2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅱ）（含解析版）

1、2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）（含解析版）2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）（含解析版）2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）（含解析版）2019年全国统一高考数学试卷理科新课标含解析版未经允许 请勿转载 绝密启用前2019年全国统一高考数学试卷理科新课标一、选取题：此题共1小题，每题5分，共分在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.未经许可 请勿转载1设集合A|x25x+60，B |x-，则BA-,1B-2,1C.3，1D3，+2.设z=-3+i，则在复平面内对应的点位于A第一象限B第二象限C.第三象限D第四象限3.已经知道=2,3，

2、=3，,1,则A.-3B.-2C.2D.3.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我们国家航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行点是平衡点,位于地月连线的延长线上设地球质量为M1，月球质量为M，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律,r满足方程:未经许可 请勿转载.设，由于的值很小，因此在近似计算中,则r的近似值为AB.D.5.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从9个原始

3、评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到个有效评分.个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是未经许可 请勿转载.中位数平均数C.方差 D极差若ab，则.nab0 b7设，为两个平面，则的充要条件是A内有无数条直线与平行 B内有两条相交直线与平行 C.，平行于同一条直线 .,垂直于同一平面8若抛物线2=2pxp的焦点是椭圆的一个焦点,则=A2 B3 C.4 .8以下函数中,以为周期且在区间，单调递增的是Afx=cos 2 Bfx=n 2x C.=osx Dfx= ix1.已经知道0，,sin 2=cos+1，则sin=A . C D1设F为双曲线C：的右焦点,为坐标原点,以为直径的圆与圆交于

4、P，Q两点.若，则C的离心率为A. BC2D.1设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意,都有，则m的取值范围是B C.D.二、填空题:此题共4小题，每题5分,共20分.我们国家高铁发展迅速,技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为07,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_.未经许可 请勿转载1已经知道是奇函数,且当时，若,则_.15.的内角的对边分别为.若，则的面积为_.16.中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印

5、信形状是“半正多面体图.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有_个面，其棱长为_.此题第一空分，第二空3分.未经许可 请勿转载三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第721题为必考题,每个试题考生都必须作答.第2、3为选考题，考生根据要求作答未经许可 请勿转载一必考题：共60分。 17.2分如此图,长方体CDB1D1的底面ACD是正方形，点E在棱AA1上，BEE.1证明：B平面B1C;2若E=AE,求二面角BEC1的正

6、弦值.2分11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分，当某局打成10:0平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方0:1平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.未经许可 请勿转载求PX=2;2求事件“X4且甲获胜的概率19.2分已经知道数列an和bn满足a1=1，b1=，,.1证明:anbn是等比数列,anbn是等差数列；2求an和bn的通项公式.012分已经知道函数.1讨论fx的单调性,并证明fx有且仅有两个零点；2设x0是f的一个零点，证明曲线y=lnx

7、在点Ax,n x0处的切线也是曲线的切线.未经许可 请勿转载2.2分已经知道点A2,0,B2,0，动点M，y满足直线AM与BM的斜率之积为.记的轨迹为曲线.未经许可 请勿转载1求的方程,并说明是什么曲线；2过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，x轴，垂足为，连结Q并延长交C于点未经许可 请勿转载i证明:是直角三角形;ii求面积的最大值.二选考题:共10分.请考生在第2、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分选修4-4:坐标系与参数方程10分在极坐标系中,O为极点,点在曲线上，直线l过点且与垂直,垂足为.1当时，求及l的极坐标方程；当M在C上运动且P在线段上时，求P点轨

8、迹的极坐标方程. 23选修45：不等式选讲10分已经知道1当时，求不等式的解集;2若时,，求的取值范围.219年全国统一高考数学试卷理科新课标参考答案:：1.A 2C 3C4.D 5A 6.7.8D 9. 10 11A12B1.984.31566.26；1解：1由已经知道得,平面，平面,故又，所以平面2由知由题设知，所以,故，以为坐标原点，的方向为x轴正方向,为单位长,建立如以以下图的空间直角坐标系Dxyz,则C0,1,0，B1,1，0，0,1,2，E,0，1,.设平面EBC的法向量为n=x,y，x，则即所以可取=.设平面的法向量为m=，y,z，则即所以可取1，1，0于是.所以，二面角的正弦值

