相似三角形的性质及判定知识点总结经典题型总结

1、 A B C C 相三形性及定中考要考试要求板块A 级要求B 级要求C 级要求相似三角形了解相似三角形掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌 握相关的模型会运用相似三角形相关的 知识解决有关问题知识点一、相似的有关概念1相似形具有一样形状的图形叫做相似形相似形仅是形状一样大小不一定一 样相似图形之间的互相变换称为相似变换2相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等3相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例二、相似三角形的概念1相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形如图， 与相似，记作，符号 读作“相似于 B 与 A AM ABC B 与 A AM ABC

2、 BC B ABC BCAB C 2相似比相似三角形对应边的比叫做相似比全等三角形的相似比是 1“全等三 角形一定是“相似形，“相似形不一定是“全等形三、相似三角形的性质1相似三角形的对应角相等如图， 与相似，那么有 AAB C 2相似三角形的对应边成比例 相似，那么有AB AC A B 为相似比3相似三角形的对应边上的中线高线和对应角的平分线成比例都等于 相似比如图 1 与相似， 是 中 边上的中线，A是 A中B边上的中线，那么有AB AC A 为相似比AAB C MC图 1如图 2， 与相似， 是 中 边上的高线，A是 A中B边上的高线，那么有AB AC AH 为相似比 AC AD ABC

3、 BAC k ABC k AC AD ABC BAC k ABC k B ABC BC AB H C BH图 2如图 3， 与相似， 是 中 的角平分线，A是 中 的角平分线，那么有AB BC 为相似比 A A D C BC图 34相似三角形周长的比等于相似比如图 4， 与相似，那么有 BC AC A A 为相似比用比例的等比性质有AB BC A B A AAAB C 5相似三角形面积的比等于相似比的平方图 4如图 5， 与相似， 是 中 边上的高线，A是 A中B边上的高线，那么有AB AC AH 为相似比而可得 eq oac(, ) eq oac(, )1 21 2 AH B AAB H C

4、 BH图 5 A C BF E F A C BF E F A C DE EFD F1平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交所构成 的三角形与原三角形相似2如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等那么这两 个三角形相似可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似3如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例且夹角相 等，那么这两个三角形相似4如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例么这两个 三角形相似可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似5果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和 一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似6直角三

5、角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似常用但要证明 7如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个 等腰三角形也相似五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法1横向定型法欲证 BC ，横向观察，比例式中的分子的两条线段是 和 ，三个字 BE BF母 恰为 的顶点母的两条线段是 和 个字母 恰为 的三个顶点因此只需证 EBF2纵向定型法欲证 AB DE ，纵向观察，比例式左边的比 和 中的三个字母 恰 EF为 的顶点；右边的比两条线段是 和 中的三个字母

6、恰为的三个顶点因此只需证 ABC DEF3中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有一样点的情况，此 时可考虑运用等线，等比或等积进展变换后，再考虑运用三点定形法寻找 相似三角形种方法就是等量代换法证明比例式时用到中间比AD BC AD ， ， AD， BE AC 比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。这类问题的典 型模型是AD BC AD ， ， AD， BE AC 倒数式的证明，往往需要先进展变形，将等式的一边化为 另一边化为 几个比值和的形式，然后比照值进展等量代换，进而证明之复合式的证明比拟复杂通常需要进展等线代换对线段进展等量代换 等比代换积代换复合式转化

7、为根本的比例式或等积式后进展证明六、相似证明中常见辅助线的作法在相似的证明中，常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似 三角形，同时再结合等量代换得到要证明的结论常见的等量代换包括等 线代换、等比代换、等积代换等如图： 平分 交 于 ，求证：BD DC 证法一：过 作 ，交 的延长线于 AC AE ， BD BA BA DC BE AC点评：做平行线构造成比例线段，利用了“A型图的根本 模型证法二；过 作 的平行线，交 的延长线于 AB ， BE DC AC D 点评平行线构造成比例线段用了“X型图的根本模型七、相似证明中的面积法面积法主要是将面积的比线段的比进展相互解决问题常用的面积

8、法根本模型如下： 转化来如图： eq oac(, ) eq oac(, )1212 CD图 1 山字 ”型ABHOGCDB B 如图： eq oac(, ) eq oac(, ) AO DG 如图： eq oac(,S) eq oac(, ) AD eq oac(, ) eq oac(, ) AE AE AED八、相似证明中的根本模型BA AA图 3 燕尾 型D EEDDFE IFB C B CBGC B D H B E BFC D D C F D DADAAA HDEEB C DB C DB C D B C D BD A D AAAADDDG DEGEEEB FBF B F CF D E A

9、C AB D E AC ABD 证： AD D E BC ABAC 如 图， 中， ABCHD FDFDFDF E B C B B H 例题精一、与三角形有关的相似问题【例】如图，在 中， ，点 在 边上，假设在增加一个条件就能使 ACB，那么这个条件可以是 AB C【稳固图， 、 是 的边 、 上的点 AE ADE .D C【稳固】如图，在 中， 于 ， 于 ， 的面积是 面积 的 4 倍， ，求 的长.【例】 ，那么 PC ，点 是 内一点，使得 APB BPC CPA，B.1 C. B.1 C. DEM N ABC BC【稳固】如图，三个边长相等的正方形相邻并排，求 PB CA GFB

