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文档简介

1、2.4 非齐次方程的解法 2.4 非齐次方程的解法(I) 非齐次振动方程定解问题特征函数法令其中 (1) (2)2.4 非齐次方程的解法令 为待定函数.并将 按特征函数系展为级数 其中 (3) (4) (1)2.4 非齐次方程的解法将(3),(4) 代入 (1) 得两端比较将(3)代入初始条件2.4 非齐次方程的解法常数变易法所以2.4 非齐次方程的解法2.5 非齐次边界条件的处理 2.5 非齐次边界条件的处理 处理非齐次边界条件问题的基本原则是: 选取一个辅助函数 , 通过函数之间的代换: 使得对新的未知函数 边界条件为齐次的. 例1振动问题 （I） 解：取 故要求满足(I)的边界条件，即解

2、得思路: 作代换选取w(x,t)使v(x,t)的边界条件化为齐次2.5 非齐次边界条件的处理 代入(I),得 的定解问题(II) 令2.5 非齐次边界条件的处理 如果仍取 的线性函数作为 ，则有 此时除非 ，否则这两式互相矛盾。当x0和x=l 满足第二类边界条件注意：应取2.5 非齐次边界条件的处理 例 定解问题其中A, B为常数. 解:令2.5 非齐次边界条件的处理 代入方程，得 选 满足 它的解为2.5 非齐次边界条件的处理 于是 满足的方程为： 2.5 非齐次边界条件的处理 利用分离变量法，求解得 其中从而，原定解问题的解为 2.5 非齐次边界条件的处理 一. 选择适当的坐标系. 原则:

3、边界条件的表达式最简单.二. 若边界条件是非齐次的, 引进辅助函数把边界条件化为齐次的。三. 对于齐次边界条件、非齐次方程的定解问题，可将问题分解为两个, 其 一是方程齐次, 并具有原定解条件的定解问题 (分离变量法)； 其二是具有齐次定解条件的非齐次方程的定解问题(特征函数法).一般的定解问题的解法2.5 非齐次边界条件的处理 例 求下列定解问题的解其中 为常数。解 1）边界条件齐次化，令 2.5 非齐次边界条件的处理 于是 满足如下定解问题2）将问题分解为两个定解问题。设2.5 非齐次边界条件的处理 2.5 非齐次边界条件的处理 3）求解问题 (I), (II) 。首先，利用分离变量法求解

4、问题 (I) 。特征值及相应的特征函数2.5 非齐次边界条件的处理 则利用初始条件确定系数计算可得2.5 非齐次边界条件的处理 其次，利用特征函数法求解问题 (II) 将 按问题（I）的特征函数系进行傅立叶展开代入问题（II）的方程及初始条件，得2.5 非齐次边界条件的处理 问题转化为求解下列常微分方程的初值问题解得所以2.5 非齐次边界条件的处理 4）综合上述结果, 得到原问题的解2.5 非齐次边界条件的处理 对于二维拉普拉斯方程的边值问题而言, 应根据求解区域的形状适当的选取坐标系, 使得在此坐标系下边界条件的表达方式最简单, 便于求解. 例如, 对于圆域、圆环可以采用极坐标。应当指出,只有当求解区域非常规范时，才可以应用分离变量法求解拉普拉斯方程的定解问题，或利用特征函数法求解泊松方程的

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