流体的平衡流体力学

1、流体的平衡流体力学第1页，共54页，2022年，5月20日，1点25分，星期五专 题 篇C1. 流体的平衡C2. 不可压缩无粘性流体平面势流 C3. 不可压缩粘性流体内流C4. 不可压缩粘性流体外流C5. 可压缩流体流动基础第2页，共54页，2022年，5月20日，1点25分，星期五C1 流体的平衡C1 流体的平衡C1.1 引言(工程背景)第3页，共54页，2022年，5月20日，1点25分，星期五C1.2 流体平衡微分方程 欧拉平衡方程由N-S 方程 可得欧拉平衡方程常数时，直接求解，联立求解压强分布体积力压强梯度00C1.2.1 欧拉平衡方程(2-1)u = v = w = 0 ， 对静止

2、流体 第4页，共54页，2022年，5月20日，1点25分，星期五C1.2.1 欧拉平衡方程(2-2)由欧拉平衡方程称为压强全微分式，表示体积力在任何方向 的投影为该方向的压强增量。 第5页，共54页，2022年，5月20日，1点25分，星期五 设密度分别为1 和2 的两种互不相混的液体放在同一容器中，试证明当它们处于平衡状态时其分界面必为等压面。 例C1.2.2 两种液体的分界面：等压面 解： 在分界面上任取相邻 d r 的两点 A 和 B ，dp = pA- pB 。 对液体1d p = 1 (fx d x + fy d y + fz d z ) d p =2 (fx d x + fy d

3、 y + fz d z ) 对液体2两式分别除以1 和2 ，再相减可得 由于12，要使上式成立, 只有dp = 0，证明分界面必为等压面。 讨论：当容器以恒角速度绕中轴旋转，两种液体均处于相对平衡状态时其分界面也是等压面。 AB第6页，共54页，2022年，5月20日，1点25分，星期五 等压面沿等压面 压强增量为零，即 。或称为等压面微分方程式，上式表明体积力处处与等压面垂直。静止流体中等压面为水平面;绕垂直轴旋转的流体中，等压面为旋转抛物面。C1.2.2 等压面第7页，共54页，2022年，5月20日，1点25分，星期五 流体平衡的条件 即体积力必须有势： 为势函数上式成立的充分必要条件是

4、对均质流体， = 常数, 压强全微分式化为重力是有势力 因此均质流体在重力场中能保持平衡状态。C1.2.3 流体平衡的条件(2-1)第8页，共54页，2022年，5月20日，1点25分，星期五C1.2.3 流体平衡的条件(2-2)对正压流体，=(p) 引入一个压强函数 上式成立的充要条件也是体积力必须有势。因此正压流体在重力场中也能保持平衡状态。 3. 对斜压流体=(p，T)，可以证明不能在重力场中保持平衡。如赤道和极地的大气，大范围的海水等。 均质流体（如淡水）和正压流体（如等温的空气）在平衡时，等压面、等势面、等密度面三者重合：第9页，共54页，2022年，5月20日，1点25分，星期五例

5、C1.2.3 贸易风：流体平衡条件 大气满足完全气体状态方程 p = RT (B1.4.5) 差悬殊，由（B1.4.5）式相应的密度不相同，因此大气密度除了沿高度变化外还随地球纬度改变而改变，等压面与等密度面（虚线）不重合(见右图），造成大气层的非正压性，不满足流体平衡条件。设在赤道和北极地区离地面相同高度处压强相同，但由于太阳光照射强度不同，两处温度相 形成在赤道处大气自下向上，然后在高空自赤道流向北极；在北极大气自上向下，最后沿洋面自北向南吹的大气环流。通常将沿洋面自北向南吹的风称为贸易风。 第10页，共54页，2022年，5月20日，1点25分，星期五用于静止流体上式适用于全流场，表示总

