期望与方差的性质

1、期望与方差的性质第1页，共34页，2022年，5月20日，2点6分，星期四2性质 4 的逆命题不成立，即若E (X Y) = E(X)E(Y)，X ,Y 不一定相互独立.反例X Y pij-1 0 1-1 0 10p jpi注第2页，共34页，2022年，5月20日，2点6分，星期四3X Y P -1 0 1但第3页，共34页，2022年，5月20日，2点6分，星期四4若X 0，且EX 存在，则EX 0。推论: 若 X Y，则 EX EY。证明：设 X 为连续型，密度函数为f (x), 则由X 0 得：所以证明：由已知 Y - X0，则 E(Y - X) 0。而E(Y - X) = E(Y)-

2、E(X), 所以，E(X) E(Y)。第4页，共34页，2022年，5月20日，2点6分，星期四5性质2和3性质4例1.设 XN(10,4)，YU1,5，且X与Y相互独立，求 E(3X2XYY5)。 解：由已知， 有 E(X)10, E(Y)3.第5页，共34页，2022年，5月20日，2点6分，星期四6例2.(二项分布 B(n,p) 设单次实验成功的概率是 p，问n次独立重复试验中，期望几次成功？解: 引入则 X X1+ X2 + Xn 是n次试验中的成功次数。因此，这里， XB(n,p)。第6页，共34页，2022年，5月20日，2点6分，星期四7例3.将4 个可区分的球随机地放入4个盒子

3、中,每盒容纳的球数无限,求空着的盒子数的数学期望. 解一:设 X 为空着的盒子数, 则 X 的概率分布为X P0 1 2 3第7页，共34页，2022年，5月20日，2点6分，星期四8解二: 再引入 X i , i = 1,2,3,4.Xi P 1 0第8页，共34页，2022年，5月20日，2点6分，星期四9例4.将n个球放入M个盒子中,设每个球落入各个盒子是等可能的,求有球的盒子数X的期望。解:引入随机变量:则 X=X1+X2+XM , 于是 E(X) = E(X1)+E(X2)+ +E(XM) . 每个随机变量Xi 都服从两点分布,i =1,2,M.第9页，共34页，2022年，5月20

4、日，2点6分，星期四10因为每个球落入每个盒子是等可能的均为1/M,所以，对第i个盒子,没有一个球落入这个盒子内的概率为(1-1/M).故，n个球都不落入这个盒子内的概率为(1-1/M)n ,即:第10页，共34页，2022年，5月20日，2点6分，星期四11注：129页4.27以此题为模型。第11页，共34页，2022年，5月20日，2点6分，星期四12例5.用某台机器生产某种产品，已知正品率随着该机器所用次数的增加而指数下降，即P第k次生产出的产品是正品=假设每次生产100件产品，试求这台机器前10次生产中平均生产的正品总数。解：设X是前10次生产的产品中的正品数，并设第12页，共34页，

5、2022年，5月20日，2点6分，星期四13例5.（续）第13页，共34页，2022年，5月20日，2点6分，星期四14例6. 某厂家的自动生产线， 生产一件正品的概率为 p (0p1)，生产一件次品的概率为q=1-p。生产一件产品的成本为c元，正品的价格为s元，次品不能出售。这样，厂家生产一件正品获利sc元， 生产一件次品亏损c元（假定每个产品的生产过程是相互独立的）。 若生产了N件产品，问厂家所获利润的期望值是多少？第14页，共34页，2022年，5月20日，2点6分，星期四15解：设第j个产品的利润则 为N件产品的总利润。Yj-cs-cPqp由已知第15页，共34页，2022年，5月20

6、日，2点6分，星期四16 前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均，是随机变量的一个重要的数字特征. 但是在一些场合，仅仅知道随机变量取值的平均是不够的.4.2 随机变量的方差第16页，共34页，2022年，5月20日，2点6分，星期四17例如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮因为乙炮的弹着点较集中在中心附近，所以乙炮的射击效果好. 中心中心第17页，共34页，2022年，5月20日，2点6分，星期四18 为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度.这个数

7、字特征就是我们下面要介绍的方差第18页，共34页，2022年，5月20日，2点6分，星期四19设随机变量X的数学期望为E(X), 若E(X-E(X)2存在, 则称它为X 的方差（此时，也称X的方差存在)，记为Var(X) 或D(X) , 即定义称Var(X) 的算术平方根 为X的标准差或均方差，记为 (X). A. 方差的概念Var (X)=E(X-E(X)2第19页，共34页，2022年，5月20日，2点6分，星期四20若X的取值比较分散，则方差较大.刻划了随机变量的取值相对于其数学期望的离散程度。若X的取值比较集中，则方差较小；Var(X)=EX-E(X)2 方差第20页，共34页，202

8、2年，5月20日，2点6分，星期四21注意： 1) Var(X)0，即方差是一个非负实数。2）当X 服从某分布时，我们也称某分布的方差为Var(X)。方差是刻划随机变量取值的分散程度的一个特征。第21页，共34页，2022年，5月20日，2点6分，星期四22方差的计算公式(1)若 X 为离散型，概率分布为(2)若 X 为连续型，概率密度为 f (x), 则则第22页，共34页，2022年，5月20日，2点6分，星期四23方差的计算公式常用的公式：证明:第23页，共34页，2022年，5月20日，2点6分，星期四24 常见随机变量的方差 (1) 参数为p 的 01分布 概率分布为：前面已经计算过

9、：E(X)=p，又所以第24页，共34页，2022年，5月20日，2点6分，星期四25 概率分布为： 已计算过：E(X)=np，又 所以 (2)二项分布B(n, p)第25页，共34页，2022年，5月20日，2点6分，星期四26 概率分布为： 已计算过：E(X)=，又 所以 (3)泊松分布P()第26页，共34页，2022年，5月20日，2点6分，星期四27 概率密度为： 已计算过：E(X)=(a+b)/2，又 所以 (4)区间a,b上的均匀分布Ua,b第27页，共34页，2022年，5月20日，2点6分，星期四28 概率密度为： 已计算过：E(X)=1/，又 所以 (5) 指数分布E()第28页，共34页，2022年，5月20日，2点6分，星期四29 概率密度为： 已计算过：E(X) = ，所以 (6) 正态分布N(, 2)第29页，共34页，2022年，5月20日，2点6分，星期四30例7. 设求 E (Y ), D(Y ).解:第30页，共34页，2022年，5月20日，2点6分，星期四31第31页，共34页，2022年，5月20日，2点6分，星期四32例8. 已知 X 的密度函数为其中 A，B 是常数，且 E( X) = 0.5. 求