选修专题极坐标与参数方程

1、精选文档精选文档PAGEPAGE16精选文档PAGE2017高考二轮专题复习：极坐标与参数方程1极坐标的基本观点极坐标(，)的含义：设M是平面上任一点，表示OM的长度，表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角那么，有序数对(，)称为点M的极坐标明显，每一个有序实数对(，)，决定一个点的地点此中称为点M的极径，称为点M的极角极坐标系和直角坐标系的最大差别在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而在极坐标系中，关于给定的有序数对(，)，能够确立平面上的一点，可是平面内的一点的极坐标却不是独一的（极角相差2的正数倍）2极坐标与直角坐标的互化若极点在原点且极轴为x轴的

2、正半轴，则平面内随意一点M的极坐标M(，)化为平面直角坐标M(x，y)的公式以下：xcos，x2y2，tany，或许ysinx此中要联合点所在的象限确立角的值，一般取0,2).3常有曲线的参数方程(1)过定点P(x0，y0)，倾斜角为的直线：xx0tcos，yy0(t为参数)，tsin此中参数t是以定点P(x0，y0)为起点，点M(x，y)为终点的有向线段PM的数目，又称为点P与点M间的有向距离依据t的几何意义，有以下结论：设A，B是直线上随意两点，它们对应的参数分别为tA和tB，则|AB|tBtA|（tBtA）24tAtB；线段AB的中点所对应的参数值等于tAtB.2(2)中心在P(x0，y

3、0)，半径等于r的圆：xx0rcos，(为参数)yy0rsin(3)中心在原点，焦点在x轴(或y轴)上的椭圆：xacos，xbcos，(为参数)或.ybsinyasin4参数方程化为一般方程由参数方程化为一般方程就是要消去参数，消参数时经常采纳代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，消参数时要注意参数的取值范围对x，y的限制1高考热门打破（掌握极坐标方程与直角坐标方程；参数方程与一般方程；极坐标方程与参数方程之间的互化是前提）例：在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为xtcos（t为参数，ytsin0），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p（

4、p0），写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程.cos1打破点1：求交点坐标x45cost,(2013全国1卷)已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，55sint轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2sin.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(0,02)解：(1)将x45cost,消去参数t，化为一般方程(x4)2(y5)225，55sint即C1：x2y28x10y160.将xcos,代入x2y28x10160得ysiny28cos10sin160.所以C1的极坐标方程为28cos10sin160.C2的一般方程为x2

5、y22y0.由x2y28x10y160,x2y22y0解得x1,或x0,所以C1与C2交点的极坐标分别为2,，2,.y1y2.42有关练习：x1cos1.在直角坐标系xoy中，圆C的参数方程(为参数）,以O为极点，x轴的ysin非负半轴为极轴成立极坐标系。（I）求圆C的极坐标方程；（II）射线OM：与圆C的交点O、P两点，求P点的极坐标。41)2y21即x2y2解：()圆C的参数方程化为一般方程是(x2x0又2x2y2，xcos于是22cos0，又0不知足要求所以圆C的极坐标方程是2cos()因为射线OM:4的一般方程为yx(x0)2yx,x0消去y并整得x2x0联立方程组1)2y2(x1解得

6、x1或x0，所以P点的直角坐标为(1,1)所以P点的极坐标为(2,)4解法2：把代入2cos得2cos2所以P点的极坐标为(2,)444x21t2.在平面直角坐系xOy中，直l的参数方程2(t参数），以坐原点极点，y3t2x正半极成立极坐系，曲C的极坐方程：4cos。（1）直l的参数方程化极坐方程；（2）求直l的曲C交点的极坐（0,02）x21t分析：（1）将直l:2（t参数）消去参数t，化一般方程3ty23xy230，2分将xcos代入3xy230得3cossin230.4分ysin（2）方法一：C的一般方程x2y24x0.6分由3xy230解得：x1或x38分x2y24x0y3y3所以l与

