线性代数各要点整理

1、第一章行列式主要知识点一、行列式的定义和性质7.余子式L和代数余子式的定义2行列式按一行或一列展开的公式I牛吐二工岭牛八口那啊二忖I1 ）dhJ 一一勺* k r k* o一一4nVa行Lo k i行列式的性质）叶2） 用数k乘行列式的某一行（列）所得新行列式二原行列式的k倍.推论3） 互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数？推论4） 如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0.5 ）行列式可以按任一行（列）拆开？6）行列式的某一行（列）的 k倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等1、行列式的计算1 ?二阶行列式和三角形行列式的计算?对一般数字行列式

2、，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形（或对角形）行列式的计算对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开4行列式中各行元素之和为一个常数的类型？范德蒙行列式的计算公式第二章矩阵主要知识点一、矩阵的概念1 ?要分清矩阵与行列式的区别几种特殊矩阵（0矩阵，单位阵，三角阵，对角阵，数量阵）二、矩阵的运算1 ?矩阵A,B的加、减、乘有意义的充分必要条件2. 矩阵运算的性质 比较矩阵运算（包括加、减、数乘、乘法等）的性质与数的运算性质的相同点和不同点（加法、乘法的交换律和 结 合律；乘法矢于加法的分配律）重点是矩阵乘法没有交换律（由此产生了矩阵运算公式与数的运算的

3、公式的不同点）（肚卯二屮別 +於心 +引（小二护 +胡乩护；（AB k = ABAB艸計；（4 士卯二才 土 2 虫 + 转置对称阵和反对称阵1 ） 转置的性质（A Bf=A B,（财）二 2 :（朋）二2）若 AT=A （ AT= - A ），则称 A 为对称（反对称）阵逆矩阵2）方阵A的伴随阵2）方阵A的伴随阵,的定义Ax?当（当方阵A可逆时，： 卩卫的矢 系3 ）重要结论：（4）1尸5）消去律：设方阵（4）1尸5）消去律：设方阵5. 方阵的行列式冏二国；n二八|41I.才刖;AA可逆，且AB=AC （ BA=CA，则必有B=G （若不知A可逆，仅知 Amo结论不一定成 立。）也卜国卩丨；

4、I胡洌卅分快矩阵矩阵运算时分快的原则；分快矩阵的运算规则；分快矩阵的转置A血AjtT站禺起Ai去遇丈兀 上挥起J三、矩阵的初等变换和初等矩阵初等变换的定义和性质方阵经初等变换后的行列式是否变化？（分别就三种初等变换说明行列式变化的情况）初等变换不改变方阵的可逆性；初等变换不改变矩阵的秩；行初等变换必能将矩阵化为行最简形，初等变换必能各矩阵A化为标准形一 ，其中r为矩阵A的秩初等矩阵的定义和性质1）初等矩阵的定义) 初等变换和矩阵乘法之间的尖系m 阶初等阵二一丁和一系歹【n阶初等阵Qi?m 阶初等阵二一丁和一系歹【n阶初等阵Qi?Q使Er昭彩彩 ? s ；四、矩阵的 k 阶子式和矩阵秩的概念 ，

5、求矩阵秩的方法五、矩阵方程的标准形及解的公式 磁二 E 二 X 二丹XA 二第三章向量空间主要知识点一、 n 维向量线性运算的定义和性质；设 ? : 二是一组 n 维向量构成的向量组。如果存在一组不全为零的数 使得“?I则称向量组X、线性相尖。否则称向量组X 3厂0线性无矢二、n 维向量组的线性相矢性m 个 n m 个 n 维向量丿线性相尖的充分 : 是其余向量的线性组合 . 必要条件是至少存在某个(24)如果向线性无尖，而 f?线性相矢的向量组再增加向量所得的新向量组必线性?(部分相 若向量组-线性无矢，则接长向量组线性无矢的充分必要条件是其中任意一个向量都不能表示为其余向量的线性组合件二

6、( 砌，角叫 . 險叶 1), 2 12 艸必线性无発判断向量组的线性相尖性的方法一个向量 a 线性相矢 J ：；? ；含有零向量的向量组必线性相尖；向量个数二向量维数时， n 维向量组 向量维数时，向量组必线性相尖；若向量组的一个部分组线性相矢 ，则向量组必线性相尖；若向量组线性无尖，则其接长向量组必线性无矢；向量组线性无矢，至向量组的秩二所含向量的个数(7)向量组线性无矢，至向量组的秩二所含向量的个数向量组线性相矢 L 向量组的秩 V 所含向量的个数；(8) 向量组“；线性相矢 ( 无矢)的充分必要条件是齐次方程组则坷 +血岛+?+召耸二 0 有( 没有)非零解?三、向量组的极大无矢组及秩

7、极大无矢组的定义向量组的秩求向量组的秩和极大无矢组，并将其余向量由该极大无矢组线性表示的的方法四、子空间的定义 基、维数、向量在一组基下的坐标第四章线性方程组、线性方程组的三种表示方法旳円+ 4 吃+?+孤兀二勾?务护q十务內出+久凤二耳知? 做其中.4二a21 XLa0LUi-二、齐次线性方程组1 ? XLa0LUi-二、齐次线性方程组1 ?齐次方程组解的性质设a, 3都是AX二0的解，贝UGa+ 63也是Ax二0的解（C, C2为任意常数）齐次方程组有非零解的条件1） 齐次方程组AX二0有非零解的充分必要条件是 r （A） v未知数的个数（即矩阵 A的列数）.2） n个未知数n个方程的齐次

