第节时间序列分析预测

1、第14章 时间序列分析预测 2007-12-311【开篇案例】美国内华达职业健康诊所保险理赔 经营超过15年，具有历史资料，如何估计未知状态？增长规律、季节波动规律如何描述？时间数列分析，能否反映客观事物的发展变化，能否揭示客观事物随时间演变的趋势和规律？2007-12-312141 时序分析法概述 时间序列概念及研究目的时间序列的构成要素主要有两个：一是现象所属的时间。二是现象在一定时间条件下的统计数据，即发展水平。进行时间序列分析目的有三个：一是描述事物在过去时间的状态；二是分析事物发展变化的规律；三是对事物的发展变化趋势进行预测。2007-12-313时间序列的分类总量指标时间序列是指由

2、一系列同类的总量指标数值所构成的时间序列。它反映事物在不同时间上的规模、水平等总量特征。 相对数时间序列是指由一系列同类的相对指标数值所构成的时间序列。它可以反映社会经济现象数量对比关系的发展过程。 平均数时间序列是指由一系列同类的平均数指标数值所构成的时间序列。它可以反映客观现象一般水平的发展变化过程。2007-12-314编制时序数据的原则(1)时间方面的可比性(2)空间的可比性(即总体范围大小应该一致)(3)各指标数值的内容、计算计量应具有可比性2007-12-315时间序列的基本变动趋势 时间序列的基本变动趋势长期趋势（T）季节变动（S）循环变动（C）不规则变动（I）事物的发展变化是上

3、述四因素的全部或部分变动影响的结果。在统计分析中，将这种关系概括为两种假设：第一种假设：各个组成部分所具有的变动数值是各自独立，彼此相加的，可建立加法模型： 第二种假设：各个组成部分所具有的变动数值是相互依存，彼此相乘的，可建立乘法模型：加法模型乘法模型2007-12-316142 简单的平均值预测 由于平均值代表了一组数据的一般水平，特别如果一组数据没有趋势变化，只是在某一水平上下波动，则其平均值可作为预测值进行简单的预测。可供选择的时序平均值的计算方法区分为两类：指标平均值的计算平均发展速度计算2007-12-317简单的平均值预测算术平均 预测值首末折半平均值法加权平均 预测值 其中,

4、各时点间隔长度指标平均值的计算算术平均预测值 首末折半平均值 加权平均预测值2007-12-318简单的平均值预测间隔加权平均值法 其中, 各时点间隔长度指标平均值的计算“间隔加权”平均值 几何平均法几何平均 预测值2007-12-319平均发展速度的计算 平均发展速度计算 定基发展速度及 定基增减速度 环比发展速度及 环比增减速度平均发展速度定基发展 速度环比发展 速度平均发展 速度(几何法)基于平均发展速度的预测模型 式中，r为平均增长速度， 2007-12-3110143 移动平均法移动平均法(和指数平滑法)是在平均值预测基础上的改进，其特点是重视近期数据，尽管不能很好的描述过去，但追逐

5、趋势变化的能力很强，有较好的预测效果。 移动平均值的计算设有n个观察值组成的时序：X1，X2，Xn，其中Xt为第t期的数据(tl，2，n)，选择连续的N个观察期(Nn，称跨越期)数据计算移动算术平均数, M1(t)称为移动平均值(一次)： M1(t) (Xt+Xt-1+Xt-N+1)/N2007-12-3111一次移动平均值的滞后规律一次移动平均值序列 M1(t)滞后规律：(1)M1(t)可以追踪Xt的趋势,且具有修匀效果;(2)当Xt增长趋势时M1(t)纵向值小于Xt,当Xt递减趋势时 M1(t)纵向值大于Xt;(3)M1(t)与Xt有水平偏差,统计学上称平均役令,可以证明其平均役令：考虑滞

6、后规律，Mt可作为t-时刻的估算值。平均役令XtM1(t)图14-1 M1(t)的滞后规律Mt可作为t-时刻的估算值2007-12-3112一次移动平均法利用一次移动平均值的滞后规律，可以对有趋势的时间序列进行预测。假如选取移动跨越期为N，一次移动平均值序列须前移(N-1)/2个位置才能追踪到实际趋势。一次移动平均值序列的前移 奇数项移动平均值数据，列表时应对准所平均时期的中间时期，一次前移即可得到长期趋势值；偶数项移动平均平均值，应置于所平均时期的中间两个时期之间，可先把移动均值前移(N/2-1)行(少移动0.5行)，为移正长期趋势值，还需要一次两项移动平均并前移一行，即可追踪到长期趋势。