7、C交点的极坐分：(2,5)，(23,).10分36方法二：由3cossin230，6分4cos得：sin(2)0，又因0,028分3223所以5或363所以l与C交点的极坐分：(2,5)，(23,).10分36打破点2：求方程真做：(2010全国1卷)x1tcosxcos（参数），已知直C1（t参数），C2ysinytsin（）当=，求C1的垂，垂足A，31与C2的交点坐；（）坐原点O做CPOA中点，当化，求P点的迹的参数方程，并指出它是什么曲。有关：1.在直角坐系xOy中，以O极点，x正半极成立极坐系，C和直l的极坐方程分=2cos，cos（+）=2（此中tan=2，（0，）（）求C和直l的

8、直角坐方程；（）C和直l订交于点A和点B，求以AB直径的D的参数方程分析：（）C的极坐方程分=2cos，化成直角坐方程：（x1）2+y2=1，因为：tan=2，（0，）：，极坐方程cos（+）=2化成直角坐方程：x2y2=0（）由（）得：解得：A（2，0），B（，），：，点M（x，y）是D上的随意一点，：所以：+整理得：5x2+5y212x+4y=0化成准形式：化成参数方程：（参数）2.将x2y21上每一点的横坐保持不，坐本来的2倍，得曲C.（1）写出C的参数方程；（2）直l:2xy20与C的交点P1,P2，以坐原点极点，x正半极成立极坐系，求段P1P2的中点且与l垂直的直的极坐方程.4（）设

9、(x1,y1)为圆上的点，经变换为C上点（x，y），依题意，得xx1由x12y121得y2y12costx2(y)21，即曲线C的方程为x2y1.，故C得参数方程为x（t为参数）.2sint24yx2y21x1x04()由解得：0，或.2xy20yy2不如设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为1k1(,1),所求直线的斜率为，于是1122所求直线方程为y1(x)，化为极坐标方程，并整理得2232cos4sin3，即4sin2cos打破点3：长度与面积问题真题试做：(2011全国1卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x2cos1y22sinuuuvuuuv（为参数）

10、M是C1上的动点，P点知足OP2OM,P点的轨迹为曲线C2()求2的方程()在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线C与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求AB.3xOy中，直线C1:x2y2(2015全国1卷)在直角坐标系2，圆C2:x121，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴成立极坐标系.（I）求C1,C2的极坐标方程.R，设C2,C3（II）若直线C3的极坐标方程为4的交点为M,N，求C2MN的面积.有关练习：x1cos1.在直角坐标系xOy中，半圆C的参数方程为（为参数，0），以ysinO为极点，x轴的非负半轴为极轴成立极坐标系（）求C的极坐标方程；（）直

11、线l的极坐标方程是(sin3cos)53，射线OM：与半圆C的交点35为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长解：（）半圆C的一般方程为(x1)2y21(0y1)，又xcos,ysin，所以半圆C的极坐标方程是2cos,0,（5分）2（）设(1,1)为点P的极坐标，则有12cos111，解得，11332(sin23cos2)532设(2,2)为点Q的极坐标，则有解得2235，3因为12，所以|PQ|12|4，所以PQ的长为4（10分）2.已知点Q(2，0)和点P(2cosa,2sina2),a0,2线段PQ的中点为M.(I)求点M的轨迹的参数方程；()设点P的轨迹与点M的轨迹交于A，B两点

12、，求QAB的面积解：(1)由中点坐标公式可得M(cos1,sin1).点M的轨迹方程为xcos1,参数0，2）.ysin1x2cos且，得点P的轨迹方程为22，y2sin20,2)x(y2)4由(1)得点M的轨迹方程为(x1)2(y1)21.-得公共弦所在直线方程为xy12可求得|AB|14点到直线xy1的距离为32，2,Q24的面积为S1143237.QAB2248打破点4：最值问题真题试做：（2014全国卷）已知曲线C：x2y2x2t1，直线l：y2（t为参数）.492t()写出曲线C的参数方程，直线l的一般方程；6（）过曲线C上任一点P作与l夹角为30o的直线，交l于点A，求|PA|的最