6、势能守恒。若写成表示总水头保持不变。(a) , (b) 式均称为流体静力学基本方程。适用条件：连通的同种均质重力流体。将伯努利方程C1.3 流体静力学基本方程(a)(b)C1.3 流体静力学基本方程(2-1)第11页，共54页，2022年，5月20日，1点25分，星期五流体静力学基本方程的常用形式为 说明两点的测压管水头相等。C1.3 流体静力学基本方程(2-2)当 保持不变时， 改变引起 同时改变，这就是帕斯卡原理.第12页，共54页，2022年，5月20日，1点25分，星期五C1.4 均质液体相对平衡当液体以等加速度a 作直线运动或以等角速度（向心加速度 )旋转并达到稳定时，液体象刚体一样

7、运动，N-S方程 fg 为重力。上式与欧拉平衡方程形式相同，f = fg a 也是有势力。符合平衡条件，称为液体的相对平衡。 C1.4.1 等加速直线运动设液体以等加速度a 沿水平方向作直线运动 体积力分量f x = -a , f y = 0 , fz = -g C1.4 均质液体相对平衡(3-1)第13页，共54页，2022年，5月20日，1点25分，星期五C1.4.1 等加速直线运动(3-2)由压强全微分式积分得压强分布式 设坐标原点在液罐底部中点， 静止时的液位为z 0 , 即 x = 0，z = z 0 ，p = p 0,，可得C = p 0+g z 0 压强分布式为压强分布第14页，

8、共54页，2022年，5月20日，1点25分，星期五C1.4.1 等加速直线运动(3-3)由dp = (adx+gdz) = 0 ，等压面方程为C不同时得一簇平行斜平面，自由液面(x = 0 , z = z 0 )上C = g z 0 。设自由液面垂直坐标为z s ，方程为等压面a x + g z = C 或代入压强分布式，令h = zsz ，可得 证明在垂直方向压强分布规律与静止液体一样。第15页，共54页，2022年，5月20日，1点25分，星期五例C1.4.1 匀加速直线运动液体的相对平衡(2-1) 已知: 用汽车搬运一玻璃缸。缸长宽高=Lbh=0.60.30.5m3， 静止时缸内水位高

9、d =0.4m。设鱼缸沿汽车前进方向纵向放置。 求: (1)为不让水溢出，应控制的汽车最大加速度am； 解：建立坐标系oxz 如图示。设鱼缸加速度为a，体积力分量为 等压面微分方程为(2)若鱼缸横向放置时的最大加速度am。 fx= - a， fz= -g a x + g z = C 液面中点的坐标为（0 , d），C = g d 。液面方程为 a x+ g z = g d 第16页，共54页，2022年，5月20日，1点25分，星期五例C1.4.1 匀加速直线运动液体的相对平衡(2-2) 加速度表达式为 (2)当鱼缸横向放置时，与后壁最高液位（b / 2, h）相应的加速度为(1)当鱼缸纵向放

10、置时，与后壁最高液位（L / 2, h）相应的加速度为 可见 ，鱼缸横向放置水不易溢出。 第17页，共54页，2022年，5月20日，1点25分，星期五设液体以等角速度绕中心轴z 轴旋转 体积力 压强分布积分得 设坐标原点在底部中点，自由液面最低点的坐 标r = 0，z = z0 ，压强p = p0 ,可得C = p0+g z0 .压强分布式为 等角速度旋转运动 fx=2x ，fy=2y ，fz= g C1.4.2 等角速度旋转运动(2-1)第18页，共54页，2022年，5月20日，1点25分，星期五C1.4.2 等角速度旋转运动(2-2)等压面代入压强分布式，令h = zs- z ，可得

11、由积分得 证明在垂直方向的压强分布规律仍与静止液体中一样。 C不同值时得一簇旋转抛物面。自由液面(r = 0，z = z0)上C =g z0。设自由液面垂直坐标为s ，方程为第19页，共54页，2022年，5月20日，1点25分，星期五例C1.4.2 匀角速度旋转运动液体的相对平衡(3-1) 已知: 一封闭圆筒，高H = 2m，半径R=0.5m，注水高H0 = 1.5 m，压强为p0=1000 N /m2。圆筒开始旋转并逐渐加速 求: (1）当水面刚接触圆筒顶部时的1、pc1 (中心) 及pw1 (边缘) ；(1)当边缘水位刚达顶部时，由自由面方程式 (2 ) 当气体刚接触圆筒底部的2、pc