7、2007-12-3113跨越期N的选择如果现象变动有一定的周期，扩大跨越期时应注意与现象周期变动的时距一致。如在分月(或季)的时间序列中，必须消除季节因素变动的影响，就需要采用12项(或4项)移动平均；一般在3-20之间选取N值,但要注意下列影响： 选取N值大，可避免随机干扰，但追踪新趋势的能力稍差；N值较小，追踪新趋势能力强，但易受随机干扰。2007-12-3114一次移动平均预测若时序数据无长期趋势变动，则其t+1期预测值Xt+1，即可直接用第t期一次移动平均数Mt 表示。如果时序数据呈现线性趋势变动，应用一次移动平均数的变动趋势法进行预测，预测模型：Xt+TM1(t)+bT式中：Xt+T

8、未来t+T期的预测值； M1(t)时序中最后一个移动算术平均值； b趋势变动值(或最后三个趋势变动值的均值)； T未来观察期t与预测期的间隔期数。一次移动平均预测应用参见例14.4 2007-12-3115二次移动平均法二次移动平均法是对时间序列的一次移动平均值再进行第二次移动平均，利用一次移动平均值和二次移动平均值，求出线性预测模型的平滑系数并修正滞后偏差，建立线性预测模型进行预测。可见，二次移动平均法适用于时间序列数据呈现线性趋势变化的预测。二次移动 均值2007-12-3116二次移动平均法原理 二次移动平均法，是利用移动平均值具有滞后规律来进行预测的，特别当原始时间序列X1，X2，Xt

9、呈现出线性趋势时，可以证明下列规律(见图14-2)：(1) M1(t)也呈现出线性变化趋势，其斜率与原始序列相同；(2) 从纵向看M1(t) 滞后于Xt，M2(t)滞后于M1(t)，且两个落差相同；(3) 平均役令只与N值选取有关。平均役令XtM1(t)M2(t)图14-2 二次移动平均法原理2007-12-3117二次移动平均预测例14.5表14-5第2列给出了产品实际销售情况，试预测第16期和第17期销售值。取N=3，首先逐步计算出M1(15)=53，M2(15)=50.11，二次移动平均 预测模型 式中, 然后求出： at25350.1155.89 bt2(5350.11)/(3-1)2

10、.89可建立预测模型及求出预测值： X15+T55.89+2.89T X1655.89+2.891=58.78 X1755.89+2.892=61.67 2007-12-3118144 指数平滑法指数平滑法是一种特殊的加权移动平均法。因具有连续运用所需资料少、计算极方便、更新预测模型非常简易等优点，所以是市场预测中经常使用的一种方法。特别适用于观察值有长期趋势和季节变动，必须经常预测的那些情况。2007-12-3119一次指数平滑法 给出平滑系数和初始值S1(0)，就可以推导一次指数平滑值的上述公式。一次指数平滑式中，Xt-为第t期的观察值(tl，2，n)； S1(t)-是第t期的一次指数平滑

11、值； -称为平滑系数 (1称为阻尼系数)； S1(t-1)-是第t-1期的一次指数平滑值。 一次指数平滑的实质 上述公式经过迭代可以得到下式： 可以证明公式右边的系数之和为1。所以，一次指数平滑值的实质是X1，X2，Xt，S1(0)的一个加权平均值，而且越是近期数据所给权重越大，体现了重视近期数据的思想。 2007-12-3120二次指数平滑预测法 二次指数平滑值S2(t)是一次指数平滑值的再次指数平滑。由于指数平滑值是历史数据的一个加权平均，其相对于原始序列具有滞后偏差，可以证明一次指数平滑值的平均役令只和平滑系数有关，计算公式：二次指数平滑式中，S2(t)-是第t期的二次指数平滑值； S1

12、(t)-是第t期的一次指数平滑值； -称为平滑系数 (1称为阻尼系数)； S2(t-1)-是第t-1期的二次指数平滑值。 平均役令XtS1(t)图14-3 二次指数平滑法原理S2(t)2007-12-3121关于初始值的选取计算一次、二次指数平滑值，首先要选取初始值S1(0)和S2(0)，如果原始时序数据较多，一般取它们为X1即可。因为计算到最后一个指数平滑值时，初始值的权值已变得非常小，作用可以忽略；如果原始时序数据不多，初始值的选取将影响到计算结果，须谨慎选取。比如取最初几个数据的平均值，利用滞后规律推算初始值等。2007-12-3122平滑系数的选取前面已指出，一次指数平滑值的平均役令只

13、和平滑系数有关。因此，选取需要慎重。 参考移动平均中N值的选取，N值一般在3-20之间选取，一般在0.10.6之间选取(阻尼系数应在0.40.9)。选取较大时，表明重视近期数据，追踪新变化的能力强，但易受随机干扰；选取较小时，抗干扰能力强，但追踪新变化的能力较差。故当线性趋势较强时，可选取稍小；当非线性趋势较稳定时选取较大，以追踪实际变化。由 可得：2007-12-3123二次指数平滑法预测 例14.6表14-6第2列给出了产品实际销售情况，试用二次指数平滑法预测第16期和第17期的销售值。 二次指数平滑 预测模型 式中, 2007-12-3124145 季节指数法 季节指数法，是以市场季节性

