千米数在的人数，求的分布列及数学期望.18（12分）设是抛物线的焦点，是抛物线上三个不同的动点，直线

5、过点，直线与交于点.记点的纵坐标分别为（）证明：；（）证明：点的横坐标为定值19（12分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为.（）求乙投球的命中率；（）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望.20（12分）在平面直角坐标系中，圆为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线l的极坐标方程为分别求圆的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；设直线交曲线于两点，曲线于两点，求的长；为曲线上任意一点，求的取值范围21（12分）在直角坐标系中，已知椭圆经过点，且其左右焦点的坐标分别是，.（1

6、）求椭圆的离心率及标准方程；（2）设为动点，其中，直线经过点且与椭圆相交于，两点，若为的中点，是否存在定点，使恒成立？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由22（10分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平形四边形，PA平面ABCD，点M，N分别为BC,PA的中点，且AB=AC=1，AD=2（1）证明：MN平面PCD；（2）设直线AC与平面PBC所成角为，当在(0,6)内变化时，求二面角P-BC-A的平面角参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】因为和在均为增函数，所以在单调递增，所以函数至多一个零点

7、，再给赋值，根据可得函数在上有一个零点【详解】因为与均在上为增函数，所以函数至多一个零点又，即函数在上有一个零点答案选B【点睛】零点问题可根据零点存在定理进行判断，也可采用构造函数法，根据构造的两新函数函数交点个数来确定零点个数2、D【解析】根据题意随机变量可知其正态分布曲线的对称轴，再根据正态分布曲线的对称性求解，即可得出答案【详解】根据正态分布可知，故故答案选D【点睛】本题主要考查了根据正态分布曲线的性质求指定区间的概率3、A【解析】试题分析：由题意得，所以，故选A.考点：复数的运算与复数的模.4、C【解析】由题意画出图形，设，由余弦定理得到关于，的方程组，求解可得，的值，然后分别求出三角

8、形的面积及A到平面的高，代入棱锥体积公式得答案【详解】如图，设，由余弦定理得，-得，即，则，代入，得，又，得，A到平面PEF的距离，故选C【点睛】本题考查棱柱、棱锥、棱台体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题5、B【解析】根据三视图还原几何体，根据棱锥体积公式可求得结果.【详解】由三视图可得几何体直观图如下图所示：可知三棱锥高：；底面面积：三棱锥体积：本题正确选项：【点睛】本题考查棱锥体积的求解，关键是能够通过三视图还原几何体，从而准确求解出三棱锥的高和底面面积.6、C【解析】根据分布列的性质以及各概率之和等于1，能求出正确结果【详解】根据分布列的性质以及各概率之和等于

9、1，在中，各概率之和为，故错误；在中，故错误；在中，满足分布列的性质以及各概率之和等于1，故正确；在中，故错误故选：【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列的判断，考查分布列的性质以及各概率之和等于1等基础知识，考查运用求解能力，是基础题7、D【解析】将直线的参数方程化为普通方程，求出斜率，进而得到倾斜角。【详解】设直线的倾斜角为，将直线的参数方程（为参数）消去参数可得，即，所以直线的斜率 所以直线的倾斜角，故选D.【点睛】本题考查参数方程和普通方程的互化以及直线的倾斜角，属于简单题。8、A【解析】试题分析：正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，通过正方体的对角线的长度就是外接球的直径，求出

10、球的表面积由于正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，所以正方体的棱长为：1，所以正方体的对角线的长度就是外接球的直径，所以球的半径为，所以球的表面积为：，故选A.考点：球内接多面体9、D【解析】根据约束条件，作出可行域，将目标函数化为，结合图像，即可得出结果.【详解】由题意，作出不等式组表示的平面区域如下图所示，目标函数可化为，结合图像可得，当目标函数过点时取得最大值，由解得.此时.选D。【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，通常需要作出可行域，转化目标函数，结合图像求解，属于常考题型.10、B【解析】利用三角函数恒等变换，可得，利用其为偶函数，得到，从而求得结果.【详解】因为，所以，因

11、为为偶函数，所以，所以，所以的最小值为，故选B.【点睛】该题考查的是有关三角函数的图形平移的问题，在解题的过程中，需要明确平移后的函数解析式，根据其为偶函数，得到相关的信息，从而求得结果.11、B【解析】先计算数据平均值，再利用方差公式得到答案.【详解】数据恰好构成公差为5的等差数列 故答案选B【点睛】本题考查了数据的方差的计算，将平均值表示为是解题的关键，意在考查学生的计算能力.12、B【解析】分析：根据题意求得函数的解析式，进而得到的解析式，然后根据函数的特征求得最值详解：由，得，设（为常数），当x=0时，；当时，故当时，当时等号成立，此时；当时，当时等号成立，此时综上可得，即函数的取值范

12、围为故选B点睛：解答本题时注意从所给出的条件出发，并结合导数的运算法则利用构造法求出函数的解析式；求最值时要结合函数解析式的特征，选择基本不等式求解，求解时注意应用不等式的条件，确保等号能成立二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】利用导数求出函数的单调性，由单调性即可得出值域.【详解】 当 ，当 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减则即函数的值域为故答案为：【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的值域，属于基础题.14、【解析】依题意可得，椭圆焦点在轴上且因为长轴长是短轴长的2倍，所以，则，所以，解得，故，所以椭圆的标准方程为15、9.【解析】分析：画出可行域，然后

