三角形培优训练题集锦

1、三角形培优训练专题【三角形协助线做法】图中有角均分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称此后关系现。角均分线平行线，等腰三角形来添。角均分线加垂线，三线合一试一试看。线段垂直均分线，常向两头把线连。要证线段倍与半，延伸缩短可试验。三角形中两中点，连结则成中位线。三角形中有中线，延伸中线等中线。【常有协助线的作法有以下几种】1、碰到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思想模式是全等变换中的“对折”。2、碰到三角形的中线，倍长中线，使延伸线段与原中线长相等，结构全等三角形，利用的思想模式是全等变换中的“旋转”。3、碰到角均分线，能够自角均分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的

2、思想模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点经常是角均分线的性质定理或逆定理。4、过图形上某一点作特定的均分线，结构全等三角形，利用的思想模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。5、截长法与补短法，详细做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延伸，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的相关性质加以说明。这类作法，合适于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。6、已知某线段的垂直均分线，那么能够在垂直均分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。7、特别方法：在求相关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连结起来，利用三角形面积的知识解答。1、

3、已知，如图ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围.2、如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DEDF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.AE3、如图，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD均分BAE.F4、以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等B腰RtABD和等腰RtACE，DCBADCAE90,连结DE，M、N分别是BC、DE的中点研究：AM与DE的地点关系及数目关系（1）如图当ABC为直角三角形时，研究：AM与DE的地点关系和数目关系；（2）将图中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(0AB，AD均分BAC，P为AD上任一点，连结PB、PC。求证：

4、PC-PBAC-AB。26、如图2-7-5，从等腰RtABC的直角极点C向中线BD作垂线，交BD于F，交AB于E，连结DE。求证：CDF=ADE。27、在ABC中，ACB90，ACBC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E.1）当直线MN绕点C旋转到图1的地点时，求证：ADCCEB；DEADBE；2）当直线MN绕点C旋转到图2的地点时，求证：DEADBE；3）当直线MN绕点C旋转到图3的地点时，试问DE、AD、BE拥有如何的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。28、已知：ABC为等边三角形，M是BC延伸线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点A，且60o角的极点E在BC上滑动，（

5、点E不与B、C重合），斜边和ACM的均分线CF交于点F（1）如图（1）当点E在BC边中点地点时猜想AE与EF知足的数目关系是。连结点E与边得中点，猜想和知足的数目关系是请证明你的上述猜想（）如图（）当点在边得随意地点时：此时和有如何的数目关系，并说明你的原因？29、已知AC均分MAN，MAN=120o，1）在图（1）中，若ABC=ADC=90o，求证：AB+AD=AC。2）在图（2）中，若MAN=120o，ABC+ADC=180o，则（1）中的结论还建立吗？若建立请你给出证明，若不建立请说明原因？30、如图1，在ABC中，点P为BC边中点，直线a绕极点A旋转，若点B、P在直线a的异侧，BM直线

6、a于点M，CN直线a于点N，连结PM、PN.（1）延伸MP交CN于点E（如图2），求证：BPMCPE；求证：PMPN；（2）若直线a绕点A旋转到图3的地点时，点B、P在直线a的同侧，其余条件不变.此时PMPN还建立吗？若建立，请赐予证明；若不建立，请说明原因；（3）若直线a绕点A旋转到与BC边平行的地点时，其余条件不变，请直接判断PMPN还建立吗？不用说明原因.31、如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连结AE，GC1）试猜想AE与GC有如何的地点关系，并证明你的结论.2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连结AE和GC你以为（1）中

7、的结论能否还建立？若建立，给出证明；若不建立，请说明理由.题图1题图2题图332、已知等边ABC和点P，设点P到ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，ABC的高为h。“若点P在一边BC上（如图1），此时h3=0,可得结论h1+h2+h3h”请直策应用上述信息解决以下问题：当点P在ABC内（如图2）、点P在ABC外（如图3）这两种状况时，上述结论能否还建立？若建立，请赐予证明；若不建立，h1、AAAh2、h3与h之间的关系如何？请写出你的猜想，不需证33、在RtABC中，A90，CE是角均分线，和高AD订交于DG，求证：AEBGDE于EPDFEBMPCBMFCBMC34、如图，

