2021-2022学年广东省省际名校高二数学第二学期期末考试试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1函数（，e是自然对数的底数，）存在唯一的零点，则实数a的取值范围为( )ABCD2将3颗相同的红色小球和2颗相同的黑色小球装入四个不同盒子，每个盒子至少1颗，不同的分装方案种数为（ ）A40B28C24D163某市践行“干部村村行”活

2、动，现有3名干部甲、乙、丙可供选派，下乡到5个村蹲点指导工作，每个村至少有1名干部，每个干部至多住3个村，则干部甲住3个村的概率为 ()ABCD4将点的极坐标化成直角坐标是()ABCD5如图，在三棱锥中，点D是棱的中点，若，则等于（ ）ABCD6已知，且，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7设XN(1,2),其正态分布密度曲线如图所示,且P(X3)0.0228,那么向正方形OABC中随机投掷10000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值为()(附：随机变量服从正态分布N(，2)，则P()68.26%，P(22)95.44%)A6038B658

3、7C7028D75398已知函数，若存在区间D，使得该函数在区间D上为增函数，则的取值范围为（ ）ABCD9从5名女教师和3名男教师中选出一位主考、两位监考参加2019年高考某考场的监考工作要求主考固定在考场前方监考，一女教师在考场内流动监考，另一位教师固定在考场后方监考，则不同的安排方案种数为（ ）A105B210C240D63010若复数满足，则复数为（ ）ABCD11ABCD12我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等已知某不规则几何体与右侧三视图所

4、对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为圆周，则该不规则几何体的体积为（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13若两个正实数满足，则的最小值为_.14在区间上随机取一个数，若使直线与圆有交点的概率为，则_15若双曲线的焦点在轴上，焦距为，且过点，则双曲线的标准方程为_16直角坐标系下点的极坐标为 _.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数，（1）求在区间上的极小值和极大值；（2）求在（为自然对数的底数）上的最大值18（12分）某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和,现安排甲组研发新产品,乙组研发

5、新产品.设甲,乙两组的研发是相互独立的.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品研发成功,预计企业可获得万元,若新产品研发成功,预计企业可获得利润万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望.19（12分）已知函数，其中.（1）讨论的单调性；（2）当时，恒成立，求的值；（3）确定的所有可能取值，使得对任意的，恒成立.20（12分）己知数列中，其前项和满足：（）求数列的通项公式；（）令，数列的前项和为，证明：对于任意的，都有21（12分）已知复数.（I）若，求复数；（II）若复数在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围.22（10分）在数列an中，a（1）求a2（2）猜想an参考

6、答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】函数，是自然对数的底数，存在唯一的零点等价于函数 与函数只有唯一一个交点，由，可得函数 与函数唯一交点为，的单调，根据单调性得到与的大致图象，从图形上可得要使函数 与函数只有唯一一个交点，则，即可解得实数的取值范围【详解】解：函数，是自然对数的底数，存在唯一的零点等价于：函数 与函数只有唯一一个交点，函数 与函数唯一交点为，又，且，在上恒小于零，即在上为单调递减函数，又 是最小正周期为2，最大值为的正弦函数，可得函数 与函数的大致图象如图：要使函数 与函数只有唯一一个交点，则

7、， ，解得，又，实数的范围为故选：【点睛】本题主要考查了零点问题，以及函数单调性，解题的关键是把唯一零点转化为两个函数的交点问题，通过图象进行分析研究，属于难题2、B【解析】分析：分两类讨论，其中一类是两个黑球放在一个盒子中的，其中一类是两个黑球不在一个盒子中的，最后把两种情况的结果相加即得不同的分装方案种数.详解：分两种情况讨论，一类是两个黑球放在一个盒子中的有种，一类是两个黑球不放在一个盒子中的:如果一个黑球和一个白球在一起，则有种方法；如果两个黑球不在一个盒子里，两个白球在一个盒子里，则有种方法.故不同的分装方案种数为4+12+12=28.故答案为：B.点睛：（1）本题主要考查排列组合综

8、合应用题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题时，要注意审题，黑球是一样的，红球是一样的，否则容易出错.3、A【解析】先利用排列组合思想求出甲干部住个村的排法种数以及将三名可供选派的干部下乡到个村蹲点的排法种数，最后利用古典概型的概率公式求出所求事件的概率。【详解】三名干部全部选派下乡到个村蹲点，三名干部所住的村的数目可以分别是、或、，排法种数为，甲住个村，则乙、丙各住一个村，排法种数为，由古典概型的概率公式可知，所求事件的概率为，故选：A。【点睛】本题考查排列组合应用问题以及古典概型概率的计算，解决本题的关键在于将所有的基本事件数利用排列组合思想求出来，合理利用分类

9、计数和分步计算原理，考查分析问题和运算求解能力，属于中等题。4、A【解析】本题考查极坐标与直角坐标的互化由点M的极坐标，知极坐标与直角坐标的关系为，所以的直角坐标为即故正确答案为A5、A【解析】利用向量的三角形法则，表示所求向量，化简求解即可【详解】解：由题意在三棱锥中，点是棱的中点，若，可知：，故选：【点睛】本题考查向量的三角形法则，空间向量与平面向量的转化，属于基础题6、C【解析】分析：已知，解出a，b的值，再根据充分条件和必要条件的定义进行求解.详解：a0，b0且a1，若logab0，a1，b1或0a1,0b0；若(a1)(b1)0,则或则a1，b1或0a1,0b0，“logab0”是“

10、(a1)(b1)0”的充分必要条件故选C.点睛：在判断充分、必要条件时需要注意：(1)确定条件是什么、结论是什么；(2)尝试从条件推导结论，从结论推导条件；(3)确定条件是结论的什么条件抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题7、B【解析】分析：求出，即可得出结论.详解：由题意得，P(X1)P(X3)0.0228，P(1X3)10.022 820.954 4，121，1，P(0X1)P(0X2)0.341 3，故估计的个数为10000(10.3413)6587，故选：B.点睛：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称

