平面任意力系

1、力对点的矩与力偶矩的区别不同处：力对点的矩可随矩心的位置改变而改变，但一个力偶的矩是常量。联系： 力偶中的两个力对任一点的之和是常量，等于力偶矩。米（N m）力矩的量纲与力偶矩的相同。力对点的矩力矩的性质静 力 学平面任意力系平面任意力系M实 例平面任意力系平面任意力系 作用线在同一平面内，但彼此不汇交一点，且不都平行的力系。实 例平面任意力系向作用面内一点简化力系向给定点的简化平面任意力系简化结果的讨论合力矩定理力矩的解析表达式力线平移定理FAOdFAOdMAO=F = F = F ,M= Fd = MO ( F ) 把力F 作用线向某点O平移时，须附加一个力偶，此附加力偶的矩等于原力F 对

2、点O的矩。平面任意力系向作用面内任一点简化1.力线平移定理 (1) 当力线平移时，力的大小、方向都不改变，但附加力偶的矩的大小与正负一般要随指定O点的位置的不同而不同。 力线平移定理平面任意力系向作用面内任一点简化 (2) 力线平移的过程是可逆的，由此可得重要结论： 作用在同一平面内的一个力和一个力偶，总可以等效替换为和原力大小相等、方向平行的一个力。 (3) 力线平移定理是把刚体上平面任意力系等效替换为一个平面汇交力系和一个平面力偶系的依据。几点注意工程实例 力线平移定理平面任意力系向作用面内任一点简化工程实例 力线平移定理平面任意力系向作用面内任一点简化 应用力系平移定理，可将刚体上平面任

3、意力系（包括平面平行力系）中各力的作用线全部平行搬移到作用面内某一给定点O 。从而这力系被分解为平面任意力系和平面力偶系。这种变换的方法称为力系向给定点O 的简化。点O 称为简化中心。 A3OA2A1F1F3F2以三个力构成的平面任意力系为例说明如下：M1OM2M3=F1F3F2MOO=FR力系的简化平面任意力系向作用面内任一点简化2. 力系向给定点O 的简化 汇交力系F1， F2， F3的合成结果为一作用点在点O的力FR。这个力矢F 称为原平面任意力系的主矢。 附加力偶系的合成结果是作用在同平面内的力偶，这力偶的矩用MO代表，称为原平面任意力系对简化中心O的主矩。 A3OA2A1F1F3F2

4、M1OM2M3MOO=F1F3F2FRFR = F1 +F2+F3 = F1 +F2+F3MO = M1 +M2+M3 = MO (F1) + MO (F2 ) + MO (F3 )力系的简化平面任意力系向作用面内任一点简化 结论 平面任意力系向作用面内任一点O简化的结果，是一个力和一个力偶，这个力作用在简化中心O，它的力矢等于原力系中各力的矢量和，并称为原力系的主矢；这力偶的矩等于各附加力偶矩的代数和，它称为原力系对简化中心O的主矩，并在数值上等于原力系中各力对简化中心O的力矩的代数和。 平面任意力系对简化中心O的主矩主矢FR = F1 +F2+Fn=FiMO = MO (F1) + MO

5、(F2 ) +MO (F3 )= MO (Fi )力系的简化平面任意力系向作用面内任一点简化(2) 平面任意力系的主矩一般与简化中心O的位置有关。因此，在说到力系的主矩时，一定要指明简化中心。几点说明(1) 平面任意力系的主矢的大小和方向与简化中心O的位置无关。MAB AB AMBMA力系的简化平面任意力系向作用面内任一点简化方向余弦(2) 主矩MO可由下式计算。平面任意力系向作用面内任一点简化主矢、主矩的求法(1) 主矢可按力多边形规则作图求得，或用解析法计算。MO = MO (F1) + MO (F2 ) +MO (F3 )= MO (F )力系的简化工程实例 力系的简化32 平面任意力系