8、点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段EPGF，作FGBC交ABAAD的同侧作等边三FBC角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，订交于点E，连结BC（1）求AEB的大小；CB（2）若OAB固定不动，保持BOCD的形状和大CE小不变，将EOCD绕着点O旋转（OAB和OCD不可以重叠），求DOAOAAEB的大小.D35、如图，图1等腰ABC与等腰DEC共点于C，且BCAECD，连结BE、AD，若BCAC、ECDC求证：BEAD；若将等腰DEC绕点C旋转至图2、3、4状况时，其余条件不变，BE与AD还相等吗？为何?（请你用图2加以证明）36、如图1，RtABC中，ABAC，点D、E

9、是线段AC上两动点，且ADEC，APBD于P，交BC于点Q，直线BD交直线QE于F.判断DEF的形状，并说明原因.如图2，若点D、E是直线AC上两动点，其余条件不变，判断DEF的形状，并说明原因.37、如图1，在等腰直角ABC中，ACB90，O为AB的中点，P为AB上一动点，D在BC上，且知足PCPD，DEAB于E.求证：PODE如图2，点D在BC的延伸线上，其余条件不变，中的结论能否建立？在图3中画出当点P在BA延伸线上的状况，并给出相应的证明；还有什么样的状况？在图4中画出图形，给出证明.38、已知，以以下图，BACBCA,BDCD,CEAB,求证：AE2AD。39、如图，已知ABC是等边

10、三角形，E是AC延伸线上的随意一点，选择一点D，使得CDE是等边三角形，假如M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：CMN是等边三角形。40、如图，在ABC中，点D、E在边BC上，CAEB，E是CD的中点，且AD平分BAE.当BAC=90时，求证：BD=AC.CE(2)当BAC90时，能否还有BDAC建立？D若建立，请说明原因；若不可以，也说明原因。41、已知：如图，ABC中，ABC45CDABAD，BE均分ABCBBEAC于，于，且E，与CD订交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE订交于点AG（1）求证：BFAC；DFE1BF；G（2）求证：CE2（3）CE与BG的大小关系如何？试

11、证明你的结论BHC42、如图（1），一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一同现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转（1）如图（2），当EF与AB订交于点M，GF与BD订交于点N时，经过察看或丈量BM，FN的长度，猜想BM，FN知足的数目关系，并证明你的猜想；2）若三角尺GEF旋转到如图（3）所示的地点时，线段FE的延伸线与AB的延伸线订交于点M，线段BD的延伸线与GF的延伸线订交于点N，此时，（1）中的猜想还建立吗？若建立，请证明；若不建立，请说明原因43、如图1，DEF的极点D在ABC的边BC上（不与B、

12、C重合），且BACEDF180，ABDF，ACDE，点Q为EF的中点，直线DQ交直线AB于点P.（1）猜想BPD与FDB的关系，并加以证明；图3图1图22）当DEF绕点D旋转，其余条件不变，中的结论能否一直建立？若建立，请你写出真命题；若不建立请你在图2中画出相应的图形，并给出正确的结论（不需要证明）44、如左图，RtABC中，C90，ACBC，一个直角三角板的直角极点放在AB的中点O处，绕O点旋转，两直角边分别交AC于E，交BC于F.（1）求证：OEOF，CEBF（2）如右图，将三角板持续旋转，两直角边分别交AC延伸线于E，交BC延伸线于F.中的结论能否正确？说明原因.45、如图，线段AB，

