线性代数复习典型例题市公开课金奖市赛课一等奖课件

1、线 性 代 数1第1页例12解2第2页注：(1) (2)3第3页计算 n 阶行列式解将第 列都加到第一列上,得 例74第4页特征1：对于全部行（列）元素相加后相等行列式，可把第2行至n行加到第一行（列），提取公因子后在简化计算。5第5页爪形行列式 例8特征2：第一行，第一列及对角线元素除外，其余元素全为零行列式称为爪型行列式。6第6页范德蒙德(Vandermonde)行列式 例9从最终一行开始,每行减去上一行 倍.7第7页按最终一列展开再提取每列公因子8第8页9第9页10第10页例5证实 A 和 A+2E 都可逆 , 并求其逆.设方阵 A 满足证11第11页例6设 A , B 和 A+B 均可

2、逆 , 证实 也可逆,并求其逆.证12第12页例7设A为3阶方阵 , ,求解13第13页设 即有初等矩阵 使得问作一次行变换再作一次行变换继续考虑对 作行变换求逆矩阵初等变换法14第14页解矩阵方程解例1215第15页16第16页17第17页证例818第18页(5) 设 A 是 n 阶方阵 其中 都是方阵,则称A为分块对角矩阵.19第19页例1时， 有没有穷多解。 ， 时， 无解。 ， 时， 有没有穷多解。问 a , b 为何值时, 方程组有解, 无解。解 ：20第20页例5解：系数矩阵是方阵首选行列式法问 为何值时，方程组有唯一解，无解，无穷多解。有没有穷多解时，求通解。21第21页分析：当

3、 时有唯一解，当 时，此时系数矩阵中参数已确定，方程组可能无解，也可能有没有穷多解，这取决于右端项。再用初等行变换法加以判别。当 时，方程组有唯一解。当 时当 时， ，方程组无解。 当 时， ，方程组有没有穷多解。22第22页通解为23第23页向量 可由向量组 线性表示存在数 使即有解学会这种转换就能够了!注意:符号混用另外, 假如解唯一, 则表示方法是唯一. 假如 (按定义)(转换为方程组)(用矩阵秩)方程组定理3.1.124第24页存在不全为零数 使即有非零解.还是转换！转换线性无关向量组线性相关(按定义)(转化为方程组)齐次方程组(用矩阵秩)把向量组排成矩阵，假如矩阵秩等于向量个数就线性

4、无关，不然假如矩阵秩小于向量个数就线性相关。定理3.2.3证实向量组线性相关性基本方法（向量方程）25第25页(7)含有n个向量n元向量组线性相关（无关）P101推论2由它组成n阶矩阵行列式t 取何值时,以下向量组线性相关 ?解记当 t = 5 时, 上面向量组线性相关.例426第26页设 线性无关, 问 满足什么条件, 线性相关.向量组: 分析:这是一个向量组表示另一向量组问题, 就是矩阵乘法关系。P104则例627第27页设(要讨论上面方程组何时有非零解)(由 )28第28页线性相关29第29页另证:因为 是列满秩矩阵, 故线性相关上面秩 3殊途同归30第30页例7主要结论设向量组 能由向

5、量组线性表示为且A组线性无关。证实B组线性无关充要条件是证法一(适合用于普通线性空间)设31第31页例3求向量一个最大无关组,并把其余向量用该最大无关组表出.矩阵秩=?线性无关吗?是最大无关组吗?阅读书P109例332第32页33第33页是右边最大无关组是左边最大无关组总结矩阵行初等变换不改变矩阵列向量组线性关系。引理234第34页定理3.3.2 注: 以前我们把向量组与它们排成矩阵符号混用，而且把它们秩符号也混用正是因为三秩相等这个原因。但对于无限向量组符号就不能混用了。向量组秩与矩阵秩关系三秩相等定理35第35页证(以前证过)例2证实齐次方程组解集是一个向量空间. 以后称为齐次方程组解空间

6、.36第36页定义设 是一向量组, 称为由该向量组生成(或张成)向量空间.记为 尤其地, 由矩阵 A 列向量生成向量空间称为 A列空间(或称像空间或称值域).记为R(A)37第37页六、正交矩阵定义正交矩阵.A 是正交矩阵定理A 列组是规范正交组A 行组是规范正交组38第38页非齐次方程组解存在性定理定理4.1.1对于非齐次方程组(4-1) 向量 可由A列向量组线性表示。39第39页定理4.1.3对于齐次方程组(1)A列向量组线性无关(2)A列向量组线性相关推论1当方程个数m小于未知量个数n，则(4-3)必有非零解。40第40页例3证实设 , 首先证实利用这一结论证主要结论41第41页例4求一个齐次方程组, 使它基础解系为记之为 AB=O ,这相当于要解矩阵方程, 习惯把未知 A 放在右边, 转置,只需解然后再把这些解拼成 列( A 行)即可. 解 得基础解系设所求齐次方程组为 , 则取即可.解42第42页例7设四元非齐次线性方程组系数矩阵秩为3,已知 是它三个解向量, 且求该方程组通解.解取 , 则它就是解,从而也是基础解系.基础解系所含向量个数 = 4 3 = 1故非齐次方