9、为.18解：1X=2就是10:1平后，两人又打了个球该局比赛结束,则这2个球均由甲得分,或者均由乙得分因此P2=054+10.5104=05.未经许可 请勿转载2=4且甲获胜，就是10:1平后，两人又打了个球该局比赛结束,且这个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.未经许可 请勿转载因此所求概率为050.4+100.004=0.119解:1由题设得,即又因为1+=,所以是首项为1，公比为的等比数列.由题设得,即.又因为ab1l,所以是首项为1,公差为的等差数列2由1知，.所以，.0解:1f的定义域为0,1,1，单调递增.因为=，所以x在1，+有唯一零点x1，即fx1=0又,

10、故f在，1有唯一零点综上，fx有且仅有两个零点2因为,故点Blnx0,在曲线y=ex上.由题设知，即，故直线的斜率曲线yex在点处切线的斜率是,曲线在点处切线的斜率也是，所以曲线在点处的切线也是曲线=的切线.2.解:由题设得，化简得，所以为中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆,不含左右顶点.i设直线PQ的斜率为,则其方程为由得记，则于是直线的斜率为，方程为由得.设，则和是方程的解，故,由此得从而直线的斜率为所以，即是直角三角形.ii由i得，所以的面积设tk+,则由k0得t,当且仅当k1时取等号.因为在2，+单调递减,所以当t=,即k=1时,取得最大值,最大值为因此，PQG面积的最大值为22.解：

11、1因为在C上,当时，.由已经知道得.设为l上除的任意一点.在中，经检验,点在曲线上.所以,l的极坐标方程为2设,在中，即.因为P在线段OM上,且,故的取值范围是.所以，P点轨迹的极坐标方程为23解:1当1时，.当时，;当时,.所以，不等式的解集为.因为，所以.当，时,所以,的取值范围是.绝密启用前019年全国统一高考数学试卷理科新课标答案:解析版一、选取题：此题共2小题，每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的未经许可 请勿转载1.设集合A=|25x+0，B= x|xb，则A. naB 3a0 ab【答案:】C【解析】【分析】此题也可用直接法,因为，所以,当时

12、，知A错，因为是增函数,所以,故B错;因为幂函数是增函数，所以,知正确；取，满足，,知错.未经许可 请勿转载【详解】取，满足，知A错，排除A;因为，知B错,排除B;取，满足,，知D错,排除D,因为幂函数是增函数，,所以,故选C未经许可 请勿转载【点睛】此题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养,利用特殊值排除即可判断.未经许可 请勿转载.设,为两个平面,则的充要条件是A内有无数条直线与平行B. 内有两条相交直线与平行C.，平行于同一条直线D.,垂直于同一平面【答案:：】B【解析】【分析】此题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象

13、、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断.未经许可 请勿转载【详解】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若,则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件,故选B未经许可 请勿转载【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理,最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若，则此类的错误未经许可 请勿转载8.若抛物线2=2pxp0的焦点是椭圆的一个焦点，则pA. 2B. C. 4D. 8【答案:：】【解析】【分析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程，即可解出,或者利用检验排除的方法,如时,抛物线

14、焦点为1，椭圆焦点为2，,排除A，同样可排除B,故选D.未经许可 请勿转载【详解】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点,所以,解得,故选D【点睛】此题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养.9.以下函数中,以为周期且在区间，单调递增的是A. fx=co 2xB. fx=snC. fx=osx. fx sinx【答案:】A【解析】【分析】此题主要考查三角函数图象与性质,渗透直观想象、逻辑推理等数学素养.画出各函数图象,即可做出选择.【详解】因为图象如以以以下图，知其不是周期函数，排除D；因为,周期为,排除C，作出图象，由图象知，其周期为,在区间单调递增，A正确；作出的图象,由图象

15、知,其周期为,在区间单调递减,排除B，故选未经许可 请勿转载【点睛】利用二级结论:函数的周期是函数周期的一半;不是周期函数；10.已经知道a0，,2sn2=co2+1,则sn=A.B. C.D. 【答案:：:】B【解析】【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为关系得出答案:：:【详解】,.，又，又，故选B.【点睛】此题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查,中等难度，判断正余弦正负,运算准确性是关键,题目不难,需细心，解决三角函数问题,研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键,切记不能凭感觉.未经许可 请勿转载11.设F为双曲线:a，b的右焦点,O为坐标

