几何模型（中点、角平分线、手拉手、对角互补）

1、中点模型知识回顾：已知中点类问题处理方法：中线倍长； 作平行线； 作垂直 中线倍长 作平行 作垂直求证中点类问题处理方法:作平行线；作垂直. 作平行 作垂直问题提出:【例1】如图，AD是ABC的中线. （1）求证：ABAC2AD；（2）若AB=6，AC=4，求AD的取值范围.探究: 如何转化2倍线段(即2AD)? 如何将分散的线段AB,AC,2AD聚集在同一三角形中?归纳: 倍长AD可将2AD转化为一条线段；对于证明有关线段和差的不等关系，通常会联系到三角形中两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，故可设法将其置于同一个三角形中证明.中线倍长可起到把分散元素转移集中的作用.通过将中线（或类似于

2、中线）的线段向中点方向延长，使延长的部分线段与中线相等， 思维模式是全等变换中的“中心对称”或“旋转”.模型探究1:【例2】如图，已知AD是ABC的中线，且CD=AB，AE是ABD的中线，求证：AC=2AE.【分析】倍长AE得AF，证AC=2AE即证AC=AF，再证ABEFDE即可.模型探究2:【例3】如图，在ABC中，AD平分BAC，点E，F分别在BD，AD上，且DE=CD，EF=AC. 求证：EFAB.（请尝试用多种方法证明） 方法1:倍长FD 方法2:倍长AD 方法3:过点C作CGEF 方法4:过点E作EGAC 方法5:过点C作CHAD于点H,过点E作EGAD于点G .模型应用1: 如图

3、，在ABC中，AD平分BAC，点E、F分别在BD、AD上，且EF=AC，EFAB. 求证：DE=CD.模型应用2: 如图，在ABC中，AD平分BAC，点E、F分别在BD、AD上，且DE=CD，EFAB. 求证：EF=AC.模型探究3:【例4】如图，已知ABAD，ACAE，BADCAE90，AHBC于H，延长HA交DE于F求证：（1）F为DE中点； (2)BC2AF【分析】要证F为DE中点,此时倍长AF无效，过D作DGAE交AF延长线于G，先得DAGABC，再得GFDAFE，从得DFEF.HHHH 模型探究4:【例5】 如图，已知BD、CE分别是ABC的AC、AB边上的高，G、F分别是BC、DE

4、的中点求证：GFDE【分析】连接EG、DG,依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证明EG=DG,再由等腰三角形三线合一可证GFDE.模型探究5:【例6】 如图，在ABC的两边AB、AC向形外作正方形ABDE和ACFG，取BE、BC、CG的中点M、Q、N求证：MQQN【分析】连接CE、BG,先证BAGEAC,再依据三角形中位线定理可证MQQN模型应用3:如图，在ACE中，点B是AC的中点，点D是CE的中点，点M是AE的中点，四边形BCGF和四边形CDHN都是正方形求证：FMH是等腰直角三角形角平分线模型知识回顾：利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等构造模型，为证明边相等、角

5、相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。 如图：点P 是MON 的平分线上一点，过点 P 作 PAOM 于点 A，PBON 于点 B。 结论：PB=PA 问题提出：题中若出现角平分线已知条件，常见辅助线作法如下模型探究1：【例1】（1）如图，在ABC 中，C=90，AD 平分CAB，BC=6，BD=4，那么点 D到直线 AB 的距离是_； （2）如图，1=2，3=4。 求证：AP 平分BAC。 【分析】（1）由角平分线模型可知，D到AB的距离等于DC=2.如图过点P分别作AB、BC、AC三边的垂线，由角平分线的性质可知点P到AB、BC、AC三边的距离相等, 可证AP 平分

6、BAC模型探究2：【例2】如图，四边形ABCD中，AC平分DAB， BC=CD，求证:ADC+B=180.【分析】以角平分线为对称轴进行翻折，其原理是轴对称性质，实际操作中可以通过截取或作垂直实现元素转移聚集.模型应用1：【例3】（1）如图所示，在ABC中，AD是ABC 的外角平分线，P是AD上异于点 A 的任意一点，试比较 PB+PC 与 AB+AC 的大小，并说明理由； （2）如图所示， AD 是ABC 的内角平分线，其他条件不变，试比较 PC-PB 与 AC-AB 的大小，并说明理由。模型应用2：【例4】如图：已知在ABC 中，A=2B，CD 是ACB 的平分线，AC=16，AD=8。

7、求线段 BC 的长。 模型探究3： 【例5】如图，P 是MON 的平分线上一点，过点 P 作 PQON，交 OM 于点 Q。 结论：POQ 是等腰三角形。 【分析】有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。 模型应用3：【例6】解答下列问题： （1）如图所示，在ABC 中，EFBC，点 D 在 EF 上，BD、CD 分别平分 ABC、ACB，写出线段 EF 与 BE、CF 有什么数量关系； （2）如图所示，BD 平分ABC、CD 平分ACG，DEBC 交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，线段 EF

8、 与 BE、CF 有什么数量关系？并说明理由。 （3）如图所示，BD、CD 分别为外角CBM、BCN 的平分线，DEBC 交AB延长线 于点 E，交 AC 延长线于点 F，直接写出线段 EF 与 BE、CF 之间的数量关系？ 【分析】由模型可知ED=BE,DF=CF，分别得出图中线段EF与BE、CF数量关系.模型探究4: 【例7】如图，P 是MON 的平分线上一点，APOP于P点，延长AP交ON于点 B。 结论：AOB 是等腰三角形。【分析】构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等 的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和等腰三角形“三线合一”