11、性.8、B【解析】求出导函数，由题意说明不等式有解。【详解】由题意有解.当时，一定有解；当时，也一定有解.当时，需要，即,综上所述，故选：B。【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性。函数有单调增区间，则有解，这样可结合二次函数或一次函数的性质得出结论。9、B【解析】试题分析：由题意得，先选一名女教师作为流动监控员，共有种，再从剩余的人中，选两名监考员，一人在前方监考，一人在考场后监考，共有种，所以不同的安排方案共有种方法，故选B考点：排列、组合的应用10、D【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案【详解】由，得故选D【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题11

12、、D【解析】分析：根据公式，可直接计算得详解： ，故选D.点睛：复数题是每年高考的必考内容，一般以选择或填空形式出现，属简单得分题，高考中复数主要考查的内容有：复数的分类、复数的几何意义、共轭复数，复数的模及复数的乘除运算，在解决此类问题时，注意避免忽略中的负号导致出错.12、B【解析】根据三视图知该几何体是三棱锥与圆锥体的所得组合体，结合图中数据计算该组合体的体积即可【详解】解：根据三视图知，该几何体是三棱锥与圆锥体的组合体，如图所示；则该组合体的体积为；所以对应不规则几何体的体积为故选B【点睛】本题考查了简单组合体的体积计算问题，也考查了三视图转化为几何体直观图的应用问题，是基础题二、填空

13、题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、8【解析】试题分析：由（当且仅当即时等号成立）.考点：基本不等式.14、【解析】分析：先根据直线与圆相交的关系得出不等式得b的取值范围，然后由概率为建立等式求解即可.详解：圆心到直线的距离：故答案为：点睛：考查直线与圆的位置关系，然后再结合几何概型求解即可.属于中档题.15、【解析】设双曲线的标准方程为，利用双曲线的定义求出的值，结合焦距求出的值，从而可得出双曲线的标准方程.【详解】设双曲线的标准方程为，由题意知，该双曲线的左、右焦点分别为、，由双曲线的定义可得，则，因此，双曲线的标准方程为.故答案为：.【点睛】本题考查过点求双曲线的方程，在双曲线

14、的焦点已知的前提下，可以利用定义来求双曲线的标准方程，也可以利用待定系数法求解，考查运算求解能力，属于中等题.16、【解析】由，将直角坐标化为极坐标。【详解】，又因为位于第三象限且，所以，所以极坐标为【点睛】本题考查直角坐标与极坐标的互化，解题的关键是注意角的取值范围，属于基础题。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）极小值为，极大值为.（2）答案不唯一，具体见解析【解析】（1）对三次函数进行求导，解导数不等式，画出表格，从而得到极值；（2）由（1）知函数的性质，再对进行分类讨论，求在的性质，比较两段的最大值，进而得到函数的最大值.【详解】（1）当时，令，解

15、得或.当x变化时，的变化情况如下表：x0-0+0-递减极小值递增极大值递减故当时，函数取得极小值为，当时，函数取值极大值为.（2）当时，由（1）知，函数在和上单调递减，在上单调递增.因为，所以在上的值大值为2.当时，当时，；当时，在上单调递增，则在上的最大值为.故当时，在上最大值为；当时，在上的最大值为2.【点睛】本题三次函数、对数函数为背景，考查利用导数求三次函数的极值，考查分类讨论思想的应用.18、 (1)(2)详见解析【解析】试题分析:(1)首先设出至少有一种新产品研发成功为事件A,包含情况较多,所以要求该事件的概率,考虑求其对立事件,即没有一种新产品研发成功,根据独立试验同时发生的概率

16、计算方法即可求的对立事件的概率,再利用互为对立事件概率之间的关系,即和为,即可求的相应的概率.(2)根据题意,研发新产品的结果分为四种情况,利用独立试验同时发生的概率计算方法分别得到每种情况的概率,再根据题意算出此时的利润,即可得到关于利润的分布列,再利用概率与对应的利润成绩之和即可得到数学期望.(1)解:设至少有一组研发成功的事件为事件且事件为事件的对立事件,则事件为新产品都没有成功,因为甲,乙成功的概率分别为,则,再根据对立事件概率之间的概率公式可得,所以至少一种产品研发成功的概率为.(2)由题可得设该企业可获得利润为,则的取值有,即,由独立试验同时发生的概率计算公式可得:;所以的分布列如

17、下:则数学期望.考点：分布列 数学期望 概率19、（1）答案不唯一，具体见解析（2）（3）【解析】（1）求出导函数，通过当时，当时，判断函数的单调性即可（2）由（1）及知所以，令，利用导数求出极值点，转化求解（3）记，则 ，说明，由（2），所以利用放缩法，转化求解即可【详解】解：（1）当时，函数在上单调递减当时，函数在上单调递减，在上单调递增（2）由（1）及知所以令，则，所以，且等号当且仅当时成立若当时，恒成立，则（3）记则又，故在的右侧递增，由（2），所以当时，综上的取值范围是【点睛】本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题注意放缩法的应用20、（）（）见解析【解析】（）由，可得，即数列时以1为首项公比为2的等比数列，即可求解（），当时，当时，即有【详解】（）由，于是，当时,，即， ，数列为等比数列， ，即 （）， 当时， 当时，显然成立，综上，对于任意的，都有【点睛】本题考查了数列的递推式，等比数列的求和、放缩法，属于中档题21、（1）；（2）.【解析】试题分析：(1)由题意计算可得,若，则，.(2)结合(1)的计算结果得到关于实数a的不等