浮点数的运算方法

1、浮点数的运算方法第1页，共16页，2022年，5月20日，12点32分，星期四浮点数在计算机内的格式浮点数: X = MS ES Em-1 .E2 E1 M-1M-2.M-n 符号位 阶码位 尾数数码位 总位数 短浮点数: 1 8 23 32长浮点数: 1 11 52 64 临时浮点数: 1 15 64 80IEEE 标准：阶码用移码，基为2；尾数用原码X = MX * 2EX浮点数的阶码的位数决定数的表示范围， 尾数的位数决定数的有效精度。第2页，共16页，2022年，5月20日，12点32分，星期四浮点数在计算机内的格式浮点数: X = M E E .E E M M .M ssm-110-

2、1-2-nIEEE 标准：尾数用原码X = MX * 2EX 浮点数是数学中实数的子集合，由一个纯小数乘上一个指数值来组成。在计算机内，其纯小数部分被称为浮点数的尾数，对非 0 值的浮点数，要求尾数的绝对值必须 = 1/2，称满足这种表示要求的浮点数为规格化表示； 把不满足这一表示要求的尾数，变成满足这一要求的尾数的操作过程，叫作浮点数的规格化处理，通过尾数移位和修改阶码实现。第3页，共16页，2022年，5月20日，12点32分，星期四浮点数在计算机内的格式浮点数: X = M E E .E E M M .M ssm-110-1-2-nIEEE 标准：尾数用原码X = MX * 2EX 按国

3、际电子电气工程师协会规定的标准，浮点数的尾数要用原码表示，即符号位 Ms: 0 表示正，1 表示负，且非 0 值尾数数值的最高位 M-1 必为 1, 才能满足浮点数规格化表示的要求； 既然非 0 值浮点数的尾数数值最高位必定为 1，则在保存浮点数到内存前，通过尾数右移, 强行把该位去掉, 用同样多的尾数位就能多存一位二进制数，有利于提高数据表示精度，称这种处理方案使用了隐藏位技术。 当然，在取回这样的浮点数到运算器执行运算时，必须先恢复该隐藏位。第4页，共16页，2022年，5月20日，12点32分，星期四浮点数在计算机内的格式X = Ms Es Em-1 .E1 E0 M-1 M-2 .M-

4、n IEEE 标准：阶码用移码，基为2X = MX * 2EX 按国际电子电气工程师协会规定的国际通用标准，浮点数的阶码用整数给出，并且要用移码表示，用作为以 2为底的指数的幂。既然该指数的底一定为 2 ，可以不必在浮点数的格式中明确表示出来， 只需给出阶码的幂值即可。 移码表示只用于表示整数，只用在浮点数的阶码部分，其定义类似于整数的补码定义，差别在符号位。 移码的符号位是 0 表示负，1 表示正，与补码的符号位正好相反，移码是指机器数在数轴上有个移位关系； 移码的数值位则与补码的数值位完全相同。第5页，共16页，2022年，5月20日，12点32分，星期四浮点数格式：关于移码的知识浮点数:

5、 X = M E E .E E M M .M ssm-110-1-2-nX = MX * 2EX移码表示只用于表示整数，只用在浮点数的阶码部分。一位符号位和 n 位数值位组成的移码, 其定义为；E移 = 2n + E -2n=E2n 表示范围： 00000000 111111110负数正数机器数X补 =X 0 X 2n 2n+1 + X -2n X 0第6页，共16页，2022年，5月20日，12点32分，星期四浮点数格式：关于移码的知识一位符号位和 n 位数值位组成的移码, 其定义为；E移 = 2n + E -2n=E2n 表示范围： 00000000 11111111 负数 正数 机器数0

6、 移码只执行二数的加减运算与增 1、 减 1 操作。加减运算时，符号位计算结果求反后, 才是加减运算的正确符号位的值。注意:当用双符号位时，00代表负，01代表正，而不是11代表正 8 位的阶码能表示-128+127，当阶码为-128时，其补码表示为 00000000，该浮点数的绝对值2-128,人们规定此浮点数的值为零，若尾数不为 0 就清其为 0，并特称此值为机器零。8 位移码表示的机器数为数的真值在数轴上向右平移了 128 个位置-128+127第7页，共16页，2022年，5月20日，12点32分，星期四浮点数在计算机内的格式浮点数: X = M E E .E E M M .M ssm