6、向作用面内任一点简化 四、力系简化理论的应用固定端（插入端）约束平面任意力系向作用面内一点简化= （1） FR =0，而MO0，原力系合成为力偶。 这时力系主矩MO不随简化中心位置而变。力系的简化平面任意力系向作用面内任一点简化3.平面任意力系简化结果的讨论（2） MO=0，而FR 0，原力系合成为一个力。 作用于点O的力F 就是原力系的合力。（3） FR 0，MO0，原力系简化成一个力偶和一个作用于点O的力。F = F=F=MOOO AO A证 明 F 0，MO0，原力系简化成一个力偶和一个作用于点O的力，这时力系也可合成为一个力。至于点在主矢F 的那一边，则与主矩M的正负有关。下面列出二种

7、可能性。MO0AOAO力系的简化平面任意力系向作用面内任一点简化 综上所述，可见： (4) FR =0，而MO=0，原力系平衡。 平面任意力系如不自成平衡，则当主矢FR 0，该力系合成为一个力。力系的简化32 平面任意力系向作用面内任一点简化 平面任意力系如不自成平衡，则当主矢FR =0，该力系合成为一个力偶。 平面力系的合力对作用面内任一点的矩，等于这力系中的各力对同一点的矩的代数和。 表达式： MO(FR)=MO(Fi)证明：因为 MO=MO(Fi) ,MO =FRd=MO(FR)所以 MO(FR)=MO(Fi)=MOOO AO A32 平面任意力系向作用面内任一点简化4. 合力矩定理4.

8、 合力矩定理 力矩的解析表达式 F对原点O的力矩的解析表达式：MO(F) = xFy yFxAOyxbayxFyFFx证明：MO(F)=MO(Fx)+ MO(Fy)MO(Fx)=Ob Fx = yFxMO(Fy)= Oa Fy= xFyMO(F) = xFy yFx合力矩定理32 平面任意力系向作用面内任一点简化F1F2F3F4OABC xy2m3m3060 例3-1 在长方形平板的O，A，B，C点上分别作用着有四个力：F1=1 kN，F2=2 kN，F3=F4=3 kN（如图），试求以上四个力构成的力系对点O的简化结果，以及该力系的最后的合成结果。例题3-1解：取坐标系Oxy。1、求向O点简

9、化结果。 求主矢FR 。 例题 3-132 平面任意力系向作用面内任一点简化F1F2F3F4OABC xy2m3m3060FOABC xy32 平面任意力系向作用面内任一点简化 例题 3-1 求主矩。 2. 求合成结果。F1F2F3F4OABC xy2m3m3060FOABC xyMOFd合成为一个合力F，F的大小、方向与FR相同。其作用线与O点的垂直距离为32 平面任意力系向作用面内任一点简化 例题 3-133 平面任意力系平衡条件和平衡方程平面平行力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程(1) 平面任意力系平衡的充要条件33 平面任意力系的平衡条件和平衡方程(2) 平面任意

10、力系的平衡方程FR=0， MO=0 力系中的各力在其作用平面内两坐轴上的投影的代数和分别等于零，同时力系中的各力对任一点矩的代数和也等于零。力系的主矢等于零 ，且力系对任一点的主矩也等于零。1.平面任意力系的平衡条件和平衡方程（3） 平面任意力系的平衡方程其他形式且A，B的连线不和x轴相垂直。A，B，C三点不共线。33 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 平衡方程解：1.取伸臂AB为研究对象。2.受力分析如图。yFWWEWDxBAECDFAyFAxacbBFACWDWEl 例3-2 伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂AB重W=2200N，吊车D、E连同吊起重物各重WD=WE=4000N。有关尺寸为：

