概率论的发展史概述

1、概率论的进展史摘要：概率论是一门研究随机现象的数学规律的学科。它起源于十七世纪中叶，当时刺激数学家们首先考虑概率论的问题，却是来自赌博者的问题。费马、帕斯卡、惠更斯对那个问题进行了首先的研究与讨论，科尔莫戈罗夫等数学家对它进行了公理化。后来，由于社会和工程技术问题的需要，促使概率论不断进展，隶莫弗、拉普拉斯、高斯等闻名数学家对这方面内容进行了研究。进展到今天，概率论和以它作为基础的数理统计学科一起，在自然科学，社会科学，工程技术，军事科学及生产生活实际等诸多领域中起着不可替代的作用。关键词：概率论 公理化 随机现象 赌博问题 17世纪资本主义经济的进展和文艺复兴运动的兴起，给欧洲数学注入了新的

2、活力，欧洲数学家们开始往常所未有的热情投入到数学科学的研究中去。在这一个世纪里，他们不仅建立起了以解析几何和微积分为代表的变量数学，进一步研究现实世界中的必定现象及其规律，而且还开始了对偶然现象的研究，这确实是所谓的概率论。记得大数学家庞加莱讲过：“若想预见数学的今后，正确的方法是研究它的历史和现状。” 一、 概率论的起源概率论是一门研究随机现象的数学规律的学科。十分有味的是，如此一门重要的数学分支，难道起源于对赌博问题的研究。1653年的夏天，法国闻名的数学家、物理学家帕斯卡（Blaise Pascal,16231662）前往浦埃托镇度假，旅途中，他遇到了“赌坛老手”梅累。为了消除旅途的寂寞

3、，梅累向帕斯卡提出了一个十分有味的“分赌注”的问题。问题是如此的一次，梅累与其赌友赌掷骰子，每人押了32个金币，并事先约定：假如梅累先掷出三个6点，或其赌友先掷出三个4点，便算赢家。遗憾的是，这场赌注不算小的赌博并未能顺利结束。当梅累掷出两次6点，其赌友掷出一次4点时，梅累接到通知，要他立即陪同国王接见外宾。君命难违，但就此收回各自的赌注又不甘心，他们只好按照已有的成绩分取这64个金币。这下可把他难住了。因此，当他碰到大名鼎鼎的帕斯卡，就迫不及待地向他请教了。然而，梅累的貌似简单的问题，却真正难住他了。尽管通过了长时刻的探究，但他依旧无法解决那个问题。1654年左右，帕斯卡与费马在一系列通信中

4、讨论了类似的“合理分配赌金”的问题。该问题能够简化为：甲、乙两人同掷一枚硬币，规定：正面朝上，甲得一点；若反面朝上，乙得一点，先积满3点者赢取全部赌注。假定在甲得2点、乙得1点时，赌局由于某种缘故中止了，问应该如何样分配赌注才算公平合理。帕斯卡：若在掷一次，甲胜，甲获全部赌注，两种情况可能性相同，因此这两种情况平均一下，乙胜，甲、乙平分赌注。甲应得赌金的3/4，乙得赌金的1/4。费马：结束赌局至多还要2局，结果为四种等可能情况： 情况1234胜者甲甲甲乙乙甲乙乙前3种情况，甲获全部赌金，仅第四种情况，乙获全部赌注。因此甲分得赌金的3/4，乙得赌金的1/4。帕斯卡与费马用组合方法给出了正确解答。

5、尽管他们在解答中没有明确定义概念，然而，他们定义了使某赌徒取胜的机遇，也确实是赢得情况数与所有可能情况数的比，这实际上确实是概率，因此概率的进展被认为是从帕斯卡与费马开始的。后来他们还研究了更复杂的在多个赌徒间分赌注的问题。1655年，荷兰数学家惠更斯恰好也在巴黎，他了解到了帕斯卡与费马的工作详情之后，也饶有兴趣地参加了他们的讨论，讨论的情况与结果被惠更斯总结成关于赌博中的推断（1657年）一书，这是公认的有关或然数学的奠基之作。 二、 概率论的公理化俄国数学家伯恩斯坦和奥地利数学家冯米西斯(R.von Mises,1883-1953)对概率论的理论化做了最早的尝试，但它们提出的公理理论并不完

6、善。事实上，真正严格的公理化概率论只有在测度论和实变函数理论的基础才可能建立。这方面的先行者是法国数学家博雷尔(E.Borel,1781-1956)他首先将测度论方法引入概率论重要问题的研究，1909年他提出并在专门情形下解决了随机变量序列1，2，.，服从大数定律的条件问题。他的工作激起了数学家们沿这一崭新方向的一系列搜索。特不是原苏联数学家科尔莫戈罗夫的工作最为卓著。他在1926年推倒了弱大数定律成立的充分必要条件。后又对博雷尔提出的强大数定律问题给出了最一般的结果，从而解决了概率论的中心课题之一大数定律，成为以测度论为基础的概率论公理化的前奏。1933年，科尔莫戈罗夫出版了他的著作概率论基

