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文档简介
1、2023学年高考数学模拟测试卷注意事项:1答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1抛掷一枚质地均匀的硬币,每次正反面出现的概率相同,连续抛掷5次,至少连续出现3次正面朝上的概率是( )ABCD2陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一,但陀螺这个名词,直到明朝刘侗、于奕正合撰
2、的帝京景物略一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1,粗线画出的是一个陀螺模型的三视图,则该陀螺模型的表面积为( )ABCD3已知向量满足,且与的夹角为,则( )ABCD4在中,已知,为线段上的一点,且,则的最小值为( )ABCD5设为锐角,若,则的值为( )AB C D6过直线上一点作圆的两条切线,为切点,当直线,关于直线对称时,( )ABCD7等差数列中,已知,且,则数列的前项和中最小的是( )A或BCD8已知三棱柱的所有棱长均相等,侧棱平面,过作平面与平行,设平面与平面的交线为,记直线与直线所成锐角分别为,则这三个角的大小关系为( )ABCD9已知函数的零点为m,若存在实
3、数n使且,则实数a的取值范围是( )ABCD10已知,则,的大小关系为( )ABCD11函数的图象可能是( )ABCD12已知数列为等差数列,为其前 项和,则( )ABCD二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13已知,复数且(为虚数单位),则_,_14若函数为偶函数,则_.15已知抛物线,点为抛物线上一动点,过点作圆的切线,切点分别为,则线段长度的取值范围为_.16如果抛物线上一点到准线的距离是6,那么_.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)已知函数,将的图象向左移个单位,得到函数的图象.(1)若,求的单调区间;(2)若,的一条对称轴是,求在
4、的值域.18(12分)设数列的前列项和为,已知.(1)求数列的通项公式;(2)求证:.19(12分)以平面直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,且在两种坐标系中取相同的长度单位,建立极坐标系,已知曲线,曲线(为参数),求曲线交点的直角坐标.20(12分)已知函数()若,求曲线在点处的切线方程;()若在上恒成立,求实数的取值范围;()若数列的前项和,求证:数列的前项和.21(12分)已知数列的前项和为,且点在函数的图像上;(1)求数列的通项公式;(2)设数列满足:,求的通项公式;(3)在第(2)问的条件下,若对于任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围;22(10分)已知不等式对于任意的恒成立
5、.(1)求实数m的取值范围;(2)若m的最大值为M,且正实数a,b,c满足.求证.2023学年模拟测试卷参考答案(含详细解析)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【答案解析】首先求出样本空间样本点为个,再利用分类计数原理求出三个正面向上为连续的3个“1”的样本点个数,再求出重复数量,可得事件的样本点数,根据古典概型的概率计算公式即可求解.【题目详解】样本空间样本点为个, 具体分析如下:记正面向上为1,反面向上为0,三个正面向上为连续的3个“1”,有以下3种位置1_ _,_1_,_ _1剩下2个空位可是0或1,这三种排列的所
6、有可能分别都是,但合并计算时会有重复,重复数量为,事件的样本点数为:个故不同的样本点数为8个,.故选:A【答案点睛】本题考查了分类计数原理与分步计数原理,古典概型的概率计算公式,属于基础题2、C【答案解析】根据三视图可知,该几何体是由两个圆锥和一个圆柱构成,由此计算出陀螺的表面积.【题目详解】最上面圆锥的母线长为,底面周长为,侧面积为,下面圆锥的母线长为,底面周长为,侧面积为,没被挡住的部分面积为,中间圆柱的侧面积为.故表面积为,故选C.【答案点睛】本小题主要考查中国古代数学文化,考查三视图还原为原图,考查几何体表面积的计算,属于基础题.3、A【答案解析】根据向量的运算法则展开后利用数量积的性
