分类计数原理加法原理分步计数原理乘法原理000001课件

1、 分类计数原理(加法原理）分步计数原理(乘法原理） 问题1. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车。一天中，火车有3班, 汽车有2班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?设问1： 从甲地到乙地按交通工具可分_类方法?第一类方法, 乘火车，有_ 种方法;第二类方法, 乘汽车，有_ 种方法; 从甲地到乙地共有 3+ 2 = 5 种方法设问2：每类方法中的每种一方法有什么特征？只能属于某一类，并能单独完成从甲地到乙地的目的！232甲乙火车1火车2火车3汽车1汽车2 做一件事情，完成它可以有 n 类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法，在第

2、 n 类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有 N=m1+m2+mn种不同的方法。分类计数原理也称加法原理分类计数原理：使用分类计数原理中的“分类”要注意：1.标准必须一致,而且全面、不重不漏！“类”与“类”之间是并列的、互斥的、独立的 即：它们两两的交集为空集！每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成2.3. 做一件事情，完成它需要分成 n个步骤，做第一步有m1 种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n 步有mn 种不同的方法，那么完成这件事有 N=m1m2mn种不同的方法。分步计数原理分步计数原理也称乘法原理使用分步计数原理中的“分步”程序要标准必须一致、正确。“

3、步”与“步”之间是连续的,不间断的,缺一不可;但也不能重复、交叉若完成某件事情需n步,每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分且必须依次完成这n个步骤后,这件事情才算完成1.2.3. 例题 1. 某班级有男三好学生5人,女三好学生4人。 (1)从中任选一人去领奖, 有多少种不同的选法？ (2) 从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有多少种不同的选法？分析: (1) 完成从三好学生中任选一人去领奖这件事,可按_划分，有_（ 类?步？）办法。第一类办法, 从男三好学生中任选一人, 共有_ 种不同的方法第二类办法, 从女三好学生中任选一人, 共有 _ 种不同的方法 由分类计数原理, 得到不同

4、选法种数共有 N = 5 + 4 = 9 种542性别分类记数原理与分步记数原理的区别： 如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事，则选用分类记数原理，即类与类之间是相互独立的，即分类完成。 如果只有当n个步骤都作完，这件事才能完成，则选用分步记数原理，即步与步之间是相互依存的，连续的，即“分步完成”。练习：1、现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名。 （1）从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？ （2）从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动有多少种不同的选法？ （3）选不同年级的学生两名参加接待外宾的活动有多少种不同的选法？1、现有高一年级的

5、学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名。 （1）从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？分析： 完成这件事可以有三类方法，所以用分类记数原理；解：（1）由分类记数原理知有3+4+5=12种选法1、现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名。 （2）从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动有多少种不同的选法？分析： 完成这件事，必须分成三步：选一位高一年级学生，选一位高二年级学生，选一位高三年级学生，此三步缺一不可，所以用分步记数原理；解：（2）由分步记数原理知有345=60种选法1、现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名。

6、（3）选不同年级的学生两名参加接待外宾的活动有多少种不同的选法？分析： 完成这件事，可以取“高一、高二”，“高二、高三”，“高三、高一”，所以先分类再分步。解：（3）有35+54+34=47种练习：1、现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名。 （1）从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？ （2）从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动有多少种不同的选法？ （3）选不同年级的学生两名参加接待外宾的活动有多少种不同的选法？解：（1）由分类记数原理知有3+4+5=12种选法（2）由分步记数原理知有345=60种选法（3）有35+54+34=47种3、有不同的

7、中文书9本，不同的英文书7本，不同 的日文书5本，从其中取出不是同一国文字的书 2本，问有多少种不同的取法？解：取出不是同一国文字的书2本，可以分为三类：中英、中日、英日，而每一类中又都可分两步来取，因此有N=97+75+95=143种不同的取法。4、用1，5，9，13中任意一个数作分子，4，8，12， 16中任意一个作分母，可构造多少个不同的分数？ 可构造多少个不同的真分数？解：由分步记数原理得可构造44=16个不同的分数；要构造真分数则分类进行， 分子为1，分母可为4，8，12，16，有4种；分子为5，分母可为8，12，16，有3种；分子为9，分母可为12，16，有2种；分子为13，分母可

8、为16，有1种；所以可构造4+3+2+1=10种真分数。6、（1）某中学的一幢6层教学楼共有4处楼梯，问 从1楼到6楼共有_种不同的走法？（2）3个班分别从5个风景点中选择1处游览， 不同选法的种数是35还是53？_4553（3）4名同学分别报名参加学校的足球队、篮 球队、乒乓球队，每人限报其中的1个运动 队，不同报名方法的种数是34还是43？_34分析：（1）从一楼到六楼五层有楼梯，每一层有四种走法，由分步记数原理知共有44444=45种走法。（2）先由1班选择，有5种选法；再由2班选择亦有5种方法；最后由三班选也有5种 方法，由分步记数原理可知有555=53种选法；（3）同（1）、（2），

9、每位同学都有3种选择，由分步记数原理知有3333=34种方法。 7、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？红红蓝黄蓝黄蓝黄黄红红蓝A区:3种B区：2种C区：1种D区：1种红蓝黄红蓝红蓝黄黄红黄蓝解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成第一步, 填涂A区域： m1 = 3 种,第二步,填涂B区：m2 = 2 种,第四步,填涂剩下的最后一个区域：m3 = 1 种,所以根据分步计数原理, 得到不同的涂色方案种数共有 N = 3 2 11= 6 种。第三步,填涂C区：m2 = 1 种, 请同学们回答下面的问题 :何时用分类计数原理、分步计数原理里呢? 答: 完成一件事情有n类方法,若每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成,则计算完成这件事情的方法总数用 _分类计数原理。分步计数原理 完成一件事情有n个步骤,若每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完成互相独立的这n步后,才能完成这件事,则计算完成这件事的方法总数用_ 请同学们回答下面的问题 :1. 本节课学习了那些主要内容？ 答: 分类计数原理和分步计数原理。 2.分类计数原理和分步计数原理的共同点是什么？不同点什么