13、结合目标函数求最值即可.详解：作出如图所示可行域：可知当目标函数经过点A（2,3）时取得最大值，故最大值为9.点睛：考查简单的线性规划的最值问题，准确画出图形，画出可行域确定最优解是解题关键，属于基础题.16、5【解析】先记“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋中”为事件B，分别求出其对应概率，再由题意得到抽取活动奖金的可能取值，进而可求出结果.【详解】记“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋中”为事件B，由题意可得，所以.因为李女士当天在该超市购物消费128元，按照活动要求，李女士可参加一次抽奖，抽取活动奖金的可能取值为，所以期望为.故答案为5【点睛】本题主要考查离散型随机变量的期望

14、，熟记概念即可，属于常考题型.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）60人；（2）分布列见解析，.【解析】（1）由图可得（2）先求出跑步千米数在的人数，再依题意求出其他区间的人数，可知跑步千米数在的人数为2，跑步千米数在的人数为5，列出分布列求解即可【详解】（1）由频率分布直方图可得跑步千米数不小于70千米的人数为.（2）由频率分布直方图可知，跑步千米数在的人数为，所以跑步千米数在的人数为.因为跑步千米数在的人数为，所以跑步千米数在的人数为，则跑步千米数在的人数为.所以的所有可能取值为0，1，2，则；.所以的分布列为012故数学期望.【点睛】本题考察的频率分

15、布直方图的识别和超几何分布18、 (1) 证明见解析.(2) 证明见解析.【解析】分析：() 因为，所以，所以，所以 () 因为直线过点，所以，由()得，所以, 因为 即设点坐标为，又因为直线交于点，所以消去得，整理，即可证明点的横坐标为定值详解： () 因为，所以，所以，所以 () 因为直线过点，所以，由()得，所以, 因为 即设点坐标为，又因为直线交于点，所以所以消去得，所以，所以，因为，所以，即，所以点的横坐标为定值 点睛：本题考查抛物线的性质，抛物线与直线的位置关系，属中档题.19、（）（）的分布列为0123的数学期望【解析】试题分析：对于问题（I）由题目条件并结合间接法，即可求出乙投

16、球的命中率；对于问题（II），首先列出两人共命中的次数的所有可能的取值情况，再根据题目条件分别求出取各个值时所对应的概率，就可得到的分布列试题解析：（I）设“甲投球一次命中”为事件，“乙投球一次命中”为事件.由题意得解得或（舍去），所以乙投球的命中率为.（II）由题设知（I）知，可能取值为故，的分布列为 考点：1、概率；2、离散型随机变量及其分布列.20、（1），；（2）；（3）.【解析】消去参数得到普通方程，利用这个是可得到的直角坐标，直接利用转换关系对极坐标方程进行转换可得到曲线的极坐标方程；利用方程组和两点间的距离公式分别求出,相减求出结果利用向量的数量积和三角函数关系式的恒等变换及正弦

17、型函数的性质可求出结果【详解】圆为参数，转换为直角坐标方程为：，利用转换为极坐标方程为：，即曲线的极坐标方程为，转化为，利用整理得：直线l的极坐标方程为转换为直角坐标方程为：，由于直线交曲线于两点，则：，解得：或，所以：，同理：直线交曲线于两点，则：，解得：或所以：，所以：由于，则，P为曲线上任意一点，则：，所以，的范围是.【点睛】本题考查的知识要点：参数方程化为直角坐标方程，直角坐标方程与极坐标方程之间的转换，平面向量的数量积公式的应用，两点间距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变变换及辅助角公式与角函数的有界性，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.21、（1），；（2）在定

18、点【解析】（1）根据椭圆的焦点得到，根据椭圆过点，由椭圆的定义得到，再求出，从而得到椭圆的离心率和标准方程；（2）设，则，利用点差法，得到，从而表示出线段的垂直平分线，再根据直线过定点，得到关于的方程组，得到定点的坐标.【详解】（1）设椭圆方程：.椭圆经过点，可得.椭圆的离心率为，椭圆标准方程：.（2）设，因为为中点，则，.、在曲线上，将以上两式相减得：.所以得到，线段的垂直平分线方程：，整理得令，得故线段的垂直平分线过定点.所以存在定点，使恒成立.【点睛】本题考查根据椭圆定义求椭圆标准方程和离心率，直线与椭圆的位置关系，点差法表示线段垂直平分线，椭圆中直线过的定点，属于中档题.22、 (1)

19、 见解析;(2)(0，【解析】试题分析：（）根据直线与平面平行的判定定理，需在平面PCD内找一条与MN平行的直线.结合题设可取取PD中点Q，连接NQ,CQ， 易得四边形CQNM为平行四边形，从而得MN/CQ，问题得证.（）思路一、首先作出二面角的平面角，即过棱BC上一点分别在两个平面内作棱BC的垂线.因为AB=AC=1，点M分别为BC的中点，则AMBC.连接PM，因为PA平面ABCD，所以AM是PM在面ABC内的射影，所以PMBC，所以PMA即为二面角P-BC-A的平面角.再作出直线AC与平面PBC所成的角，即作出AC在平面PBC内的射影.由PMBC，AMBC且AMPM=M得BC平面PAM，从而平面PBC平面PAM.过点A在平面PAM内作AHPM于H，根据面面垂直的性质知AH平面PBC连接C