11、 l = 4.3m，a = 1.5m，b = 0.9m，c = 0.15m, =25。试求铰链A对臂AB的水平和垂直约束力，以及拉索BF的拉力。例题3-2 例题 3-233 平面任意力系的平衡条件和平衡方程3.选如图坐标系，列平衡方程。4.联立求解。 F = 12 456 N FAx= 11 290 N FAy= 4 936 NyFWWEWDxBAECDFAyFAx 例题 3-233 平面任意力系的平衡条件和平衡方程解：1. 取梁AB为研究对象。2. 受力分析如图，其中F =qAB=1003=300 N；作用在AB 的中点C。BADFFAyFAxFDCMyxBAD1mq2mM 例3-3 梁AB

12、上受到一个均布载荷和一个力偶作用，已知载荷集度（即梁的每单位长度上所受的力）q = 100 N/m，力偶矩大小M = 500 Nm。长度AB = 3 m，DB=1 m。求活动铰支D和固定铰支A的约束力。例题3-3 例题 3-333 平面任意力系的平衡条件和平衡方程3.选如图坐标系，列平衡方程。4.联立求解。 FD= 475 N FAx= 0 FAy= 175 NBADFFAyFAxFDCMyx 例题 3-333 平面任意力系的平衡条件和平衡方程已知：求：固定端A处约束力.解：取T型刚架，画受力图.列平衡方程25802083770ABCFW解：1.取机翼为研究对象。2.受力分析如图。WFAyFA

13、xMABCFA 例3-4 某飞机的单支机翼重 W =7.8 kN。飞机水平匀速直线飞行时，作用在机翼上的升力 F = 27 kN，力的作用线位置如图示，其中尺寸单位是mm。试求机翼与机身连接处的约束力。 例题 3-433 平面任意力系的平衡条件和平衡方程例题 3-44.联立求解。 MA= 38.6 kNm (顺时针） FAx= 0 FAy= 19.2 kN （向下）3.选如图坐标系，列平衡方程。WFAyFAxMABCFA 例题 3-433 平面任意力系的平衡条件和平衡方程M1ABC23a 已知 M，a，求三根杆所受的约束力，三角块及杆的重量不计。 练习题 练习题33 平面任意力系的平衡条件和平

14、衡方程练习题MABCa123F1F3F2MC = 0 ,F1sin acos M = 0应用三矩式1.取三角块为研究对象。2.受力分析如图。 解 答MB = 0 ,MA = 0 ,F3 a sin M = 0F2 a cos M = 0 练习题33 平面任意力系的平衡条件和平衡方程且A，B的连线不平行于力系中各力。由此可见，在一个刚体受平面平行力系作用而平衡的问题中，利用平衡方程只能求解二个未知量。 力系中各力的代数和等于零 ，以及这些力对任一点的矩的代数和也等于零。(2) 平面平行力系的平衡方程(1) 平面平行力系平衡的充要条件33 平面任意力系的平衡条件和平衡方程2.平面平行力系的平衡条件

15、和平衡方程G2FAG1G3GFBAB3.0 m2.5 m1.8 m2.0 m 例3-5 一种车载式起重机，车重G1= 26 kN，起重机伸臂重G2 = 4.5 kN，起重机的旋转与固定部分共重G3 = 31 kN。尺寸如图所示。设伸臂在起重机对称面内，且放在图示位置，试求车子不致翻倒的最大起吊重量Gmax。 例题 3-533 平面任意力系的平衡条件和平衡方程例题 3-5 1.取汽车及起重机为研究对象，受力分析如图。2.列平衡方程。解：GG2FAG1G3FBAB3.0 m2.5 m1.8 m2.0 m 例题 3-533 平面任意力系的平衡条件和平衡方程4.不翻倒的条件是：FA0， 所以由上式可得

16、故最大起吊重量为 Gmax= 7.5 kN3.联立求解。 G2FAG1G3FBAB3.0 m2.5 m1.8 m2.0 mGG 例题 3-533 平面任意力系的平衡条件和平衡方程3-2 平面任意力系的平衡条件与平衡方程平面平行力系的平衡方程AB连线与力不平行只有两个独立方程，只能求解两个独立的未知数。解：取起重机，画受力图.满载时，为不安全状况解得 P3min=75kN已知：尺寸如图；求：起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重P3；空载时，为不安全状况4P3max-2P1=0解得 F3max=350kN 几个概念 静定与静不定34 物体系的平衡物体系统的平衡问题物体系统（物系）：由若干个物体通过约