16、原点,以OF为直径的圆与圆2ya2交于P、Q两点.若|Q|OF|,则C的离心率为未经许可 请勿转载A.BC. D. 【答案:】A【解析】【分析】准确画图,由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与关系,可求双曲线的离心率【详解】设与轴交于点,由对称性可知轴,又，为以为直径的圆的半径，为圆心,又点在圆上，即，故选A.【点睛】此题为圆锥曲线离心率的求解,难度适中,审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低,双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题,需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来未经许可 请勿转载12.设函数的定义域为，满足，且当时，若

17、对任意，都有,则m的取值范围是. . 【答案:】B【解析】【分析】此题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题,需准确求出函数每一段解析式,分析出临界点位置,精准运算得到解决.未经许可 请勿转载【详解】时,，即右移个单位,图像变为原来的2倍.如以以下图：当时，令,整理得:，舍,时，成立,即,故选B.【点睛】易错警示:图像解析式求解过程容易求反,画错示意图,画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错,需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习,提高抽象概括、数学建模能力未经许可 请勿转载二、填空题:此题共4小题，每题分,共0分.3我们国家高铁发展迅速，技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中，

18、有0个车次的正点率为0.7,有个车次的正点率为0.98，有1个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_.未经许可 请勿转载【答案:：】09.【解析】【分析】此题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法,利用概率思想解题.【详解】由题意得,经停该高铁站的列车正点数约为,其中高铁个数为10+1=4,所以该站所有高铁平均正点率约为.未经许可 请勿转载【点睛】此题考试点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养.侧重统计数据的概率估算,难度不大易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据,估算出正点列车数量与列车总数的比值未经许可 请勿转载14.已经知道

19、是奇函数，且当时，.若,则_【答案:】-【解析】【分析】此题主要考查函数奇偶性，对数的计算渗透了数学运算、直观想象素养.使用转化思想得出答案:.【详解】因为是奇函数,且当时，又因为,所以，两边取以为底的对数得，所以，即.【点睛】此题主要考查函数奇偶性,对数的计算.15的内角的对边分别为.若，则的面积为_.【答案:：】【解析】【分析】此题首先应用余弦定理，建立关于的方程，应用的关系、三角形面积公式计算求解，此题属于常见题目,难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查.未经许可 请勿转载【详解】由余弦定理得，所以，即解得舍去所以,【点睛】此题涉及正数开平方运算，易错点往

20、往是余弦定理应用有误或是开方导致错误.解答此类问题，关键是在明确方法的基础上,准确记忆公式,细心计算未经许可 请勿转载16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体图1.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1则该半正多面体共有_个面，其棱长为_.未经许可 请勿转载【答案:：:】 1 共2个面. .棱长为【解析】【分析】第一问可按题目数出来,第二问需在正方体中简单还原出物

21、体位置，利用对称性，平面几何解决.【详解】由图可知第一层与第三层各有个面，计1个面,第二层共有个面,所以该半正多面体共有个面.如此图,设该半正多面体的棱长为,则,延长与交于点,延长交正方体棱于,由半正多面体对称性可知，为等腰直角三角形,未经许可 请勿转载,，即该半正多面体棱长为【点睛】此题立意新颖，空间想象能力要求高,物体位置还原是关键,遇到新题别慌乱，题目其实很简单,稳中求胜是关键立体几何平面化,无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形未经许可 请勿转载三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2、23为选考题，考生根

22、据要求作答未经许可 请勿转载一必考题:共60分。17.如此图,长方体AD1B1D1的底面ACD是正方形,点E在棱AA1上,BC1证明：E平面EBC;2若AE=AE,求二面角BCC1的正弦值.【答案:：】1证明见解析;2【解析】【分析】1利用长方体的性质,可以知道侧面,利用线面垂直的性质可以证明出，这样可以利用线面垂直的判定定理,证明出平面；未经许可 请勿转载2以点坐标原点，以分别为轴,建立空间直角坐标系,设正方形的边长为,，求出相应点的坐标，利用,可以求出之间的关系，分别求出平面、平面的法向量,利用空间向量的数量积公式求出二面角的余弦值的绝对值,最后利用同角的三角函数关系，求出二面角的正弦值.