14、周期为特征，计算反映在时间序列资料上呈现明显的有规律的季节变动系数，达到预测目的的一种方法。测定季节变动大致有两种方法：一是不考虑长期趋势的影响，直接根据原数列计算，常用的方法是按季(或月)平均法；二是将原序列中的长期趋势及循环变动剔除后，再进行测定，常用方法是移动平均趋势剔除法。不管采用哪种方法，都需具备至少连续五年分季(或月)的资料，才能比较客观地描述和认识现象的季节变动。 2007-12-3125按季(或月)平均法 预测步骤：(1) 计算历年同季/月的平均水平；(2) 根据历年各季/月的数值总和，计算总的季（或月）的平均水平；(3) 将历年同季/月的平均水平与总的季/月的平均水平对比，得

15、到用百分数表示的季节比率(或季节指数)。它表明季节变动的一般规律性。(4) 历年同季/月的平均水平可作为预测值。 表14-7 某企业近五年分季度的产品销售数据年份一季二季三季四季合计1571318432581418453610162254381219256431517202880季平均7.810.816.422.214.3季节比率（）54.5575.52114.69155.24400例14.7某商场某种商品的销售量资料如表14-7所示，用按季（或月）平均法计算各季的季节比率。2007-12-3126剔除长期趋势的季节指数法剔除长期趋势的季节指数法中最常用的方法是移动平均趋势剔除法。移动平均季节

16、指数法是利用移动平均法分解时间序列四类变动因子，计算出既消除长期趋势变动又消除循环变动和不规则变动的、比较精确地反映季节变动情况的季节指数，并据此修正没有考虑季节影响的预测值，更好地进行预测。移动平均季节指数法的核心是分解，找到季节指数St。2007-12-3127移动平均季节指数法预测步骤 1）选择跨越期(N=4或12)，计算移动平均数(MtTC) 。2）中心化处理。目的是使其与原时序的时间周期一致。3）将原时序(XtTSCI)除以中心化移动均值(MtTC)，构成新时序。4）求同季度的季节指数，即消除不规则因子。5）调整季节指数值。调整方法是以调整系数乘以各季节指数。调整系数理论季节指数总和

17、/实际季度指数之和 6）确定预测期的趋势值。利用最小二乘法、移动平均法等方法，建立趋势模型，计算预测期的趋势值。7）通过季节指数对趋势值(Tt)修正进行预测。剔出长期趋势的季节指数法预测模型：2007-12-3128146 趋势延伸法趋势延伸法是遵循惯性原理,分析预测目标时间序列呈现的长期趋势变动轨迹的规律性,用数学方法找出拟合趋势变动轨迹的数学模型,据此进行预测的方法就是趋势延伸法,又称为趋势外推法.应用趋势延伸法有两个假设前提:决定预测目标过去发展的因素, 仍将决定其未来的发展；预测目标发展过程一般是渐进变化，而不是跳跃式变化。常见的趋势延伸模型包括直线、二次曲线、指数曲线、对数曲线和生长

18、曲线等。2007-12-3129直线趋势的拟合 如果一个多年的数据序列，其相邻两年数据的一阶差分近似为一个常数，就可以拟合一条直线： ，然后，用最小平方法来求解参数a、b。 2007-12-3130对数曲线的拟合 对数曲线方程为： (b0)。对数曲线的一阶导数单调减少，散点图应表现为上凸的趋势(增长趋势时)。确定对数曲线方程的参数时，可以把y可作是x的线性函数，进行回归分析。也可利用下列标准方程组求解： 2007-12-3131指数曲线的拟合 指数曲线方程： (a，b0)，曲线具有如下特性：由于增长速度越来越大，其散点图显示为上凹形状。所以，当时间序列的各期数值大致按某一相同比率增长时，可以考虑拟合指数方程。对指数曲线方程两边取对数，得：y = a + bx 令Y=y, 可由最小二乘法推出求解参数的标准方程组： 2007-12-3132抛物线曲线的拟合 抛物线函数 可以描述几乎所有的阶段性趋势，常用来描述增长趋势。确定其参数时，可以把y看作是x和x2的线性函数，利用回归分析求得参数。参数可用下列标准方程组求得： 2007-12-3133生长曲线的拟合 修正指数曲线 在指数方程右边增加一个常数k，即可得到修正指数方程：取a0，0b0)，用于描述生物体的增长