7、础，这是概率论的一部经典性著作。在科尔莫戈罗夫的公理化理论中，关于域中的每一个事件，都有一个确定的非负实数与之对应，那个数就叫做该事件的概率。在那个地点，概率论的定义同样是抽象的，并不涉及频率或其他任何有具体背景的概念。他还提出了6条公理，之后的整个概率论大厦都能够从这6条公理开始建起。科尔莫戈罗夫的公理系也因此逐渐获得了数学家们的普遍承认。科尔莫戈罗夫是20世纪最杰出的数学家之一，他不仅仅是公理化概率论的建立者，在数学和力学的众多领域他都做出了开创或奠基性的贡献，同时，他依旧出色的教育家。他多次获得国际大奖，1965年，他把得到的国际巴桑奖金全数捐赠给学校图书馆，1980年他荣获沃尔夫奖。概

8、率论的公理化，使其成为了一门严格的演绎科学，取得了与其他数学分支同等的地位，并通过集合论与其他数学分支紧密地联系着。 三、 概率论的进一步进展 概率论本质上是研究随机现象的一门科学。这类现象与必定科学截然不同，他的条件与结果之间并不存在某种必定的联系，也确实是讲，在相同的条件下，可能会发生某一结果，也可能不发生这一结果。例如投掷一枚硬币，既可能正面朝上，也可能反面朝上。然而，这并不意味着就不能用数量来描述和研究它们。投掷硬币，投掷一次大概没有什么规律性可言，但当它们大量出现时，在总体上却会呈现出某种规律，我们就称这种总体上的规律性为统计规律性，它的存在构成了或然数学研究的基础。关于概率论方法的

9、讨论最初是由帕斯卡和费马二人以通信的形式展开的。它们尽管没有提出明确的概念定义，但他们在可能赌徒获胜的可能性时，总是利用有利情形数与所有可能数之比来做，这实质上确实是早期古典概率的概念。他们会同惠更斯一起，给出了概率、数学期望等差不多概念的雏形，并得到相应的性质和计算方法，这些都表明，当时概率已成为具有本身特定研究对象的一门独立学科。后来，由于概率论在保险理论、人口统计、射击理论、年度预算、产品检验以及天文学、物理学等学科的应用，专门快引起了许多数学家的关注，概率论的进展也随之进入了一个崭新的时期。 1718年，法国数学家隶莫弗（De Moivre,Abraham,16671754）发表了机遇

10、原理，他首次定义了独立事件的乘法定理，给出二项分布公式，并讨论了许多投掷骰子和其他赌博的问题。1931年，科尔莫戈罗夫用分析的方法奠定了一类一般的随机过程马尔可夫过程的理论基础。在科尔莫戈罗夫之后，对随机过程的研究做出重大贡献而阻碍着整个现代概率论的重要代表人物还有莱维、辛钦、杜布和伊藤清等。1948年莱维出版的著作随机过程与布朗运动提出了独立增量过程的一般理论，并以此为基础极大地推进了作为一类专门马尔可夫过程的布朗运动的研究。1934年，辛钦提出平稳过程的相关理论。1939年，维尔(J.Ville)引进“鞅”的概念，1950年起，杜布对鞅概念进行了系统的研究而使鞅论成为一门独立的分支。从19

11、42年开始，日本数学家伊藤清引进了随机积分与随机微分方程，不仅开发了随机过程研究的新道路，而且为随机分析这门数学新分支的创立和进展奠定了基础。像任何一门公理化的数学分支一样，公理化的概率论的应用范围被大大拓广。值得我们快乐的是，我国数学家在概率论的研究方面也取得了许多重要的成果。数学家侯振廷年轻时发表的闻名论文Q过程的唯一性准则得到国内外学者的高度评价，荣获1978年度的英国戴维逊奖。 四、 概率论的应用数学家们通过大量的同类型随机现象的研究，从中揭示出概率论某种确定的规律，而这种规律性又是许多客观事物所具有的，因此，概率论应用也随之扩宽了。众所周知，接种牛痘是增强机体抵抗力、预防天花等疾病的

12、有效方法，然而，当牛痘开始在欧洲大规模接种之际，它的副作用引起了人们的争议。为了探求情况的真相，伯努利家族的另一位数学家丹尼尔伯努利依照大量的统计数据，应用概率论的方法，得出了接种牛痘能延长人的平均寿命三年的结论，从而消除了人们的恐惧与怀疑，为这一杰出的医学成果在世界范围内普及扫除了障碍。现在，概率论与以它作为基础的数理统计学一起，在自然科学，社会科学，工程技术，军事科学及工农业生产等诸多领域中起着不可或缺的作用。直观地讲，卫星上天，导弹巡航，飞机制造，宇宙飞船巡游太空等都有概率论的一份功劳；及时准确的天气预报，海洋探险，考古研究等更离不开概率论与数量统计；电子技术的进展，影视文化的进步，人口