17、束所组成的系统外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。3-3 物体系的平衡 静定和超静定问题物系平衡的特点物系静止，物系中每个单体也是平衡的。物系中有n个物体，每个单体可列3个 平衡方程，整个系统可列3n个方程解物系问题的一般方法：由整体 局部，由局部 整体二、静定与静不定问题的概念当：独立方程数目未知数数目时，是静定问题（可求解） 独立方程数目未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）静定（未知数2个）静不定（未知数3个）3-3 物体系的平衡 静定和超静定问题3-3 物体系的平衡 静定和超静定问题已知：OA=R，AB= l,不计物体自重与摩擦,系统在图

18、示位置平衡;求:力偶矩M 的大小，轴承O处的约束力，连杆AB受力，冲头给导轨的侧压力.解:取冲头B,画受力图.取轮,画受力图.49如图已知 q=3 kN/m，F=4 kN， M=2 kNm。 CD=BD, AC=4 m，CE=EA=2 m。各杆件自重不计，试求A和B处的支座约束力。 22ABqC22FMDE3034 物体系的平衡 例题 3-9例题 3-9解：1.取BC为研究对象，受力分析如图。FB= 2.89 kN22BCFMD30FCxFCyFB34 物体系的平衡 例题 3-9FBFAy= 0.58 kN2. 取整体为研究对象，受力分析如图。FAx= 47.5 kN34 物体系的平衡 例题

19、3-922ABqC22FMDE30FAxFAyMA30MA= -2 kNm34 物体系的平衡 例题 3-9或也可以取杆为AC研究对象, MC=0。22ABqC22FMDE30FAxFAyMA30例3-8 已知:F=20kN,q=10kN/m,L=1m;求:A,B处的约束力.解:取CD梁,画受力图.解得 FB=45.77kN取整体,画受力图.解：1.取CE段为研究对象，受力分析如图。FMl/8qBADCHEl/4l/8l/4l/4 例3-7 组合梁AC和CE用铰链C相连，A端为固定端，E端为活动铰链支座。受力如图所示。已知： l =8 m，F=5 kN，均布载荷集度q=2.5 kN/m，力偶矩的

20、大小M= 5k Nm，试求固端A、铰链C和支座E的反力。34 物体系的平衡 例题 3-7例题 3-7MF13l/8CEHl/8FCxFEFCy列平衡方程2、取AC段为研究对象，受力分析如图。联立求解,可得 FE=2.5 kN（向上） FC=2.5 kN （向上）MF13l/8CEHl/8FCFEF2FMAl/4ACHl/8l/8FA34 物体系的平衡 例题 3-7列平衡方程联立求解：可得 MA= 30 kNm FA= 12.5 kNF2FMAl/4ACHl/8l/8FA34 物体系的平衡 例题 3-7A，B，C，D处均为光滑铰链，物块重为G，通过绳子绕过滑轮水平地连接于杆AB的E点，各构件自重

21、不计，试求B处的约束力。 34 物体系的平衡 例题 3-8例题 3-8FBxFAyFAxFByFEFAyFAxFCxFCyG解：1.取整体为研究对象。2.受力分析如图。3.列平衡方程。4.取杆AB为研究对象，受力分析如图。列平衡方程联立求解可得解得 34 物体系的平衡 例题 3-8 例3-14如图所示，已知重力G，DC=CE=AC=CB=2l；定滑轮半径为R，动滑轮半径为r，且R=2r=l, =45 。试求：A，E支座的约束力及BD杆所受的力。DKCBEG 例题 3-1234 物体系的平衡例题 3-14ADKCABE 1. 选取整体研究对象，受力分析如图所示。列平衡方程解平衡方程FAGFExF