12、2 及pw 2。 解：建立坐标系Oxyz ,原点o在底部中心，静止时 z 0 = H 0 。取 r = 0.5 m, zs = 2 m, z0 =1 m第20页，共54页，2022年，5月20日，1点25分，星期五例C1.4.2 匀角速度旋转运动液体的相对平衡(3-2) pc1= p 0 + g z0 = 1000 + 98071 = 10806 N/m2 p w1= p 0+g H =1000 + 98072 = 20612 N/m2 (2)当气体接触圆筒底部时，设顶部液面线的半径为r2，由空气容积不变 第21页，共54页，2022年，5月20日，1点25分，星期五例C1.4.2 匀角速度旋

13、转运动液体的相对平衡(3-3) 讨论：在第二种情况中, 若没有顶盖限制，边缘水位将上升至在自由面方程中z 0 = 0，z s = 2 m，r = 0.53 m 第22页，共54页，2022年，5月20日，1点25分，星期五C1.5 均质液体对平壁的总压力工程 背景：压力容器，水坝，潜艇，活塞等；结构强度，安全性能，运动规律等。条件：均质液体，体积力为重力。图示斜平壁和坐标系Oxy , O点在自由液面上，y轴沿斜平壁向下。在面积A上取面元dA ，纵坐标y ，淹深为C1.5.1 平壁总压力大小C1.5 均质流体对平壁的压力(2-1)第23页，共54页，2022年，5月20日，1点25分，星期五作用

14、在dA 和A上的总压力 在几何上面积A 对x 轴的面积矩 pc 为形心压强。表明作用在面积A上的总压力大小等于形心压强乘以面积 。yc 为面积A形心的纵坐标,为淹深。C1.5.1 平壁总压力大小(2-2)第24页，共54页，2022年，5月20日，1点25分，星期五设压强中心为D，由力矩合成法则 C1.5.2 平壁总压力作用点 1、积分法 总压力 设面积惯性矩 可得C1.5.2 平壁总压力作用点(4-1)第25页，共54页，2022年，5月20日，1点25分，星期五C1.5.2 平壁总压力作用点(4-2)建立辅助坐标系 ,由平行移轴定理f 称为压强中心对形心的横向偏心距,当图形对称时为零。再引

15、入关于 轴的回转半径x称为压强中心对形心的纵向偏心距。同理可得 （ 查附录表FD1 ）第26页，共54页，2022年，5月20日，1点25分，星期五例C1.5.2 矩形平壁总压力：积分法(2-1)已知: 矩形闸门长宽= lb = 42m2, b边与自由液面平行, l 边=30。 求: 闸门顶边分别位于(1)水面内；(2)水下H = 2 m深处时的水总压力F大小和压强中心D的纵向偏心距e 。 解： 坐标系Oxz ，x轴位于自由面中，y 轴沿闸门纵轴向下 (1) 闸门顶边位于水面内y c1= l / 2 = 2m，r2 = l 2/12 说明压强中心位于矩形的下三分点上 。h c 1 = 0.5

16、l sin30= l / 4 = 1 m 第27页，共54页，2022年，5月20日，1点25分，星期五例C1.5.2矩形平壁总压力：积分法(2-2)(2) 闸门顶边位于水面下2 m深处讨论：(1) 两种情况中回转半径r不变，e 仅与形心坐标有关，与闸门宽度无关； (2) 闸门沿斜壁下移一个长度位置，总压力增加至3倍：F2= 3 F1；纵向偏心距缩短至原来的1/3：e2 = 。 y c 2= hc 2 / sin= 3 l/ 2 = 6m, 不变 hc 2 = H + h c1=2+1= 3 m 第28页，共54页，2022年，5月20日，1点25分，星期五例C1.5.2A 圆形平壁总压力(2