13、点P在AB的下方，若PAPB，在的AB上方作AAAP，且AAAP，作BBPB，且BBPB，连结AB，取AB的中点O，连结AOB，试判断AOB的形状并证明。若PA与PB不相等，其余条件不变，（1）中的结论还建立吗？给出证明。46、如图1，等腰直角AOB与等腰直角COD有公共极点O，点C、O、B在同一条直线上，判断AC与BD的关系并加以证明.如图2，等腰直角AOB与等腰直角COD有公共极点O，点C、O、B不在同一条直线上.判断AC与BD的关系并加以证明.47、如图，AOB与COD中，OAOB，OCOD，AOBCOD.AC与BD交于点P.判断AC与BD的数目关系并加以证明.猜想CPB与AOB的关系并

14、加以证明.48、如图，在ABC中，BE是AC边上的中线，BF平分EBC交AC于F，APBF于P，分别交BE、BC于H、G。猜想HE与CG的数目关系并证明.49、如图1，锐角ABC中，ABAC，CD/AB，P为边BC上一点，Q为直线CD上一点，连结AP、PQ，使得APQBAC.猜想线段AP与PQ的数目关系并证明；如图2，若将“锐角ABC”改为“钝角ABC”，其余条件不变，中的结论能否正确？若正确，请你给出证明；若不正确，请你说明原因.50、如图，ABC中，ABAC，CD/AB，P为边BC上一点，Q为射线CD上一点，且知足PQPA。请你在图中找出知足条件的点Q，并研究APQ与BAC的关系.51、以

15、下图，D在AC上，ABC、ADE是等腰直角三角形，M是EC中点。（1）研究：线段MD、MB的关系，并加以证明；（2）把ADE绕点A逆时针旋转135，其余条件不变，画出相应的图形，上述结论能否建立？（3）将ADE绕点A逆时针旋转随意角度后，其余条件不变，线段MD、MB的关系，并加以证明。52、如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG（1）连结GD，求证：ADGABE；（2）连结FC，察看并猜想FCN的度数，并说明原因；G（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCDAD改FGMBECN为矩形ABCD，AB=a，BC

16、=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使极点G恰巧落在射线CD上判断当点E由B向C运动时，FCN的大小能否总保持变53、在ABC中，B=60，AD，CE分别是BAC，BCA的均分线，AD，CE订交于点F，请你鉴别并写出FE与FD之间的数目关系；并证明你的结论54、如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上随意一点（点G与B、C不重合），AEDG于E，CFAE交DG于F请你经过察看、猜想线段FC、AE、EF之间能否存在必定的数目关系？若存在，证明你的结论；若不存在，请说明原因55、如图，在ABC中，AB=AC，D是BC上随意一点，过

17、D分别向AB、AC引垂线，垂足分别为E、F点过C点作AB边上的高CG，请问DE、DF、CG的长之间存在如何的等量关系？并加以证明56、已知线段AC上有一动点B，分别以AB、BC为边向线段的同一侧作等边三角形ABD和BCE连结AE、CD（如图），若MN分别为AE、CD的中点（1）求证：AM=CN；（2）求MBN的大小；57、已知在ABC中，BC=2AB,B=2C，求证：A=9058、如图，AD是ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF求证：AC=BF。59、如图，已知ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，求证EF=2AD。60、如图，在梯

18、形ABCD中，ADBC，AB=AD+BC，M是CD的中点，求证：AM、BM分别均分DAB和CBA。61、如图，在正方形ABCD中,点E、F分别为BC和AB的中点，DE与CF交与M点，连结AM,求证：AM=AD。62、（1）如图，B、C、E三点共线，且ABC与DCE是等边三角形，连结BD、AE分别交AC、DC于M、N点，且AE、BD交于P点，求APB的度数。（2）假如（1）题中的B、C、E三点不共线，其余条件不变，如上右图所示，求APB的度数。（3）假如（1）题中ABC与DCE都是等腰直角三角形时，其余条件不变，以以下图所示，求APB的度数。（4）假如ACB与DCE都是以为顶角度数的等腰三角形时

