福建省长乐中学2023学年高三六校第一次联考数学试卷（含解析）

1、2023学年高考数学模拟测试卷考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合为自然数集，则下列表示不正确的是（ ）ABCD2已知集合，则集合( )ABCD3如图是二次函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是（ ）ABCD4波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前2

2、62-190年）的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k0，且k1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆现有椭圆=1（ab0），A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点M满足=2，MAB面积的最大值为8，MCD面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（）ABCD5已知双曲线的一个焦点为，点是的一条渐近线上关于原点对称的两点，以为直径的圆过且交的左支于两点，若，的面积为8，则的渐近线方程为（ ）ABCD6根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x，y进行回归分析，设u=

3、lny，v=(x-4)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程为=0.5v+2，则变量y的最大值的估计值是（ ）AeBe2Cln2D2ln27执行如图的程序框图，若输出的结果，则输入的值为( )ABC3或D或8已知，是双曲线的两个焦点，过点且垂直于轴的直线与相交于，两点，若，则的内切圆的半径为（ ）ABCD9设是虚数单位，则“复数为纯虚数”是“”的（ ）A充要条件B必要不充分条件C既不充分也不必要条件D充分不必要条件10若向量，则与共线的向量可以是（）ABCD11a为正实数，i为虚数单位，则a=（ ）A2BCD112如图，在中，点为线段上靠近点的三等分点，点为线段上靠近点的三等分点，则（ ）ABC

4、D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知以x2y =0为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的标准方程为_.14已知函数，则曲线在点处的切线方程是_15展开式中的系数为_.16设f（x）etx（t0），过点P（t，0）且平行于y轴的直线与曲线C：yf（x）的交点为Q，曲线C过点Q的切线交x轴于点R，若S（1，f（1），则PRS的面积的最小值是_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，高二年级准备成立一个环境保护兴趣小组.该年级理科班有男生400人，女生200人；文科班有男生100

5、人，女生300人.现按男、女用分层抽样从理科生中抽取6人，按男、女分层抽样从文科生中抽取4人，组成环境保护兴趣小组，再从这10人的兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.（1）设事件为“选出的这4个人中要求有两个男生两个女生，而且这两个男生必须文、理科生都有”，求事件发生的概率；（2）用表示抽取的4人中文科女生的人数，求的分布列和数学期望.18（12分）已知，函数的最小值为.（1）求证：；（2）若恒成立，求实数的最大值.19（12分）某商场为改进服务质量，在进场购物的顾客中随机抽取了人进行问卷调查调查后，就顾客“购物体验”的满意度统计如下：满意不满意男女是否有的把握认为顾客购物体验的满意度与

6、性别有关？若在购物体验满意的问卷顾客中按照性别分层抽取了人发放价值元的购物券若在获得了元购物券的人中随机抽取人赠其纪念品，求获得纪念品的人中仅有人是女顾客的概率附表及公式：20（12分）已知数列满足（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，证明：21（12分）如图，的直径的延长线与弦的延长线相交于点，为上一点，交于点求证：22（10分）一个工厂在某年里连续10个月每月产品的总成本（万元）与该月产量（万件）之间有如下一组数据：1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.872.252.372.402.552.642.752.923.033.143.26（1）

7、通过画散点图，发现可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立月总成本与月产量之间的回归方程；通过建立的关于的回归方程，估计某月产量为1.98万件时，产品的总成本为多少万元？（均精确到0.001）附注：参考数据：，.参考公式：相关系数，.2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【答案解析】集合为自然数集，由此能求出结果【题目详解】解：集合为自然数集，在A中，正确；在B中，正确；在C中，正确；在D中，不是的子集，故D错误故选：D【答案点睛】本题考查命题真假的判断、元素

8、与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2、D【答案解析】根据集合的混合运算，即可容易求得结果.【题目详解】，故可得.故选：D.【答案点睛】本题考查集合的混合运算，属基础题.3、B【答案解析】根据二次函数图象的对称轴得出范围，轴截距，求出的范围，判断在区间端点函数值正负，即可求出结论.【题目详解】，结合函数的图象可知，二次函数的对称轴为，所以在上单调递增.又因为，所以函数的零点所在的区间是.故选:B.【答案点睛】本题考查二次函数的图象及函数的零点，属于基础题.4、D【答案解析】求得定点M的轨迹方程可得，解得a，b即可.【题目详解】设A（-a，0），B（a，0），M（

9、x，y）动点M满足=2，则 =2，化简得.MAB面积的最大值为8，MCD面积的最小值为1， ，解得，椭圆的离心率为故选D【答案点睛】本题考查了椭圆离心率，动点轨迹，属于中档题5、B【答案解析】由双曲线的对称性可得即，又，从而可得的渐近线方程.【题目详解】设双曲线的另一个焦点为，由双曲线的对称性，四边形是矩形，所以，即，由，得：，所以，所以，所以，所以，的渐近线方程为.故选B【答案点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想与计算能力，属于中档题.6、B【答案解析】将u= lny，v=(x-4)2代入线性回归方程=-0.5v+2，利用指数函数和二次函数的性质可得最

10、大估计值.【题目详解】解：将u= lny，v=(x4)2代入线性回归方程=0.5v+2得：，即，当时，取到最大值2，因为在上单调递增，则取到最大值.故选：B.【答案点睛】本题考查了非线性相关的二次拟合问题，考查复合型指数函数的最值，是基础题,.7、D【答案解析】根据逆运算，倒推回求x的值，根据x的范围取舍即可得选项.【题目详解】因为,所以当，解得，所以3是输入的x的值；当时，解得，所以是输入的x的值，所以输入的x的值为或3，故选：D.【答案点睛】本题考查了程序框图的简单应用，通过结果反求输入的值，属于基础题.8、B【答案解析】设左焦点的坐标， 由AB的弦长可得a的值，进而可得双曲线的方程，及左

