最新微积分-下册-试题及其答案

1、精品文档微积分期末考试题一、填空题 ( 每小题 5分, 共25分)1、设 z xyf (xy) ，且当 y0 时， z x2，则 z.2、已知 zln( x2y2 ), 求gradz |( 3,4 ).3、求 z x2y21在条件 x y1下的极值为.24、该级数nn的收敛型为.n 1 25、已知微分方程 yy x , 该方程的通解为.二、选择题 ( 每小题 5分, 共25分)3sin( x2y2 )lim22x 0 xy6、 y 0）的值为（A.3B.0C.2D. 不存在7、已知曲线 L为过点 (0,0), (0,1), (1,2) 点的圆弧，则该曲线积分 IL (eyx)dx xey =（

2、）A. e2B. e2 1C. e2 1D. e2222( x2) n8、级数 n 13n 的收敛区间为（）A. (1,3)B. (1,3C. 1,3D. 1,3)9、已知积分D积分为（）y dx,其中 D 是由直线yx, y2x 及 x 1, x 2 所围成的闭区域，则该9423A.B.C.D.4932精品文档精品文档ez2 z10、已知 z z( x, y) 由 zxy 确定，求x y 为()9B.1ezxyC.23A.(1 ez) 23D.41 ez2三 、解答题 ( 每小题 10分, 共50分)11、求函数 f ( x, y)x34x22xyy2的极值 .12、求由于平面 x0, y

3、0, xy1所围成的柱体被平面z0 抛物面 x2y26 z截得的立体体积 .13、若 f (x) 为连续函数，且满足xsin t costf (t ) cost dt ，求函数 f ( x) .f ( x) 1014、求微分方程 (1x2 ) y2xy0的通解 .15、设 zy1z1zzf ( x2y 2 ) , 其中 f(u) 为可导函数 ,证明 xxyyy 2.精品文档精品文档微积分期末考试题答案一. 填空题1、 x22xy2yy2解析 : 由题可知 ,y时有f ( x)x2x,则f (xy)( xy)2(xy)0,x2y 22xyy2、 6i8j2525解析 : 由题可知 , 求偏导有z

4、22x2, z22 y2,gradz |(3, 4)6 i8 jxxyyxy25253、 32解析： zx2(1x)212x22x2x1x1令 z 0 ,得2 , z2 为极小值点 .4x240 ,x 下的极小值点为 (113故 zx2y21在 y12,2),极小值为 24、收敛解析 : 由比值判别法有 lim(n 1)22n(n 1) 22n 11, 此时该级数收敛 .2n 1n22n24n2n5、 1 ( x 1)2C1exC22解：令 py , yp , 方程化为 ppx , 于是p e(1) dx(1) dxex ( xe x dx C1)( xedx C1 )ex ( x 1)e x

5、C1(x 1) C1exypdx(x1)C1ex dx1( x1) 2 C1exC22精品文档精品文档二、选择题6、 A解析 ;由等价无穷小，有sin( x2y 2 ) x2y 2 ，则该极限为lim 33.x0y07、 B解析：由题可知，该曲线积分与积分路径无关，则作图有(0,2)此时，IL (eyx) dx xey121(1 x)dxeydy e2002(1,0)8、 D.t nRlimanlim3 n 11解析：令 tx 2 , 幂级数变形为n 13 n ,tnan 1n3n.( 1)n1当 t1时 , 级数为 n 03 n 收敛；1当t1n 13 n发散 .时, 级数为t n故 n 1

6、3 n 的收敛区间是 I t 1,1) ,( x2)n则 n 13 n 的收敛区间为 I x 1,3) .9、 Ay2dx2 x yddy解析： Dx1xx.32xdx921410、 B解析：设 F (x, y, z)zezxy ，则Fxy，Fyx，F 1 ezz精品文档精品文档zFxyyzFyxxxFz1 ez1 ez ，yFz1 ez1 ezzzz2 zy1 ey ey1ez xyx yy 1 ez(1 ez )21 ez(1 ez )2三、解答题11、 解： f ( x, y)x34x22xyy2，则f x ( x, y) 3x28x 2y，f y( x, y) 2x 2y，f xx (

7、 x, y)6x8，fxy (x, y)2，f yy (x, y)2，3x28x2 y0，求驻点，解方程组2x2 y0，得 (0,0) 和 (2, 2) .对 (0,0) 有 f xx (0,0)80 ， fxy (0,0)2 ， f yy (0,0)2 ，于是 B2AC120 ，所以 (0,0)是函数的极大值点，且f (0,0)0对 (2, 2) 有 f xx (2, 2)4 ， f xy (2, 2)2 ， f yy (2, 2)2 ，于是 B2AC 12 0 ， (2, 2) 不是函数的极值点。12、解：由题可知，抛物面x2y26z 作为曲顶面，开口向下，则x2y26xy1将所有平面投影

8、到Xoy面上得此图形，可知 0 x1,0y1x ，此时积分有Vdx16 x2y2 dydx 6 y x2 y1 y31x1x1000306(1x) x2 (1x)1(1x)3 dx171036精品文档精品文档13、解：由题可知，f (x)sin x cos x f (x) cos x 即 f (x) cos xf (x) sin x cos x令 P(x) cos x, Q( x)sin x cos x ，则f ( x)ecosxdxsin x cos xecosxdx(cdx) e sin x (c sin xdesin x ) e sin x (c esin x (sin x 1)sin x1ce sin x由 f (0)1, 有 c2 ，此时 f ( x)2e sin xsin x114、解 : 这是一个不明显含有未知函数ydyd 2 ydp2)dp令 dxp2dx(1 x2 px 0作变换，则 dxdxdp2 xdxln p ln(1 x2 ) ln