19、，其余条件不变，如上右图所示，求直线AE与直线BD夹角的度数。63、在ABC中，ABAC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作ADE，使ADAE，DAEBAC，连结CE1）如图1，当点D在线段BC上，假如BAC90，则BCE度；2）设BAC，BCE如图2，当点D在线段BC上挪动，则，之间有如何的数目关系？请说明原因；当点D在直线BC上挪动，则，之间有如何的数目关系？请直接写出你的结论64、正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CFBE，垂足为F，连接OF，求OF的长65、（1）如图，在边长为2的菱形ABCD中

20、，A=60，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将AMN沿MN所在直线翻折获得，连结，求长度的最小值。AMNACAC（2）如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，ABC=ACB=ADC=45，求BD的长66、阅读下边资料：小明碰到这样一个问题：如图1，ABO和CDO均为等腰直角三角形,AOB=COD=90若BOC的面积为1，试求以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形的面积DD图1AA图2小E明是这样思虑的：要解决这个问OO题，第一应想方法挪动这些分别CB的线段，结构一个三角形，再BC计算其面积即可他利用图形变换解决了这个问题，其解题思路是延伸CO到E,使得OE=CO,连结BE

21、,可证OBEOAD,进而获得的BCE即是以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形（如图2）请你回答：图2中BCE的面积等于E请你试试用平移、旋转、翻折的方法，解决以下问题：如图3，已知ABC,分别以AB、AC、BC为边向DG外作正方形ABDE、AGFC、BCHI,连结EG、FH、IDAF1）在图3中利用图形变换画出并指明以EG、度为三边长的一个三角形（保存绘图痕2）若ABC的面积为1，则以EG、FH、ID的三边长的三角形的面积等于BCFH、ID的长迹）；长度为IH图367、已知：在如图1所示的锐角三角形ABC中，CHAB于点H，点B对于直线CH的对称点为D，AC边上一点E知足EDA=A，

22、直线DE交直线CH于点F求证：BFAC；若AC边的中点为M，求证：DF2EM；(3)当AB=BC时（如图2），在未增添协助线和其余字母的条件下，找出图2中全部与BE相等的线段，并证明你的结论68、在ABC中，BABC，BAC，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2获得线段PQ。（1）若且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延伸线交射线BM于点D，请补全图形，并写出CDB的度数；（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延伸线与射线BM交于点D，猜想CDB的大小（用含的代数式表示），并加以证明；（3）对于合适大小的，当点P在线段BM上运动到某一地点（不与点B，M

23、重合）时，能使得线段CQ的延伸线与射线BM交于点D，且PQQD，请直接写出的范围。69、已知：如图，ABC中，AB=AC，CDAB于D。求证：BAC=2DCB70、如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延伸线上一点，且CE=CD，DMBC，垂足为M。求证：M是BE的中点。71、已知：如图，ABC为等边三角形，延伸BC到D，延伸BA到E，使AE=BD，连结CE、DE。求证：CE=DE.72、如图，ABC为等边三角形，且四边形ADFE的面积和BFC的面积相等，求DFB的度数。73、已知如图，在ABC中，ACB=90，ADAB，且AD=AB，BEDDC，AFAC，BE、AF交于点F

24、。求证：CF是ACB的角均分线。C74、如图，在ABC中，BE、CF分别为边AC、AB的高，BC的中点，DMEF于M求证：FMEM75、如图，点C在线段AB上，ADEB，AC=BE，AD=BC，分DCE尝试究CF与DE的地点关系，并说明理76、（1）已知：P为正方形ABCD内一点，且PA=1，PB=2，D为EAABMCF平FEF由BDCPC=3，求APB的度数。2）已知：P为等边ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，求APB的度数。3）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，求BEQ周长的最小值。（4）如图，已知矩形ABCD，把矩形

