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文档简介

1、第二节 数列的极限一、 数列极限的定义二、 收敛数列的性质返回一、数列极限的定义割圆术： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽概念的引入正六边形的面积正十二边形的面积正 形的面积数列的概念定义:如果按照某一法则,对每个 ,对应着一个确定的实数 ,这些实数 按照下标n从小到大排列得到的一个序列就叫做数列,简记为数列 . 数列中的每一个数叫做数列的项，第n项 叫做数列的一般项.例如问题:当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.通过观察:当n无限增大时,无限接近于1.数列的极限观察数列

2、当时的变化趋势.几何解释:当 时,所有的点 都落在开区间 ,只有有限个(至多只有N个)落在这区间以外.其中任给的或每一个;存在或至少有一个.定义:使 时,恒有数列极限的定义未给出求极限的方法.定义注意：证例1证明数列的极限是1.为了使小于任意给定的正数只要或所以,则当 时,就有即例2 已知 , 证明数列 的极限是0.证:(设 ),只要或不等式 必定成立.所以,取则当 时,就有即小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N,但不必要求最小的N.证(设 ),例3 设证明等比数列的极限是0.要使只要取自然对数,得取则当 时,就有即返回二、 收敛数列的性质定理1(极限的唯一性) 如果数列 收敛

3、,那么它的极限唯一.故收敛数列极限唯一.证 用反证法.假设同时有且由定义,取取使得当 时,恒有(2)当 时,恒有(3)当 时, (2)式及(3)式会同时成立.但由(2)式有 由(3)式有这是不可能的.例4证明数列是发散的.证如果这数列收敛,根据定理1它有唯一的极限.设由数列极限的定义,对于则当 时,成立;即当 时,都在开区间内.因此这数列发散.但这是不可能的, 因为 时,无休止地一再重复取得1和-1这两个数,而这两个数不可能同时属于长度为1的开区间 内.证注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论 无界数列必定发散.由定义,对于则使得当 时恒有于是, 当 时,取故数列 是有界的.证 就 的情形证明. 由数列极限的定义, 对当 时, 有从而定理3(收敛数列的保号性) 如果 ,且(或 ),那么存在正整数 ,当 时,都有 (或 ).子数列的收敛性注意：例如，所谓子数列是指：数列中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列xn中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列xn的子数列（或子列）.在子数列 中，一般项 是第 项，而 在原数列 中却是第 项，显然， 定理4(收敛数列与子数列间的关系）如果数列xn收敛于a，那末它任一子数列也收敛,且极限也是a.证毕证 设

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