23、未经许可 请勿转载【详解】证明1因为是长方体，所以侧面，而平面，所以又，平面,因此平面;2以点坐标原点,以分别为轴,建立如以以以下图所示的空间直角坐标系，,因为,所以,所以，设是平面的法向量，所以，设是平面的法向量,所以，二面角的余弦值的绝对值为，所以二面角的正弦值为.【点睛】此题考查了利用线面垂直的性质定理证明线线垂直,考查了利用空间向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函数关系，考查了数学运算能力.未经许可 请勿转载1811分制乒乓球比赛，每赢一球得1分,当某局打成0:0平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.，乙发

24、球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后,甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束.未经许可 请勿转载求PX2;求事件“X=且甲获胜的概率【答案:：:】；20.【解析】【分析】1此题首先可以通过题意推导出所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果;未经许可 请勿转载2此题首先可以通过题意推导出所包含的事件为“前两球甲乙各得分,后两球均为甲得分，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果。未经许可 请勿转载【详解】1由题意可知，所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球所以2由题意可知,包含的事件为“前两球甲乙各得分，后两球均为甲得

25、分所以【点睛】此题考查古典概型的相关性质，能否通过题意得出以及所包含的事件是解决此题的关键，考查推理能力,考查学生从题目中获取所需信息的能力,是中档题。未经许可 请勿转载.已经知道数列an和n满足a11,b1=0， ，.证明：an+bn是等比数列，ann是等差数列；2求a和bn的通项公式.【答案:】1见解析;2,。【解析】【分析】1可通过题意中的以及对两式进行相加和相减即可推导出数列是等比数列以及数列是等差数列;2可通过中的结果推导出数列以及数列的通项公式,然后利用数列以及数列的通项公式即可得出结果。未经许可 请勿转载【详解】1由题意可知，,所以,即，所以数列是首项为、公比为的等比数列，,因为

26、，所以，数列是首项、公差为等差数列,。由1可知，所以,。【点睛】此题考查了数列的相关性质,主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明,证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义,考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题。未经许可 请勿转载20.已经知道函数.1讨论fx的单调性,并证明fx有且仅有两个零点；设0是f的一个零点,证明曲线yln x 在点Ax,ln x处的切线也是曲线的切线.未经许可 请勿转载【答案:：】1函数在和上是单调增函数，证明见解析;2证明见解析.【解析】【分析】1对函数求导,结合定义域，判断函数的单调性；2先求出曲线在处的切线，然后求出当曲线切线的斜

27、率与斜率相等时，证明曲线切线在纵轴上的截距与在纵轴的截距相等即可.未经许可 请勿转载【详解】1函数的定义域为，因为函数的定义域为，所以，因此函数在和上是单调增函数；当，时,，而，显然当，函数有零点，而函数在上单调递增,故当时,函数有唯一的零点;当时,，因为，所以函数在必有一零点，而函数在上是单调递增,故当时,函数有唯一的零点综上所述，函数的定义域内有个零点；因为是的一个零点,所以,所以曲线在处的切线的斜率，故曲线在处的切线的方程为：而，所以的方程为,它在纵轴的截距为.设曲线的切点为,过切点为切线,，所以在处的切线的斜率为，因此切线的方程为，当切线的斜率等于直线的斜率时,即,切线在纵轴的截距为，

28、而，所以，直线的斜率相等，在纵轴上的截距也相等,因此直线重合，故曲线在处的切线也是曲线的切线.未经许可 请勿转载【点睛】此题考查了利用导数求已经知道函数的单调性、考查了曲线的切线方程，考查了数学运算能力.1.已经知道点A2,0，2,0，动点M,满足直线M与BM的斜率之积为记的轨迹为曲线.未经许可 请勿转载求C的方程，并说明C是什么曲线;2过坐标原点的直线交于P，Q两点,点P在第一象限，x轴,垂足为，连结QE并延长交C于点.未经许可 请勿转载证明：直角三角形；i求面积的最大值.二选考题：共0分请考生在第2、3题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分.【答案:：:】1详见解析2详见解析【解

29、析】【分析】1分别求出直线AM与BM的斜率，由已经知道直线AM与BM的斜率之积为，可以得到等式，化简可以求出曲线C的方程,注意直线A与B有斜率的条件；未经许可 请勿转载2i设出直线的方程,与椭圆方程联立,求出,Q两点的坐标,进而求出点的坐标,求出直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数关系求出的坐标,再求出直线的斜率,计算的值,就可以证明出是直角三角形;未经许可 请勿转载ii由可知三点坐标,是直角三角形,求出的长，利用面积公式求出的面积,利用导数求出面积的最大值.未经许可 请勿转载【详解】1直线的斜率为，直线的斜率为,由题意可知：,所以曲线C是以坐标原点为中心，焦点在轴上,不包括左右两顶点的椭圆,其方程为;未经许可 请勿转载i设直