25、沿直线AC折叠，点B落在点E处，连结DE、BE，若ABE是等边三角形，求的值。77、如图，ABC中，AB=AC，D、E、F分别为AB，BC，CA上的点，BD=CE，DEF=B（1）求证：BDECEF；（2）若A=40，求EDF的度数78、如图，已知四边形ABCD是正方形，E是正方形内一点，以BC为斜边作直角三角形BCE，又以BE为直角边作等腰直角三角形EBF，且EBF=90，连结AF。（1）求证：AF=CE；（2）求证：AFEB；ADBF6FE（3）若AB=53，CE3，求点E到BC的距离。CB，79、（1）已知：如图，在AOB和COD中，OA=OB，OC=OD，AOB=COD=60求证：AC

26、=BD；APB=60度；2）如图，在AOB和COD中，若OA=OB，OC=OD，AOB=COD=，则AC与BD间的等量关系式为_；APB的大小为_；3）如图，在AOB和COD中，若OA=k?OB，OC=k?OD（k1），AOB=COD=，则AC与BD间的等量关系式为_；APB的大小为80、如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，B、C、G三点在一条直线上，且边长分别为2和3，在BG上截取GP2，连结AP、PF.1）察看猜想AP与PF之间的大小关系，并说2）图中能否存在经过旋转、平移、反射等变相重合的两个三角形？若存在，请说明变换过存在，请说明原因.EF明原因.AD换能够互23程

27、；若不BCPG3）若把这个图形沿着PA、PF剪成三块，请你把它们拼成一个大正方形，在原图上画出表示图，并恳求出这个大正方形的面积.81、如图，ABC与ADE都是等边三角形，连结BD、CE交点记为点F（1）BD与CE相等吗？请说明原因E（2）你能求出BD与CE的夹角BFC的度数吗？AD（3）若将已知条件改为：四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，F连结BE、DG交G点记为点M（如图）请直接写出线段BE和DG之间的关系？BAFBC82、正方形四边条边都相等，四个角都是90o如图，已知正方形ABCD在直线MN的ME上方，BC在直线MN上，点E是直线MN上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形A

28、EFGCD1）如图1，当点E在线段BC上（不与点B、C重合）时：判断ADG与ABE能否全等，并说明原因；过点F作FHMN，垂足为点H，察看并猜想线段BE与线段CH的数目关系，说明原因；（2）如图2，当点E在射线CN上（不与点C重合）时：判断ADG与ABE能否全等，不需说明原因；过点F作FHMN，垂足为点H，已知GD4，求CFH的面积GBC于点D，B2G证：83、以下图，在ABC中，ADC求AABBDCDDFAFAD沿AE84、如图矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把ADE折叠，当点D的对应点D落在ABC的角均分线上时，求DE的长MBECHNMBCECHNDB85、已知：

29、BD、CE是ABC的高，点P在BD的延伸线上，BP图1AB，求证：AP图2AQAC，点Q在CE上，CQAQ；AP86、如图，在矩形ABCD中，E为CB延伸线上一点且ACCE，F为AE的中点求证：BFFD87、（1）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，EAF=45，延伸CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG求证：EF=FG（2）如图，等腰直角三角形ABC中，BAC=90，AB=AC，点M，N在边BC上，且MAN=45，若BM=1，CN=3，求MN的长88、如图，已知ABDACD60，且1AADB90BDC2求证：ABC是等腰三角形89、如图，ABC中，BAC=90，AB=AC

30、，ADBC，垂足是D，AE平分BAD，交BC于点E在ABC外有一点F，使FAAE，FCBCBD（1）求证：BE=CF；C（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连结MC，交AD于点N，连结ME求证：MEBC；DE=DN90、如图，ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结EG，试判断ABC与AEG面积之间的关系，并说明原因.91、园林小道，曲径通幽，以下图，小道由E白色的G正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知中有正方形的面积之和是a平方米，内圈的全部DA间的所F三角形BC的面积之和是b平方米，这条小道一共占地多少平方米？92、如图，ABC中，ABBC，ABC90，D是AC上一点，且CDCBAB，DEAC交AB于E点求证：ADDEEB93、ABC中，B9