理想气体压强公式的推导

1、理想气体压强公式的推导摘要：压强是热力学中描述平衡态下气体状态的一个重要力学参量。从理想气体的微观模型出发， 分析理想气体压强的产生原因，采用合理的统计方法，推导出理想气体的压强公式。在推导的过程 中，加强对统计概念及理想气体压强实质的认识。关键词：理想气体；统计方法；压强公式。1引言推导理想气体压强公式，首先要建立正确的理想气体微观模型；其次在理想气体微 观模型的基础上，分析理想气体对容器器壁的压强和理想气体内部压强的产生原因；最 后根据理想气体压强的产生原因，采用合理的统计方法推导理想气体的压强公式。2理想气体的微观模型及其压强的产生原因德国物理学家克劳修斯1857年提出了理想气体的微观模

2、型，即分子本身的线度比 起分子间的距离可以忽略不计；可以认为除碰撞的一瞬间外，分子之间及分子与容器器 壁之间都无相互作用；分子之间及分子与容器器壁之间的碰撞都是完全弹性的。根据理想气体的微观模型，我们可以把理想气体看为由大量分子所组成的热学系 统，粒子可近似地看作质点。理想气体施于容器器壁的压强是大量分子对器壁不断碰撞 的结果，而理想气体内部的压强是垂直于截面方向的热运动动量交换所引起的。并且理 想气体的微观模型认为平衡态下理想气体内的分子是均匀分布的，向各个方向运动的几 率是相等的，即具有混沌性。所以在此基础上我们就可以运用合理的统计方法对理想气 体的压强公式进行推导。3推导理想气体对容器器

3、壁的压强理想气体施于容器器壁的压强是大量分子对器壁不断碰撞的结果，在平衡态下，器 壁上各处的压强相等，其大小等于单位时间单位面积器壁所受的冲量。设在任意形状的容器中贮有一定量的理想气体，体积为V，共含有N数个分子，单 位体积内的分子数为n NV，每个分子的质量为m。建立直角坐标系xyz,在垂直于x 轴的器壁上任意取一小块面积dA （图1），来计算它所受的压强。XX一个速度分量为v的分子与容器器壁碰撞，容器器壁所受的冲量为2mv ；出时间 内，dA面积上，速度分量在v v + dv之间能与容器器壁碰撞的分子数为dN - f (v )dv -nv dAdt，这些分子对容器器壁的冲量为dI - 2m

4、v - f (v )dv - nv dAdt ； dtXXXXXXX时间内，dA面积上，速度分量在08之间能与容器器壁碰撞的分子对容器器壁的冲量麦克斯韦速度分布律I = j8 2mv -麦克斯韦速度分布律I = j8 2mv -f (v )dv - nv dAdt ,0XXXXf (v) =X)12e - mv 22 kT ,X ,单位时间，单位面积，容器器壁所受的冲量为p = ! dAdt速度平方的平均值(2)( 3)(4)联立，解得P = 1 nm2 = 2 n( 1 m3) 33(2)(3)(4)(5)4推导理想气体内部的压强因为理想气体内部的压强是垂直于截面方向的热运动动量交换所引起的

5、，所以在平 衡态下，理想气体内部的压强等于单位时间单位面积垂直于截面方向交换的热运动动 量。设想在处于平衡态的气体，任意取一个截面dA把气体分为A、B两部分，建立直角坐标系xyz,垂直于x轴任意取一小块面积dA (图2)，来计算它所受的压强。(6)(6)(7)(8)(4)2 - =ns3就A部来说，如果失去一个从左向右运动的速率为v的分子，为了保持热力学系统的平衡，就会获得一个从右向左运动的速率为v的分子，分子热运动动量应该变2mv， 动量该变的方向垂直于dA面指向A部；根据分子运动的无规则性做一种简单的假设: 分子等分成三队，分别平行x、y、z三轴运动，dt时间内，速率在v T v + dv

6、之间能通 过dA面的分子通过dA面，A、B交换的分子对数为dN = f (v认 nvdAdt，A部总的动 量改变量为dK = 2mv ! f (v)dv nvdAdt ； dt时间内，速率在0 8之间能通过dA面的分 6子通过dA面，A部总的动量改变量为K = j8 2mv 6 f G 认 nvdAdt ,麦克斯韦速率分布律/( ) /( m )3,2夕f vv)= 4kv2 -I -mv2 2kT ,2 兀kT )单位时间，单位面积，垂直于截面方向交换的热运动动量为p = 土， dAdt速度平方的平均值-3kTv 2 =,m(6)(7)(8)(4)联立，解得c 1 2 (1 )P = nmv

7、 2 = n mv 2 335小结以上分别推导出理想气体对容器器壁的压强和理想气体内部的压强均为p=3膈。 在推导过程中，充分地认识理想气体微观模型建立过程中把握的主要因素及忽略的次要 因素，并在此基础上选择合理的统计方法进行统计是整个推导过程的关键。例如推导理 想气体对容器器壁压强时，对I = M2mvf (v认 -nv dAdt积分时积分上下限为0 8， 这是因为根据理想气体的微观模型七 0的分子不会与dA相撞。再如推导理想气体内部 的压强时，为统计分子对数dN = 1 f (v认 nvdAdt根据分子运动的无规则性所做的假设，6即分子等分成三队，分别平行x、y、z三轴运动也是符合理想气体的微观模型的。所以 选择统计方法的过程，有助于我们认识不同统计方法的优劣，提高统计方法的运用能力， 加强对统计概念的理解。此外在上面讨论中我们没有考虑分子间碰撞而被折回的情况，但这并不影响结果， 就大量分子的统计效果来讲，有某分子因碰撞而改变运动方向，则必然有分子因碰撞而 替代它的作用。另外在推到理想气体压强公式的过程中，也加强了我们对理想气体压强实质的认 识。理想气体压强公式构建立了宏观状态参量P微观量n、；的关系，揭示了理想气体 压