高三数学专题练习 外接球（附解析答案）

1、 ABC ABC高三数学题练习外接1正棱柱，长方体外接球球心是其中心例 1已知各顶点都同一球面上的正四棱柱的高为 体积 为6 ，则这个球的表面积是 ）AB20C24D322补形法（补成长体）PPBAaCa ABbCAaB C1 34例 2：若三棱锥的三侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 3依据垂直关系找心例 3：已知三棱锥 四个顶点均在同一个球面上，底面 满足BA 6，ABC 2，若该三棱锥体积的大值为 3，则其外接球体积为（ ）AB16C163D323一、单选题 ABCDADCD ABCDADCD BCDA O ， O 1长分别为 2、 的长方体的外接球的表面积 ）A B12C

2、24 D 2设三棱柱的侧棱直于底面，所有棱的长都为 ，顶点 都在一个球面上，则球的表面积为（ ）A12 B28 C44 D603长为 的正方 沿对角线 对折平面 平面 ，则三棱锥 的接ABC 球的表面积为（ ）A32 B27 CD 4某几何体是由两同底面的三棱锥组成，其三视图如下 图所示，则该几何体接球的面积为（ ）AB 2C3a2D 25棱锥 的所顶点都在球 的面上， 平面 ， 3，则球 的表面积为 ） R A B O O O ABCR R A B O O O ABCR BAC O P ABCD BC ABC D ACAB32 C60 D64 6如图 A C D 1 是边长为 的正方体 是为

3、 的正四棱锥，若点，1，1，C1，D1在同一个球面上，则球的表面积为（ ）ABCD7已知球 的半径为 ， ， ， 点在球 的球面上，球心 到平面 的距离 1 ， ，表面积为（ ），则球 的ABCD8知正四棱锥 (底面四边形 是正方形点 在 底面的射影是底面的心的各顶都在同一球面上，底面正方形的边长为若该正四棱锥的体为则此球的体积为（ ）AB C D 39如图在 中， 点 为 的中， ABD BD PBD P ABD BD PBD P A BCD AB CB DB O O 12在三棱锥 中 ，将 沿 折起到 的置，使 ，连接 ，得到三 棱锥 若该三锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（

4、）A7 B CD10四面体 中 ， ， 则此四面体外接球的面积为（ ），AB C17 D 11将边长为 正 沿着高 折起，使BDC 120，若折起后、B、四点都在球 的表面，则球 的面积为（ ）AB7 CDA BCD CD 棱锥的外接球的表面为（ ），则该三A 43B 43CD43 二、填空题 3， ， 3， ， ，A AB DB DC BDA 13棱长均为 6 的棱柱的外接球的表面积是_14已知棱长都相等四棱锥的侧面积为 ，则该正四棱 锥内切球的表面积为_15已知三棱柱 A B C 1的侧棱垂直于底面，顶点都在同一球面上，若该棱柱体积为 ，则此球的表面积等于_16在三棱锥 中 ， ， ， ，

5、 则三棱锥 外接的体积的最小值为 _1正棱柱，长方体外接球球心是其中心例 1已知各顶点都同一球面上的正四棱柱的高为 4 体积 为6 ，则这个球的表面积是 ）V ， ， V ， ， ABCAB20C24D32【答案C【解析】 4 R S ，故选 C2补形法（补成长体）PPBAaCa ABbCAaB C1 34例 2：若三棱锥的三侧面两两垂直，且侧棱长均为 其外接球的表面积是 【答案】，则【解析】 R ， 3依据垂直关系找心例 3：已知三棱锥 四个顶点均在同一个球面上，底面 满足BA 6， 2，若该三棱锥体积的大值为 3，则其外接球体积为（ ） ABCR O BD V ABCR O BD V eq

6、 oac(,S) ， 故 ，即 2 2R AB16C163D323【答案D【解析为 是腰直角三角形所以外接球的半径是r 设外接球的半径是 心 该底面的距离 ，如图，则 eq oac(,S) ， ，题设 1 ，最大体积对应的高为 之得 ， R 3 ，解所以外接球的体积是R ，故答案为 D一、单选题 R 2 r r R 2 R 2 r r R 2 ABCDACD ABC1长分别为 2、 的长方体的外接球的表面积 ）A B12C24 D 【答案B【解析】长方体的接球半径为 ，题意可知： 3该长方体的外接球表面积为 4 R 本题选择B 选项2设三棱柱的侧棱直于底面，所有棱的长都为 ，顶点 都在一个球面

7、上，则球的表面积为（ ）A12B28 C44 D60【答案B【解析设底面三角的外接圆半径为 ，由正弦定理可得： r 3sin60 ，则 ，设外接球半径为 ，合三棱柱的特征可知外接球半径R 3 2，外接球的表面积 本题选择 B 选项3长为 的正方 沿对角线 对折平面 平面 ，则三棱锥 的接 ABCDAC ADCD ABCABCDAC ADCD ABC2 2 2 球的表面积为（ ）A B CD 【答案C【解析把边长为 3 的方形 沿角线 对折，使得平 面 平面 ，则三棱锥 的外球直径为AC ，外接球的表面积为 ，故选C4某几何体是由两同底面的三棱锥组成，其三视图如下 图所示，则该几何体接球的面积为