22、Ey解： 例题 3-1234 物体系的平衡 2. 选取DEC研究对象，受力分析如图所示。ECKD列平衡方程解平衡方程FKFEyFEx 例题 3-1234 物体系的平衡DKCBEGA例3-16已知：P , a ,各杆重不计；求：B 铰处约束反力。解：取整体，画受力图解得取ADB杆，画受力图取DEF杆，画受力图得得得对ADB杆受力图得例3-17已知：a ,b ,P, 各杆重不计，C,E处光滑；求证：AB杆始终受压，且大小为P。解：取整体，画受力图。得取销钉A，画受力图得取ADC杆，画受力图。取BC，画受力图。得对ADC杆得对销钉A解得ABEDax1234EACBD例13 编号为1、2、3、4的四根

23、杆件组成平面结构，其中A、C、E为光滑铰链，B、D为光滑接触，E为中点，各杆自重不计。在水平杆 2 上作用一铅垂向下的力 F。问题：1. 求C、D处约束。2. 试证明无论力 F 的位置 x 如何改变，其竖杆 1 总是受到大小等于F 的压力。F解：本题为求二力杆（杆1）的内力FA1或FC1。为此先取杆2、4及销钉A为研究对象，受力如图。FFA1FEyFExFNDb上式中FND和FNB为未知量，必须先求得；为此再分别取整体和杆2为研究对象。FNBABFFAyFAx取整体为研究对象，受力如图。FNBxa1234EACBDb取水平杆2为研究对象，受力如图。代入（a）式得FA1为负值，说明杆1受压，且与

24、x无关。FFNDFCyFCx简单平面桁架的内力计算几个概念 桁架计算的常见假设 计算桁架杆件内力的方法桁架 一种由若干杆件彼此在两端用铰链连接而成，受力后几何形 状不变的结构。如图分别是普通屋顶桁架和桥梁桁架。35 简单平面桁架的内力计算1. 几个概念桁架结构35 简单平面桁架的内力计算桁架图片平面桁架 所有杆件都在同一平面内的桁架。节 点 桁架中杆件的铰链接头。杆件内力 各杆件所承受的力。 几个概念35 简单平面桁架的内力计算简单平面桁架 以一个铰链三角形框架为基础，每增加一个节点需增加二根杆件，可以构成无余杆的平面桁架。 几个概念35 简单平面桁架的内力计算 桁架结构的优点 可以充分发挥材

25、料的作用，减轻结构的重量，节约材料。 简单平面桁架的静定性 当简单平面桁架的支座反力不多于3个时，求其杆件内力的问题是静定的，否则不静定。35 简单平面桁架的内力计算(1) 桁架中的杆件都是直杆，并用光滑铰链连接。(2) 桁架受的力都作用在节点上，并在桁架的平面内。(3) 桁架的自重忽略不计，或被平均分配到杆件两端的节点上，这样的桁架称为理想桁架。35 简单平面桁架的内力计算2. 桁架计算的常见假设节点法 应用共点力系平衡条件，逐一研究桁架上每个节点的平衡。截面法 用应用平面任意力系的平衡条件，研究桁架由截面切出的某些部分的平衡。 35 简单平面桁架的内力计算3. 计算桁架杆件内力的方法aaa

26、aFCABDCEFFEFAyFBFAx解：节点法 1.取整体为研究对象,受力分析如图。aaaaFCACDBEFFE 例3-10 如图平面桁架，求各杆内力。已知铅垂力FC=4 kN，水平力FE=2 kN。35 简单平面桁架的内力计算 例题 3-10例题 3-103.列平衡方程。4.联立求解。 FAx= 2 kN FAy= 2 kN FB = 2 kNaaaaFCABDCEFFEFAyFBFAx35 简单平面桁架的内力计算 例题 3-105.取节点A，受力分析如图。解得FAxFAyAFACFAF列平衡方程aaaaFCABDCEFFEFAyFBFAx35 简单平面桁架的内力计算 例题 3-106.取节点F，受力分析