8、方程组 AX= 0有非零解的充分必要条件是|A|二0.3） 设A是mxn阶矩阵.若m n,则齐次方程组AX= 0必有非零解.（这是齐次方程组有非零解的充分条件但不必齐次方程组解的结构1）齐次方程组AX二0的基础解系的概念重要结论：齐次方程组 AX=0的任意（A）个线性无矢的解都构成该齐次方程组的基础解系；2）齐次方程组AX二0的基础解系的求法3） 齐次方程组AX二0的通解公式 三、非齐次方程组1 ?非齐次方程组解的性质（1 ）设n 1, n 2都是Ax二b的解，贝9 n 1 n 2是它的导出组 Ax二0的解.要）(2)设n 1, n 2都是Ax= b的解，则当ki + k2= 1时？ ki n

9、 1 + kzn 2也是Ax= b的解.3） 设 n 是 Ax 二 b 的一个解 ，是它的导出组 Ax 二 0 的解，则：爲是 Ax 二 b 的解 .矢于非齐次方程组解的讨论定理： n 个未知数， m 个方程的线性方程组 AX=3 中，（系数矩阵 A 是 mxn 阶矩阵）1）当且仅当 ? （未知数的个数）时，方程组 AX=3 有惟一解；2）当且仅当 沁奁一范縄吃总 （未知数的个数）时 ，方程组AX=3 有无穷多解；3）当且仅当心沁【 3 时，方程组 AX= 3 无解 .从以上定理可见线性方程组AX二3有解的充分必要条件是呎：那叹总.当线性方程组AX=3方程的个数二未知数的个数时，该方程组有惟一

10、解的充分必要条件是系数行列式|A|羊0.非齐次方程组 AX= 3的通解的结构 龙二矿+G筍+。2八2 +卅q/i其中是方程AX=3的一个特解，r二r (A)为系数矩阵的秩，总餘為哥为它的导岀组(与它对应的)齐次方程组 AX= 0的基础 解系；第五章特征值与特征向量主要知识点一、特征值与特征向量特征值与特征向量的定义要点 ： 入是 n 阶方阵 A 的特征值 ，是指存在非零向量爲使得 Aa=A% 这时 ，称 a 为矩阵 A 属于特征值入的特征向量 ?由此知 ， 入是n 阶方阵 A 的特征值： , 这时，齐次方程组(入 E? A) x=0 的非零解都是矩阵 A 属于特征值入的特征向量?矢于特征值、特

11、征向量的性质A与A有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量；设di, A都是矩阵A属于特征值 入的特征向量，ki, k2是数，只要技厂1则kiai+k 2a2也是矩阵A属于特征值入的特征向量；设 n 阶方阵 A 的 n 个特征值为入 - 入 2, ，入 n, 则(1)石+耳十入+松口 * .卡占期；几二 XI 矩阵 A 属于不同特征值的特征向量线性无矢 ;5 )设a是矩阵A属于特征值 入的特征向量，贝 Ua是矩阵f ( A)属于特征值f (入)的特征向量，其中/ ( X) = ( T +吗”+?6)设入是可逆矩阵 A 的特征值 . 则入工 0，且是矩阵 / 的特征值 .特征值、特征向量的求法二

12、、相似矩阵相似矩阵的定义相似矩阵的性质1 ) 反身性，对称性，传递性 ;2）若方阵 A 与 B 相似，且 .硬点粥 J 札：亀?: %,trA 表不矩阵 A 的迹 E：A 与入爾,，入n为方阵A的n个特征值；但不一定j 有相同的特征值，但 A3）若方阵 A 与 但不一定j 有相同的特征值，但 AA注意：反之，若 A 与 B 有相同的特征值， A 与 B 不一定相似；例如与 B 不相似 .方阵A的对角化问题入n是方阵A的1） n阶方阵A能与对角阵相似的充分必要条件是A有n个线性无矢的特征向量；设 入-入2,n个特征值，Pi, P2Pn依次是方阵A的属于特征值入1,入2,，入n的n个线性无尖的特征

13、向量诺令PaP1 Pl 贝! Io? o4BL PXAP =4BL 0 兀2）若方阵A有n个不同的特征值（即特征方程无重根），则A必能与对角阵相似 ？（这是A能与对角阵相似的充+ a + +a“.iiHi分条件，不是必要条件）单位向量向积的定义：设2向量的长度量的内积和正交区忆车A正交向量组的定义及其性质施密特正交化手续正交矩阵1）正交矩阵的定义；如果 n阶方阵A满足AA二E,则称它为正交阵2） 正交矩阵的性质：设方阵 A为正交阵，则|A|二士 1; A必可逆，且A二如果A, B都是n阶正交阵，则AB也是正交阵；A是正交阵的充分必要条件是 A的列（行）向量组构成口的标准正交基四实对称矩阵1 ?

14、实对称矩阵的特征值都是实数；实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交；实对称矩阵必能与对角阵相似，且存在正交阵P,使得P1AP为对角形.任给实对称阵A,如何求出正交阵P,使得P1AP为对角形？第六章实二次型、二次型及其矩阵表示、矩阵的合同三、用正交变换化二次型为标准形1）定理对任意实二次型 ? “ ，总存在正交变换 x=Py, 使得该二次型化为标准型其中入1,入2,，入n为实对称矩阵 A的n个特征值.此定理说明：对任意实对称矩阵A,总存在正交阵P,使得其中入X入2,，入n为实对称矩阵A的n彳、特征值？（即实对称矩阵A必能与对角阵 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark32 o Current Document I 九0 00爲 3 0?I W M A. 00 忑合同？2）要掌握用正交变换化二次型为标准形的方法配方法化二次型为标准形？惯性定律正定二次型与正定矩阵1 ）定义 2 ）二次型正定（方阵正定）