7、-110-1-2-nIEEE 标准：阶码用移码，基为2；尾数用原码X = MX * 2EX阶码用移码，尾数用原码表示浮点数的好处：(1) 机器零为浮点数的所有各位均为零； (2) 二浮点数比大小时，可不必区分阶码位 和数据位，可视同比二定点小数一样对待第8页，共16页，2022年，5月20日，12点32分，星期四浮点数算术运算（1）对阶操作，求阶差： E= EX -EY， 使阶码小的数的尾数右移E位， 其阶码取大的阶码值；（2）尾数加减；（3）规格化处理；（4）舍入操作，可能带来又一次规格化；（5）判结果的正确性，即检查阶码上下溢出EXX = MX * 2 EYY = MY * 2 浮点数加减

8、运算第9页，共16页，2022年，5月20日，12点32分，星期四浮点数加运算举例X=2010*0.11011011， Y=2100*（-0.10101100）写出X、Y的正确的浮点数表示： 阶码用 4 位移码 尾数用 9 位原码 （含符号位 ） （含符号位 ） X浮 = 0 1010 11011011 Y浮 = 1 1100 10101100为运算方便，尾数写成模 4 补码形式： MX补= 00 11011011 MY补= 11 01010100 第10页，共16页，2022年，5月20日，12点32分，星期四浮点数加运算举例 X=2010*0.11011011， Y=2100*（-0.10

9、101100）（1）计算阶差： E = EX -EY= EX +(-EY) = 1 010 + 0 100 = 0 110 注意：阶码计算结果的符号位在此变了一次反，结果为 -2 的 移码，是X的阶码值小，使其取 Y 的阶码值1100（即 +4）； 因此，修改 MX补 =00 0011011011（即右移 2 位）（2）尾数求和：00 0011011011 + 11 01010100 11 1000101011第11页，共16页，2022年，5月20日，12点32分，星期四浮点数加运算举例 X=2010*0.11011011， Y=2100*（-0.10101100）（3）规格化处理： 相加结

10、果的符号位与数值的最高位同值，应执行一次左规操作,故得 MX补 = 1 000101011，EX移 = 1 011（4）舍入处理：采用 0 舍 1 入方案，要入，在最低位加 1 11 00010101 + 00 00000001 11 00010110 （其原码表示为 1 11101010） （5）检查溢出否：和的阶码为 1011，不溢出计算后的 X移 = 1 1011 11101010 ，即 23*(-0.11101010)第12页，共16页，2022年，5月20日，12点32分，星期四浮点数算术运算(1) 阶码加、减：乘：EX+EY ，除：EX- EY(2) 尾数乘、除：乘：EX*EY ，

11、 除：EX / EY(3) 规格化处理；(4) 舍入操作，可能带来又一次规格化；(5) 判结果的正确性，即检查阶码上下溢出EXX = MX * 2 EYY = MY * 2 浮点数乘除运算第13页，共16页，2022年，5月20日，12点32分，星期四浮点数乘法运算举例 X=2010*0.1011， Y=2100*（-0.1101）写出X、Y的正确的浮点数表示： 阶码用 4 位移码 尾数用 9 位原码 （含符号位 ） （含符号位 ） X浮 = 0 1010 1011 Y浮 = 1 1100 1101第14页，共16页，2022年，5月20日，12点32分，星期四浮点数乘运算举例 X=2010*

12、0.1011， Y=2100*（-0.1101） （1）阶码相加： 积的阶码 = EX + EY = 1 010 + 1 100 = 1 110 注意：计算结果的阶码符号位在此变了一次反， 结果为 +6 的 移码 （2）尾数相乘：MX*MY = 0.1011*(-0.1101) = -0.10001111 (3) (4) (5) 已是规格化数, 不必舍入, 也不溢出 最众乘积 MX移 = 1 1110 10001111， 即 26 * （-0.10001111）第15页，共16页，2022年，5月20日，12点32分，星期四浮点数除运算举例 X=2010*0.1011， Y=2100*（-0.1101） （1）阶码相减： 积的阶码 = EX - EY = EX + (-EY) = 1 01