7、质即可.【题目详解】.故选:A.【答案点睛】本题主要考查数量积的运算,属于基础题.4、A【答案解析】在中,设,结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求,可得,再由已知条件求得,考虑建立以所在的直线为轴,以所在的直线为轴建立直角坐标系,根据已知条件结合向量的坐标运算求得,然后利用基本不等式可求得的最小值.【题目详解】在中,设,即,即,即,又,则,所以,解得,.以所在的直线为轴,以所在的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系,则、,为线段上的一点,则存在实数使得,设,则,消去得,所以,当且仅当时,等号成立,因此,的最小值为.故选:A.【答案点睛】本题是一道构思非常巧妙的试题,综合考查了三角形的内
8、角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题,解题的关键是理解是一个单位向量,从而可用、表示,建立、与参数的关系,解决本题的第二个关键点在于由,发现为定值,从而考虑利用基本不等式求解最小值,考查计算能力,属于难题.5、D【答案解析】用诱导公式和二倍角公式计算【题目详解】故选:D【答案点睛】本题考查诱导公式、余弦的二倍角公式,解题关键是找出已知角和未知角之间的联系6、C【答案解析】判断圆心与直线的关系,确定直线,关于直线对称的充要条件是与直线垂直,从而等于到直线的距离,由切线性质求出,得,从而得【题目详解】如图,设圆的圆心为,半径为,点不在直线上,要满足直线,关于直线对称,则必垂直于直线,
9、设,则,,故选:C【答案点睛】本题考查直线与圆的位置关系,考查直线的对称性,解题关键是由圆的两条切线关于直线对称,得出与直线垂直,从而得就是圆心到直线的距离,这样在直角三角形中可求得角7、C【答案解析】设公差为,则由题意可得,解得,可得.令,可得当时,当时,由此可得数列前项和中最小的.【题目详解】解:等差数列中,已知,且,设公差为,则,解得,.令,可得,故当时,当时,故数列前项和中最小的是.故选:C.【答案点睛】本题主要考查等差数列的性质,等差数列的通项公式的应用,属于中档题.8、B【答案解析】利用图形作出空间中两直线所成的角,然后利用余弦定理求解即可.【题目详解】如图,设为的中点,为的中点,
10、由图可知过且与平行的平面为平面,所以直线即为直线,由题易知,的补角,分别为,设三棱柱的棱长为2,在中,;在中,;在中,.故选:B【答案点睛】本题主要考查了空间中两直线所成角的计算,考查了学生的作图,用图能力,体现了学生直观想象的核心素养.9、D【答案解析】易知单调递增,由可得唯一零点,通过已知可求得,则问题转化为使方程在区间上有解,化简可得,借助对号函数即可解得实数a的取值范围.【题目详解】易知函数单调递增且有惟一的零点为,所以,问题转化为:使方程在区间上有解,即在区间上有解,而根据“对勾函数”可知函数在区间的值域为,.故选D【答案点睛】本题考查了函数的零点问题,考查了方程有解问题,分离参数法
11、及构造函数法的应用,考查了利用“对勾函数”求参数取值范围问题,难度较难.10、D【答案解析】构造函数,利用导数求得的单调区间,由此判断出的大小关系.【题目详解】依题意,得,.令,所以.所以函数在上单调递增,在上单调递减.所以,且,即,所以.故选:D.【答案点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间,考查化归与转化的数学思想方法,考查对数式比较大小,属于中档题.11、A【答案解析】先判断函数的奇偶性,以及该函数在区间上的函数值符号,结合排除法可得出正确选项.【题目详解】函数的定义域为,该函数为偶函数,排除B、D选项;当时,排除C选项.故选:A.【答案点睛】本题考查根据函数的解析式辨别函数的图象
12、,一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号,结合排除法得出结果,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.12、B【答案解析】利用等差数列的性质求出的值,然后利用等差数列求和公式以及等差中项的性质可求出的值.【题目详解】由等差数列的性质可得,.故选:B.【答案点睛】本题考查等差数列基本性质的应用,同时也考查了等差数列求和,考查计算能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、 【答案解析】复数且,故答案为,14、【答案解析】二次函数为偶函数说明一次项系数为0,求得参数,将代入表达式即可求解【题目详解】由为偶函数,知其一次项的系数为0,所以,所以,故答案