17、-1)已知: 封闭油柜侧壁上有一圆形封盖, d = 0.8m h = 1.2 m ,= 800 kg/m3 . 求: p0 分别为(1) 5 kPa ; (2)2 kPa时总压力F 和偏心距 e 。 解：(1) 当p01 = 5kPa时，在封盖中心的压强为 p c1 = p 01+gh = 5 + 0.89.811.2 = 5 + 9.42 = 14.42 (kPa) O1 点位于油面上方p 0 1 / g 处 h c 1 = 0.5 l sin30= l / 4 = 1 m 第29页，共54页，2022年，5月20日，1点25分，星期五例C1.5.2A 圆形平壁总压力(2-2) O2 点位于

18、油面下方 | p 0 2 | / g处 (2)当 p0 2 =2 kPa 时 p c2 = p 0 2+g h = -2 + 9.42 = 7.42 (kPa) F2=pc 2 A= 7.420.503 = 3.73 (kPa) 圆板 r2 = d 2 /16 =0.82/16=0.04 m2，偏心距为 第30页，共54页，2022年，5月20日，1点25分，星期五归结为求平面线性平行力系的合力。压强分布图 C1.5.2 平壁总压力作用点(4-3)2.几何法 当矩形平壁与液面平行时可用几何法求解。图示液面与b边平行，与l边夹角为。面积分可化为线积分矩形 三角形 梯形F第31页，共54页，202

19、2年，5月20日，1点25分，星期五C1.5.2 平壁总压力作用点(4-4)例 矩形平壁总压力：几何法用几何法重新求解例 解: (1) l = 4 m, h = 0, =30 (2) l = 4 m, h = 2 m，=30 第32页，共54页，2022年，5月20日，1点25分，星期五C1.6 均质液体对曲壁的总压力二维曲壁的母线平行于自由液面，归结为求端线ab(单位宽度)上的压强合力。分为水平分力和垂直分力。工程应用中以二维曲壁为主。ABCO三维曲壁有三个投影面，三个投影面上的三个分力不一定共点，可化为一个合力，一个力偶，应用较少。C1.6 均质液体对曲壁的总压力第33页，共54页，202

20、2年，5月20日，1点25分，星期五水平分力图示曲壁ab，左侧有水， Oxy 位于自由液面中， h轴向下。 二维曲壁ab 面积(单位宽度)沿水平方向投影为ab 面积(单位宽度)沿垂直方向投影为面积元dA上的水平方向微元压力ab上总压力水平分力为h x c 为投影面积A x形心的淹深。dF x dF h dF 二维曲壁(4-1)第34页，共54页，2022年，5月20日，1点25分，星期五 二维曲壁(4-2)垂直分力若曲壁 在水平方向投影有重叠时，该部分水平合力为零。面积元dA上的垂直方向微元压力ab上总压力垂直分力为压力体第35页，共54页，2022年，5月20日，1点25分，星期五 二维曲壁

21、(4-3)总压力合成压力体内液体的重量构成对曲壁的垂直压力。水平分力Fx 的作用线按求平壁总压力作用点方法确定。垂直分力Fh的作用线通过压力体的重心。总压力大小为方位角第36页，共54页，2022年，5月20日，1点25分，星期五 二维曲壁(4-4)虚压力体图示曲壁ab下方有水，上方是空的。总压力的垂直分力为 称p为虚压力体，垂直分力方向向上。 压力体的虚实取决于大气压液面与壁面的相对位置，一种判别方法为 当液体与压力体位于曲壁同侧，压力体为正(方向向下） 当液体与压力体位于曲壁异侧，压力体为负(方向向上）第37页，共54页，2022年，5月20日，1点25分，星期五例C1.6.1A 二维曲壁