10、C E【例】如图，中，AE : 1:3，BC CD ，AD与CE相交于F，那么AF EFFC FD的值为 A.5 2 2 固】 在 ， ， 延长 线交BC 线于， 求证 ：AD . P【稳固】如图， 、 为 边 上的两点，且满足BM MN NC，一条平行于 E F， 假设 ， ， ， E F， 假设 ， ， ，求证：AB BDCD BDB AC BDE EF D AC的直线分别交 、 和 的延长线于点 、 和 .求证：EF .D MN F【例】如图，AB / / EF / / CD AB EF 1 c .AEB F DC【稳固图， ，足分别为 、 ， 和 相交于点 ， ，垂足为 .证明： 1

11、1 AB EF.D， 找出ABCD AC BDBD ABO l、 ， 找出ABCD AC BDBD ABO l、 、M R P AC EF ACE FABCDEF EG GF【稳固】如图，AB / / EF / / CD ABD、SBED、S之间的关系，并证明你的结论.ACEB H F M D N【例】如图在四边形 中， 与 相交于点 直线 平行于 且与 、 DC BC AD及 的延长线分别相交于点 、 、 、 和 .求证：PM ABDClMN P S【稳固图，四边形 ，两组对边延长后交于 、 ，对角线 ， 的延长线交 于 求证： 【考点】相似三角形的性质与判定 【难度】5 【题型】解答D【关

12、键词】CG F BC AB BC AB ABC ABCP P ABCABCD【例】如图，中， ，假设D E1 1分别是 的中点，那么 E ；假设假设D 、 D 分别是分别是D D 的中点，那么；的中点，那么；假设D 、 分别是D B、 C 的中点么D E .C【例】如图， 内有一点 ，过 作各边的平行线，把 分成三个三角形和三个平行四边形假设三个三角形的面积 的面积是 S S 分别为1 2，那么【例】如图，梯形 的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为ABCD BD OAC ABCD BD OAC AD CDABCD F G EF FG AB OA q，那么梯形的面积是 A B Cpq

13、D【稳固】如图，梯形 中， ，两条对角线AC、 相交于 ，假设 eq oac(, ): eq oac(,S)1:9，那么 eq oac(, ): eq oac(, )二、与平行四边形有关的相似问题【例】如图，平行四边形 中，过点 的直线顺次与 、 及 的延长线相交于点 、 、 ，假设 ， ，那么 的长是 AFDEB 【稳固】如图， ，OC ，求证： .DO B【 例1】 ABCDO AB OE 【 例1】 ABCDO AB OE F, 的值 AE ADABCD AF DE O FOD如图， 的对角线相交于点 ，在 的延长线上任取一点 ，连接交 于点 ，假设 BE D KFFA BE BE【稳固

14、图 的面积是 36 边上分别取点 得 ，且 与 的交点为点 ，求 的面积。C OOC， AABCD AB / / ABAC BD ， 且 ABCD AB / / ABAC BD ， 且 与 交于点 ， 与 交于 . CD ABCD AD BC E F AD AF P Q PQ如 图梯形 中， ， ， , , ( ), ,【例1】如图梯形 中， ， 是 的中点分别连接 、 、 、 AC E DB 1求证：EF / / CD2假设 , ，求 的长.D【稳固图梯形 中， ， 分别是 的中点， 交 于 ， 交 于 ，求 的长AEDPB F C【例1】 ABCD / AD b DE 交 于点 ，连接 .

15、DCE DCE 交 于点 ，连接 .DCE DCE BCG EFGHAC BC AD 【 稳固】如图， 中，DEGFAC F G 判断 与 ， 与 是否分别一定相似，假设相似， 请加以证明.2如果不一定相似，请指出 、 满足什么关系时，它们就能相似.四、与内接矩形有关的相似问题【例1】 ABC中，正方形 的两个顶点 、 在 上，另两个顶点 、 分别在 、 上， , 边上的高 ,.EFGHAHGMFB D F D CABC AC BC 90，四边形 为正方形，其中D 在边 上， 在 上，求正方形的边长CD EA FB【 例1】 ABCD E F【 例1】 ABCD E F G ABDEGF， C

16、ABC AB AC 边 上， 交 于ECFCEECFCE EF如图， 中，四边形 为正方形， 在线段 上， 在上，如果 ，求 的面积CD EA FB【稳固】如图，在 中， ， ， ，动点 (点 ， 不重合)AC EF BC F点当 的面积与四边形 的面积相等时，求 的长当 的周长与四边形 的周长相等时，求 的长试问在 上是否存在点 ，使得 为等腰直角三角形？假设不存 在，请简要说明理由；假设存在，请求出 的长CFDE AB； ； ADE ABC DE AB； ； ADE ABC AB E AD AE AC CP E1.直线 与 的 边相交于点 ，与AC边相交于点 ，以下条件： AE AD 相似的条件有 ；AE ED BC中，能使 与A 个 B 个 C 个 D 个2.如图在 的边 上取一点 取一点 直线 和的延长线相交于 ，求证：BP D 3.： 为 的中位线 上任意一点， 、 的延长线分别交对边 、于 、 ，求证：AD AE DC EBDM ADEF AB F AB ADEF AB