13、为:-5【答案点睛】本题考查由奇偶性求解参数,求函数值,属于基础题15、【答案解析】连接,易得,可得四边形的面积为,从而可得,进而求出的取值范围,可求得的范围.【题目详解】如图,连接,易得,所以四边形的面积为,且四边形的面积为三角形面积的两倍,所以,所以,当最小时,最小,设点,则,所以当时,则,当点的横坐标时,此时,因为随着的增大而增大,所以的取值范围为.故答案为:.【答案点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用,考查抛物线上的动点到定点的距离的求法,考查学生的计算求解能力,属于中档题.16、【答案解析】先求出抛物线的准线方程,然后根据点到准线的距离为6,列出,直接求出结果.【题目详解】抛物线的
14、准线方程为,由题意得,解得.点在抛物线上,故答案为:.【答案点睛】本小题主要考查抛物线的定义,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)增区间为,减区间为;(2).【答案解析】(1)由题意利用三角函数图象变换规律求得的解析式,然后利用余弦函数的单调性,得出结论;(2)由题意利用余弦函数的图象的对称性求得,再根据余弦函数的定义域和值域,得出结论【题目详解】由题意得(1)向左平移个单位得到,增区间:解不等式,解得,减区间:解不等式,解得.综上可得,的单调增区间为,减区间为;(2)由题易知,因为的一条对称轴是,所以,解得,.又因为,所以,即.因为,所以,则
15、,所以在的值域是.【答案点睛】本题主要考查三角函数图象变换规律,余弦函数图象的对称性,余弦函数的单调性和值域,属于中档题18、(1)(2)证明见解析【答案解析】(1)由已知可得,构造等比数列即可求出通项公式;(2)当时,由,可求,时,由,可证,验证时,不等式也成立,即可得证.【题目详解】(1)由可得,即,所以,解得,(2)当时,,当时,综上,由可得递增,时;所以,综上:故.【答案点睛】本题主要考查了递推数列求通项公式,利用放缩法证明不等式,涉及等比数列的求和公式,属于难题.19、【答案解析】利用极坐标方程与普通方程、参数方程间的互化公式化简即可.【题目详解】因为,所以,所以曲线的直角坐标方程为
16、.由,得,所以曲线的普通方程为.由,得,所以(舍),所以,所以曲线的交点坐标为.【答案点睛】本题考查极坐标方程与普通方程,参数方程与普通方程间的互化,考查学生的计算能力,是一道容易题.20、 ();();()证明见解析.【答案解析】试题分析:将,求出切线方程求导后讨论当时和时的单调性证明,求出实数的取值范围先求出、的通项公式,利用当时,得,下面证明:解析:()因为,所以,切点为.由,所以,所以曲线在处的切线方程为,即()由,令,则(当且仅当取等号).故在上为增函数.当时,,故在上为增函数,所以恒成立,故符合题意;当时,由于,根据零点存在定理,必存在,使得,由于在上为增函数,故当时,,故在上为减
17、函数, 所以当时,,故在上不恒成立,所以不符合题意.综上所述,实数的取值范围为(III)证明:由由()知当时,故当时, 故,故.下面证明:因为而,所以,即:点睛:本题考查了利用导数的几何意义求出参数及证明不等式成立,借助第二问的证明过程,利用导数的单调性证明数列的不等式,在求解的过程中还要求出数列的和,计算较为复杂,本题属于难题21、(1)(2)当n为偶数时,;当n为奇数时,.(3)【答案解析】(1)根据,讨论与两种情况,即可求得数列的通项公式;(2)由(1)利用递推公式及累加法,即可求得当n为奇数或偶数时的通项公式.也可利用数学归纳法,先猜想出通项公式,再用数学归纳法证明.(3)分类讨论,当
18、n为奇数或偶数时,分别求得的最大值,即可求得的取值范围.【题目详解】(1)由题意可知,.当时,当时,也满足上式.所以.(2)解法一:由(1)可知,即.当时,当时,所以,当时,当时,所以,当时,n为偶数当时,n为偶数所以以上个式子相加,得.又,所以当n为偶数时,.同理,当n为奇数时,所以,当n为奇数时,.解法二:猜测:当n为奇数时,.猜测:当n为偶数时,.以下用数学归纳法证明:,命题成立;假设当时,命题成立;当n为奇数时,当时,n为偶数,由得故,时,命题也成立.综上可知, 当n为奇数时同理,当n为偶数时,命题仍成立.(3)由(2)可知.当n为偶数时,所以随n的增大而减小从而当n为偶数时,的最大值是.当n为奇数时,所以随n的增大而增大,且.综上,的最大值是1.因此,若对于任意的,不等式恒成立,只需,故实数的取值范围是.【答案点睛】本题考查了累加法求数列通项公式的应用,分类讨论奇偶项的通项公式及求和方法,数学归纳法证明数列的应用,数列的单调性及参
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