13、大值与最小值.x2cos.（I）曲线C的参数方程为(为参数).y3sin.直线l的一般方程为2xy60.II）曲线C上随意一点P(2cos,3sin)到l的距离为d54cos3sin6.5则PAd255sin()6,此中为锐角，且tan4sin305.3当sin(+)=-1时，PA获得最大值，最大值为225.5当sin()1时，PA获得最小值，最小值为25.5有关练习1.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴成立直角坐标系，圆C的极坐标方程为22cos，直线的参数方程为xt（为参数），直线和圆C4y122t交于A,B两点，P是圆C上不一样于A,B的随意一点.（1）求圆心的极坐标；（

14、2）求PAB面积的最大值.解：()圆C的一般方程为x2y22x2y0，即(x1)2(y1)22.所以圆心坐标为（1，-1），圆心极坐标为(2,7)；4()直线l的一般方程：22xy10，圆心到直线l的距离221122AB28210d33，所以2,93点P直线AB距离的最大值为rd22252,33Smax121052105233972.已知平面直角坐标系xoy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴成立极坐标系，P点的极坐标为22,，曲线C的极坐标方程为4sin.4（）写出点P的直角坐标及曲线C的一般方程；（）若Q为C上的动点，求PQ中点M到直线l:x32ty2(t为参数）距离的最小值.t在平面直角坐

15、标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin，0,2.（）求曲线C的直角坐标方程；（）在曲线C上求一点D，使它到直线l：x3t3,（t为参数，tR）的距离y3t2最短，并求出点D的直角坐标.解：（）解：由2sin，0,2，可得22sin8因2x2y2，siny，所以曲C的一般方程x2y22y0（或x2y121）（）解法一：因直的参数方程x3t3,（t参数，tR），y3t2消去t得直l的一般方程y3x55分因曲C：x2y121是以G0,1心，1半径的，点Dx0,y0，且点D到直l：y3x5的距离最短，所以曲C在点D的切与直l：y3x5平行即直GD与

16、l的斜率的乘等于1，即y01317分x0因x02y021，1解得x0332或x02所以点D的坐31或339分2，2，22因为点D到直y3x5的距离最短，所以点D的坐3310分2，2（2）解：因直l的参数方程x3t3,（t参数，tR），y3t2消去t得直l的一般方程3xy50因曲Cx2y121是以G0,1心，1半径的，因点D在曲C上，所以可点Dcos,1sin0,23cossin4所以点D到直l的距离d2sin239因为0,2，所以当时，dmin1633，所以点D的坐标为33此时D，2，2224(2015山西四校联考)在极坐标系中，曲线232，点R(22，12sin4(1)以极点为原点，极轴为x

17、轴的正半轴，成立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标解：(1)xcos，ysin，曲线C的直角坐标方程为x2y21，3点R的直角坐标为R(2,2)(2)设P(3cos，sin)，依据题意可得|PQ|23cos，|QR|2sin，|PQ|QR|42sin()，3当时，|PQ|QR|取最小值2.6矩形PQRS周长的最小值为4，1此时点P的直角坐标为(2，2)5.在极坐标系内，已知曲线C1的方程为22cos2sin40，以极点为原点，极

18、轴方向为x轴正半轴方向，利用同样单位长度建C2的参数方程为5x14t立平面直角坐标系，曲线5y18（t为参数）3t12求曲线C1的直角坐标方程以及曲线C2的一般方程；设点为曲线C2上的动点，过点作曲线C1的两条切线，求这两条切线所成角余弦的最小值解：1关于曲线C1的方程为22sin)402(cos可化为直角坐标方程x2y22x4y40，即(x1)2(y2)2110于曲C2的参数方程5x14t（t参数）5y183t可化一般方程3x4y1502心(1,2)点作直3x4y150的垂，此两切成角最大，即余弦最小由点到直的距离公式可知，d|314(2)15|4，sin1，所以cos12sin273242