8、（ ）A B C3a D 【答案C【解析由题可知，几何体是由同底面不同棱的两个三棱锥构成中底面是长为 a的正三角形个是条侧棱两两垂直，且侧棱长 的三棱锥，另一个是棱长为正四面体，如图所示 a的 2 22 2 BCDA O ， O ， 2 22 2 BCDA O ， O ， 2 2 该几何体的外接球与长为 正方体的外接球相同，因此 外接球的直径即为正体的体对角线，所以2 3 R 32a，所以该几何体外接面积 R2 2，故选C5棱锥 的所顶点都在球 的面上， 平面 ，BC BD CD ，则球 的表面积为 ）AB C D 【答案D【解析为BC BD CD 3以 2 ，2，CBD 3因此三角形 外接半

9、径为 CD ，设外接球半径为 R 则 R 2 2 S =4 R 2 故选S M O ， 在OM M B S M O ， 在OM M B 2 2 x 2 2 D6如图 A C D 1 是边长为 的正方体 是为 的正四棱锥，若点，1，1，C1，D1在同一个球面上，则球的表面积为（ ）A916B2516C4916D8116【答案D【解析】图所示，结 C ， D 1，交点为 ，连结 ，易知球心 在直线上，设球的半径 x Rt OMB中，由勾股定理有： 2 2 2 1： 2 2 得： 9 ， 则该球的表面积 R 本题选择D 选项R A B CO O O ， ，O R R R A B CO O O ， ，

10、O R R R ABCD7已知球 的半径为 ， ， ， 点在球 的球面上，球心 到平面 的距离R AB AC BAC ，则球 的表面积为（ ）A169B163C649D643【答案D【解析】余弦定理：BC ，设三角 外接圆半为r，由正弦定理可得： sin120r，则r ，又R 2 ，解得： 16 ，则球的表面积 本题选择 D 项8知正四棱锥 (底四边形 正方形点 在底面的射影是底面的心的各顶都在同一球面上，底面正方形的边长为若该正四棱锥的体为则此球的体积为（ ）AB C D 3【答案CABCDP O ， 则 ， R ABC BC ABCDP O ， 则 ， R ABC BC ， D ABD B

11、D PBDPC PD PCP 【解析】如图，设正方形 的中为 正四棱锥 的外接球 心为 ，底面正方形的边长为 5，正四棱锥的体积为，V P PE ， 在 中由勾股定理得：，解得 ， 43R ，故选C9如图在 中， 点 为 的中点，将 沿 折起到 的置，使 ，连接 ，得到三 棱锥 若该三锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ） PCDP O PCDP O DB， OB A ABC CBD 60 A B CD【答案A【解析由题意得该棱锥的面 是长为 的正三角形， 且 平面 ，设三棱锥 外接的球心为 ，PCD外接圆的圆心为，则 面 ，边形 为 1角梯形，由BD 及 得外接球半径为 ，该球的

12、表面积 2 故选 A10四面体 中 ， ， 则此四面体外接球的面积为（ ），AB CD 【答案A【解析】 BCD CBD BCD BCD CBD BCD， AF FBAF A AF R ABC ADO O 由题意， 中， ，可知 是等边三角形，BF 的外接圆半径r 2 33BE FE 33， ，可得AD ，可得AF 6， ， ，四面体 高为设外接球 ， 为球， ，可得：rR，6 2R2由解得：面体外接球的表积 2 选 A11将边长为 正 沿着高 折起，使 ，若折起后、B、四点都在球 的表面，则球 的面积为（ ） BCD BD CD 120M r BCD BD CD 120M rBC 3M AD

13、DA 3ADO OM OMDOD 12在三棱锥 中 ，A72B7 CD【答案B【解析】 中， ， ，底面三角形的底面外圆圆心为 径为 余弦定理得到 ，再由正弦理得到sin120 r r ，见图示：AD是球的弦， ，底面的圆心 行于 竖直向上提起，提起到 的高度一半，即为球心的位置 ，在直角三角形 中应用勾股定理得到 ， 即为球的半 径球的半径OD 1 3 74 球的表面积为 选 BA AB BD AD 棱锥的外接球的表面为（ ），则该三A B CD 【答案DCD FCE ED， ADBCD FCE ED， ADB EF CD EF EF G EFG EF， ，【解析别取 ， 中点 接相应的线段

14、 ， ，EF由条件，AB CD BC BD ，可知， 与 都是等腰三角形，平面 ， ，理 ， 是 与 的公垂 线，球心 在 上，推导，可以证明 为 中，DE DF EF 7，GF 72，球半径DG 7 4 2，外接球的表面积 DG 43 故选 D二、填空题13棱长均为 6 的棱柱的外接球的表面积是_ 3 PMN其 中 ， 3 PMN其 中 ， 【答案】84 【解析】正弦定理知底面三角形的外接圆半径为 6 1 r 2 ，则外接球的半径R 21，则外接球的表面积为 R 14已知棱长都相等四棱锥的侧面积为 ，则该正四棱 锥内切球的表面积为_【答案】 【解析】正四棱锥棱长为 ，则 3 a 3 ，解得 于是该正四棱锥内切的大圆是如图 的内切圆， PN 设内切圆的半径为r由 ，得F r PN 2 2 3，2 ， ， ， ， ， ， ， ， 2 ABCR ， 2 ， ， ， ， ， ， ， ， 2 ABCR ， A AB AC DC DB BDA A AD解得r 6 2，内切球的表面积为 r 6 15已知三棱柱 A B C 1的侧棱垂直于底面，顶点都在同一球面上，若该棱柱体积为 则此球的表面积等于_【答案】 AC 60，【解析】三棱柱 A B 1的侧棱垂直于底面，柱的体积