11、右焦点的坐标，进而求出三角形ABF2的面积，再由三角形被内切圆的圆心分割3个三角形的面积之和可得内切圆的半径.【题目详解】由双曲线的方程可设左焦点，由题意可得，由，可得，所以双曲线的方程为: 所以，所以三角形ABF2的周长为设内切圆的半径为r，所以三角形的面积，所以，解得，故选：B【答案点睛】本题考查求双曲线的方程和双曲线的性质及三角形的面积的求法，内切圆的半径与三角形长周长的一半之积等于三角形的面积可得半径的应用，属于中档题.9、D【答案解析】结合纯虚数的概念，可得，再结合充分条件和必要条件的定义即可判定选项.【题目详解】若复数为纯虚数，则，所以，若，不妨设，此时复数，不是纯虚数，所以“复数

12、为纯虚数”是“”的充分不必要条件.故选：D【答案点睛】本题考查充分条件和必要条件，考查了纯虚数的概念，理解充分必要条件的逻辑关系是解题的关键，属于基础题.10、B【答案解析】先利用向量坐标运算求出向量,然后利用向量平行的条件判断即可.【题目详解】故选B【答案点睛】本题考查向量的坐标运算和向量平行的判定,属于基础题,在解题中要注意横坐标与横坐标对应,纵坐标与纵坐标对应,切不可错位.11、B【答案解析】，选B.12、B【答案解析】，将,代入化简即可.【题目详解】.故选：B.【答案点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算、数乘运算，考查学生的运算能力，是一道中档题.二、填空题：本题

13、共4小题，每小题5分，共20分。13、【答案解析】设双曲线方程为，代入点，计算得到答案.【题目详解】双曲线渐近线为，则设双曲线方程为：，代入点，则.故双曲线方程为：.故答案为：.【答案点睛】本题考查了根据渐近线求双曲线，设双曲线方程为是解题的关键.14、【答案解析】求导，x=0代入求k，点斜式求切线方程即可【题目详解】则又故切线方程为y=x+1故答案为y=x+1【答案点睛】本题考查切线方程，求导法则及运算，考查直线方程，考查计算能力，是基础题15、【答案解析】变换，根据二项式定理计算得到答案.【题目详解】的展开式的通项为：，取和，计算得到系数为：.故答案为：.【答案点睛】本题考查了二项式定理，

14、意在考查学生的计算能力和应用能力.16、【答案解析】计算R（t，0），PRt（t），PRS的面积为S，导数S，由S0得t1，根据函数的单调性得到最值.【题目详解】PQy轴，P（t，0），Q（t，f（t）即Q（t，），又f（x）etx（t0）的导数f（x）tetx，过Q的切线斜率kt，设R（r，0），则k，rt，即R（t，0），PRt（t），又S（1，f（1）即S（1，et），PRS的面积为S，导数S，由S0得t1，当t1时，S0，当0t1时，S0，t1为极小值点，也为最小值点，PRS的面积的最小值为故答案为：【答案点睛】本题考查了利用导数求面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.三、

15、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）见解析【答案解析】（1）按分层抽样得抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人，再利用古典概型求解即可（2）由超几何分布求解即可【题目详解】（1）因为学生总数为1000人，该年级分文、理科按男女用分层抽样抽取10人，则抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人.所以.（2）的可能取值为0,1,2,3，的分布列为0123.【答案点睛】本题考查分层抽样，考查超几何分布及期望，考查运算求解能力，是基础题18、（1）见解析；（2）最大值为.【答案解析】（1）将函数表示为分段函数，利用函数的单调性求出该函数

16、的最小值，进而可证得结论成立；（2）由可得出，并将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，进而可得出实数的最大值.【题目详解】（1）.当时，函数单调递减，则；当时，函数单调递增，则；当时，函数单调递增，则.综上所述，所以；（2）因为恒成立，且，所以恒成立，即.因为，当且仅当时等号成立，所以，实数的最大值为.【答案点睛】本题考查含绝对值函数最值的求解，同时也考查了利用基本不等式恒成立求参数，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19、有的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关；.【答案解析】由题得，根据数据判断出顾客购物体验的满意度与性别有关；获得了元购物券的人中男顾客有人，记为，；女顾

17、客有人，记为，从中随机抽取人，所有基本事件有个，其中仅有1人是女顾客的基本事件有个，进而求出获得纪念品的人中仅有人是女顾客的概率.【题目详解】解析：由题得所以，有的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关获得了元购物券的人中男顾客有人，记为，；女顾客有人，记为，从中随机抽取人，所有基本事件有：，共个其中仅有1人是女顾客的基本事件有：，共个所以获得纪念品的人中仅有人是女顾客的概率【答案点睛】本小题主要考查统计案例、卡方分布、概率等基本知识，考查概率统计基本思想以及抽象概括等能力和应用意识，属于中档题20、（1）（2）证明见解析【答案解析】（1），当时，两式相减即得数列的通项公式；（2）先求出，再利用裂项相消法求和证明.【题目详解】（1）解：，当时，当时，由-，得，因为符合上式，所以（2）证明：因为，所以【答案点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21、证明见解析【答案解析】根据相似三角形的判定定理,已知两个三角形有公共角,题中未给出线段比例关系,故可根据判定定理一需找到另外一组相等角,结合平面几何的知识证得即可.【题目详解】证明：，所以，又因为，所以在与中，故.【答案点睛】本题考查平面几何中