19、2428所以两条切所成角的余弦的最小是78打破点6：范围问题已知曲C1的参数方程是x2cos(2012全国1卷)y(为参数)，以坐原点3sin极点，x的正半极成立坐系，曲C2的坐系方程是2，正方形ABCD的点都在C2上，且A,B,C,D依逆序次摆列，点A的极坐(2,)3（1）求点A,B,C,D的直角坐；2222（2）PC1上随意一点，求PAPBPCPD的取范。有关：以坐原点极点，以x的非半极成立极坐系，x2cost已知曲C的参数方程（t参数）.2sint1）曲C在点(1,1)的切l，求l的极坐方程；（2）点A的极坐(22,)，且当参数t0,，点A的直4m与曲C有两个不一样的交点，求直m的斜率的

20、取范.（）x2cost,x2y22点C(1,1)在上，故切方程xy22分y2sint,sincos2，切的极坐方程：sin()25分4（）yk(x2)2与半x2y22(y0)相切|2k2|12k2k24k10k23，k23（舍去）.8分112022,点B(2,0)KAB22故直m的斜率的取范(23,22.10分打破点7：直线参数t的几何意义的运用1.在平面直角坐系xOy中，点P(2,0)的直l的参数方程x23t（t参数），ytC的方程x2y29，以坐原点O极点，x的非半极成立极坐系.（1）求直l和C的极坐方程；（2）直l和C订交于A,B两点，求|PA|PB|的.|PA|PB|t1|t2|t1t

21、2|(t1t2)24t1t2(23)220422.在平面直角坐系xoy中，曲C1的参数方程x4t2（t参数）.以坐原点Oy4t极点，x正半极成立极坐系并取同样的位度，曲C2的极坐方程2cos().2把曲C1的方程化一般方程，C2的方程化直角坐方程；若曲C1，C2订交于A,B两点，AB的中点P，点P作曲C2的垂交曲C1于E,F两点，求|PE|PF|的.12解：（）消去参数可得C1：y2=4x,C2:x-y-1=0（）设A(x1,y1),B(x2,y2),且AB中点为P(x0,y0),y24x,联立可得x2-6x+1=0，所以x1+x2=6,x1x2=1,xy10,x1x23x32t2x02AB中

22、垂线的参数方程t为参数2y0 x012y2t2代入y24x中，得t282t160,所以t1t216所以|PE|PF|t1t2|163.已知平面直角坐标系xOy中，过点P(x1tcos451,2)的直线l的参数方程为2tsin45y（t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sintan2a（a0），直线l与曲线C订交于不一样的两点M,N.（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的一般方程；2）若|PM|MN|，务实数a的值.解：（1）因为x1tcos45y2（t为参数），直线l的一般方程为xy10.tsin45因为sintan2a，所以2sin22acos，x

23、cos，得曲线C的一般方程为y22ax,(a0).由siny（2）因为y22ax，所以x0，设直线l上点M,N对应的参数分别是t1,t2（t10,t20），则|PM|t1,|PN|t2，因为|PM|MN|，所以|PM|1|PN|，所以t22t1，213将x1tcos45代入y22ax得t222(a2)t4(a2）=0，y2tsin45所以t1t222(a2)2t11t1t24(a2)，又因为t2，所以a.424.已知曲线C的极坐标方程是2sin2，直线l的参数方程是xt1212（t为参2y2数）.（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设直线l与x轴的交点是P，直线l与曲线C交于M,

24、N两点，求11|PM|的值.|PN|解：（1）由21sin22222，得2sin，2x又ysin，2x2y2，所以2x22y2，即y21，故x2y21即为曲线C的直角坐标方程.2（2）设直线l上点M,N对应的参数分别是t1,t2.将直线的参数方程代入x2y21，获得3t22t10，22由根与系数的关系得t1t2222，t1t2，33所以11|PM|PN|t1t2|(t1t2)24t1t222.|PM|PN|PM|PN|t1t2|t1t2|5.在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴成立极坐标系，向来曲线C：x22tsin22acos(a0)，过点P(2，4)的直线l的参数方程为2(t为参2