9、联系了起来。 模型应用4:【例8】如图，已知等腰直角三角形 ABC 中，A=90，AB=AC，BD 平分ABC， CEBD，垂足为 E。求证：BD=2CE。【分析】如图延长BA、CE交于点F,则有RtBEFRtBEC：RtBADRtCAF ,BD=CF=2CE模型应用5:【例9】如图，在ABC 中，BE 是角平分线，ADBE，垂足为 D。 求证：2=1+C。手拉手模型知识回顾： 手拉手模型即指共顶点模型，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。 两等边三角形 两等腰直角三角形 两任意等腰三角形问题提出：在上述图形中，如何寻找手拉手模型

10、？图中有哪些相等的边和角？有哪些全等或相似的三角形？寻找共顶点旋转模型的步骤如下：（1）寻找公共的顶点;（2）列出两组相等的边或对应成比例的边;（3）将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可.模型探究1:【例1】如图，分别以ABC的边AB、AC向外作等边三角形ABD和ACE，连接BE，CD相交于点P，连接AP求证：BECD；求BPD得度数；求证：AP平分DPE；【分析】ABD和ACE是共顶点的两个等边三角形,构成手拉手模型.(1)易证ABEADC（SAS）可得BECD；(2)由ABEADC得ABEADC，BPDBAD60；(3)作AMBE于M，ANCD于N，ABEADC，AM

11、AN，AP平分DPE；【例2】(变式):在例1的条件下，将图形旋转至如图所示的位置，上三个结论还成立吗？请说明理由【解答】（1）（2）两个结论依然成立 （3）AP平分DPE的邻补角，推理方法类比例1模型拓展:在直线ABC的同一侧作两个等边三角形ABD和BCE，连接AE与CD，证明：（1）ABEDBC （2）AE=DC（3）AE与DC的夹角为60（4）AGBDFB（5）EGBCFB （6）BH平分AHC（7）GFAC（8）AH=DH+BH , CH=BH+HE（9）BGF等边三角形（10）四点共圆: A、B、H、D四点共圆, B、F、H、G四点共圆，C、B、H、E四点共圆模型探究2:【例3】如图

12、1所示:在等腰RtABC和等腰RtADE中,BACDAE90，A、D、C三点在同一直线上，连接BD、CE（1）试判断BD、CE的数量关系，并说明理由；（2）延长BD交CE于点F，试求BFC的度数；（3）将ADE绕点A逆时针旋转至图2，（1）、（2）中的结论是否仍成立？请说明理由【分析】ABC和ADE是共顶点的两个等腰直角三角形,构成手拉手模型.(1)易证ABDACE（SAS），可得BDCE；(2)由ABDACE得ABDACE，BFCBAD90；(3)同理可证（1）、（2）中的结论仍然成立.模型应用1:【例4】已知：如图，ABC和DCE都是等腰直角三角形，ACBDCE90（1）试探究BD与AE的

13、关系(数量关系和位置关系),并说明理由.（2）若ABDDAE，AB8，AD6，求四边形ABED的面积模型探究3：【例5】已知ABC，分别以AB，AC为边作等腰ABD和等腰ACE，且ADAB，ACAE，DAB=EAC，G，F分别为DC与BE的中点. 图1 图2 图3如图1，若DAB ，则GAF ，AGF ；如图2，若DAB45，求AGF的度数；如图3，若DAB，试探究AGF与的数量关系，请说明理由.【分析】ABD和ACE是共顶点的两个等腰三角形,构成手拉手模型.第(3)问先证DACBAE，得ADGABF，DCBE由G，F为DC，BE中点，DGBF证DAGBAF，得AGAF，DAGBAF，GAFD

14、AB，AGF=模型拓展:【例6】如图，AOB和ACD都是等边三角形，其中ABx轴于E点，点C在x轴上.（1）若OC5，求BD的长度；（2）设BD交x轴于点F，求证：OFADFA；（3）若正AOB的边长为4，点C为x轴上一动点，以AC为边在直线AC下方作正ACD，连接ED，求ED的最小值.图1 图2 图3对角互补模型知识回顾:对角互补模型：在四边形ABCD中，AC180（或ABCADC180），BD平分ABC，则ADCD（以上条件和结论可逆） 问题提出：解决对角互补模型问题常用方法有哪些？ 对角互补模型中常见辅助线作法：轴对称、作垂直、旋转常见类型：1.全等型一90 2.全等型一120 3.全等

15、型一任意角模型探究1：【例1】如图，在四边形ABCD中，ABCADC90，BD平分ABC.求证：（1）ADCD （2）ABBCBD （3）S四边形ABCDBD2【例2】（变式）如图，ABCADC90，BD是ABC的邻补角MBC的平分线.求证：（1）ADCD （2）BCABBD （3）SBDCSABDBD2 模型应用1：【例3】如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10，点O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP绕O点旋转，证明：无论正方形OMNP旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积是否发生变化?请说明理由【分析】当OP在如图位置时，过O分别作CD，BC的垂线垂足分别为E、F，如图

16、在RtOEG与RtOFH中，EOGHOF，OEOF5，OEGOFH，重叠部分的面积显然为正方形的面积的，即25，模型探究2：【例4】如图，在四边形ABCD中，ACBACD=BAD=60，求证:AB=AD【分析】从轴对称、旋转、作垂直三个方面入手，通过如下几种辅助线都可以进行推理。模型探究3：【例5】已知，点P是MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使APB+MON180（1）利用图1，求证：PAPB；（2）如图2，若点C是AB与OP的交点，当SPOB3SPCB时，求PB与PC的比值；（3）若MON60，OB2，射线AP交ON于点D，且满足且PBDABO，请借助图3补全图形，并求OP的长【分析】（1）作PEOM，PFON，垂足为E、F，易证EPAFPB，即PAPB；（2）S