22、总压力 (2-1)已知: 图示封闭容器斜壁 = 45 ，方孔边长 l = 0.4 m，盖有半圆柱形盖. H = 0.5 m,压强为p0 = 0.25 atm 求: 盖所受总压力大小与方向 。解： 基准面离液面p0 / g，坐标系Oxyh (1) 盖ABE的水平投影面积Ax = l 2 cos45 ，水平方向合力分量为 I第38页，共54页，2022年，5月20日，1点25分，星期五例 二维曲壁总压力 (2-2)(3) 总压力(2) 盖ABE垂直投影,AB段的压力体为负,BE段的压力体为正,分别与 组合I第39页，共54页，2022年，5月20日，1点25分，星期五例 二维曲壁总压力 (2-2)

23、(3) 总压力(2) 盖ABE垂直投影,AB段的压力体为负,BE段的压力体为正,分别与 组合I第40页，共54页，2022年，5月20日，1点25分，星期五 阿基米德浮力定律第一浮力定律：沉体受到的浮力 等于排开的液体重量。上半部受力C1.7 浮力与稳定性第二浮力定律：浮体排开液体重量等于自身重量。下半部受力C1.7.1 阿基米德浮力定律(2-1)第41页，共54页，2022年，5月20日，1点25分，星期五C1.7.1 阿基米德浮力定律(2-2)对浮体，浸没部分为 当 (物体重量) 沉体当 潜体当 浮体浮心：浸没部分液体的形心C浮轴：通过浮心的垂直轴第42页，共54页，2022年，5月20日

24、，1点25分，星期五被测液体液面线将在基准线以下h位置处 例 液体比重计 液体比重计如图，比重计插入蒸馏水(4)中，液面基准线(SG=1),排水体积为0 。 SG为被测液体的比重，k为常数。当SG1时刻度线在基准线的下方，当SG1时刻度线在基准线的上方。第43页，共54页，2022年，5月20日，1点25分，星期五取决于重心G 与浮心C 相对位置C1.7.2 潜体与浮体的稳定性1、潜体的平衡(浮心不变) 潜体：水下舰艇、水雷、气艇、气球等。浮体：水面舰船、船坞、浮吊、浮标等。平衡条件：(1) 浮力重力； (2) 浮轴重力线(1) G 在C下方：稳定平衡(2) G 在C上方：不稳定平衡(3) G

25、 与C重合：随遇平衡C1.7.2 潜体与浮体的稳定性(2-1)第44页，共54页，2022年，5月20日，1点25分，星期五C1.7.2 潜体与浮体的稳定性(2-2)GM = CM CG (2) G 在C下方：稳定平衡(3) G 在C上方：不稳定平衡(1) G 与C重合：随遇平衡2、浮体的平衡(浮心改变) 两根浮轴的交点称为稳心M，CM为稳心半径为水线面积对形心轴 的惯性矩, 为排水体积。(2) G M0,G在M下方, 稳定平衡(3) GM0 ,G在M上方, 不稳定平衡(1) GM0 随遇平衡第45页，共54页，2022年，5月20日，1点25分，星期五已知: 正六面体木块长宽高= lbb=0

26、.60.30.3 m 3,重量W =318N 求: (1) 横向能否处于稳定平衡状态; 解：(1)木块淹没深度h 例 浮体的稳定性(2-1)(2)什么条件才能使其处于稳定平衡状态。 W =g0 =g l b h 水线所围面积为矩形, 横向惯性矩I= l b3/12,排水体积0 = lbh。稳心半径C M为 第46页，共54页，2022年，5月20日，1点25分，星期五例 浮体的稳定性(2-2)稳心高度GM 为 GM = CM CG = 0.0417 0.06 = 0.018 0 木块处于不稳定平衡状态。 (2)要使木块处于稳定平衡状态 , h1= 0.237 m, h 2 = 0.063 m 处于稳定平衡状态的条件 W19810 l b h1= 98100.60.30.237 = 418.5 NW29810 l b h2 = 98100.60.30.063 = 111.2 N 第47页，共54页，2022年，5月20日，1点25分，星期五C1.8 大气中的压强分布1、在对流层(011km) 欧拉平衡方程即中不为常数，满足状态方程C1.8 大气中