13、普查及教育等同概率论与数理统计也是密不可分的。例如，天气预报的制作中就有一种统计预报法，它是在大气动力学、热力学、气候学和预报员时刻经验的基础上，应用概率论和数理统计方法，再利用电子计算机，依照历史资料制作概率天气预报。它所提供的不是某种天气现象的“有”或“无”，某种气象要素值“大”或“小”，而是天气现象出现的可能性有多大。如对降水的预报，传统的天气预报一般预报有雨或无雨，而概率预报则给出可能出现降水的百分数，百分数越大，出现降水的可能性越大。依照概率论中用投针试验可能值思想产生的蒙特卡罗方法（这是一种建立在概率论与数理统计基础上的计算方法），借助电子计算机这一工具，使这种方法在核物理、表明物

14、理、电子学、生物学、高分子化学等学科的研究中起着重要的作用。概率论理论严谨，应用广泛，这一数学分支正日益受到人们的重视，以后将会随着科学技术的进展而得到进展。 五、 概率论的历史评价到17 世纪时,许多学者已对赌博中的某些问题进行了讨论,并挖掘了其中的数学原理。但对当时的大多数学家来讲,概率论是庸俗的赌博游戏,难登大雅之堂。是社会的HYPERLINK /fazhan/进展及其需要,才推动了概率论的进展。假如没有社会的需要,概率论至今可能仍然只能在牌桌上显示神通。我觉得“概率论产生于赌博”那个观点是不完全对的，“赌博问题”和“理性考虑”是概率论产生的两个必要条件,而后者更重要。与其它数学分支的形

15、成与进展一样，概率论的形成与进展推动了新的数学思想和方法形成，如随机思想、假设检验思想等等。同时，新的数学思想与方法又极大地推动了数学的进展，正因为有公理化思想作指导，概率论才得以进展成为一门严格的演绎科学。四百年往常“赌注下在多少点最有利？”的问题，现在看起来实在简单只是了，但在当时，由于差不多思想与方法的局限性，尽管有许多人为此进行不懈地探究，却专门难有大的突破。因此，从某种意义上讲，概率论的形成与进展实质也是新的数学思想和方法的形成与进展的历史。 了解概率论的历史有助于我们学习和应用概率论这一重要的数学分支。正如拉普拉斯所讲：“一门开始于研究赌博机会的科学，难道成了人类知识中最重要的学科

16、之一，这无疑是令人惊奇的情况。” 概率论进展简史 一、历史背景：17、18世纪，数学获得了巨大的进步。数学家们冲破了古希腊的演绎框架，向自然界和社会生活的多方面汲取灵感，数学领域出现了众多崭新的生长点，而后都进展成完整的数学分支。除了分析学这一大系统之外，概率论确实是这一时期使欧几里得几何相形见绌的若干重大成就之一。二、概率论的起源：概率论是一门研究随机现象的数量规律学科。它起源于对赌博问题的研究。早在16世纪，意大利学者卡丹与塔塔里亚等人就已从数学角度研究过赌博问题。他们的研究除了赌博外还与当时的人口、保险业等有关，但由于卡丹等人的思想未引起重视，概率概念的要旨也不明确，因此专门快被人忘却了

17、。概率概念的要旨只是在17世纪中叶法国数学家帕斯卡与费马的讨论中才比较明确。他们在往来的信函中讨论合理分配赌注问题。该问题能够简化为：甲、乙两人同掷一枚硬币。规定：正面朝上，甲得一点；若反面朝上，乙得一点，先积满3点者赢取全部赌注。假定在甲得2点、乙得1点时，赌局由于某种缘故中止了，问应该如何样分配赌注才算公平合理。帕斯卡：若在掷一次，甲胜，甲获全部赌注，两种情况可能性相同，因此这两种情况平均一下，乙胜，甲、乙平分赌注甲应得赌金的3/4，乙得赌金的1/4。费马：结束赌局至多还要2局，结果为四种等可能情况：情况胜者甲甲甲乙乙甲乙乙前3种情况，甲获全部赌金，仅第四种情况，乙获全部赌注。因此甲分得赌

18、金的3/4，乙得赌金的1/4。帕斯卡与费马用各自不同的方法解决了那个问题。尽管他们在解答中没有明确定义概念，然而，他们定义了使某赌徒取胜的机遇，也确实是赢得情况数与所有可能情况数的比，这实际上确实是概率，因此概率的进展被认为是从帕斯卡与费马开始的。三、概率论在实践中曲折进展：在概率问题早期的研究中，逐步建立了事件、概率和随机变量等重要概念以及它们的差不多性质。后来由于许多社会问题和工程技术问题，如：人口统计、保险理论、天文观测、误差理论、产品检验和质量操纵等。这些问题的提法，均促进了概率论的进展，从17世纪到19世纪，贝努利、隶莫弗、拉普拉斯、高斯、普阿松、切贝谢夫、马尔可夫等闻名数学家都对概

19、率论的进展做出了杰出的贡献。在这段时刻里，概率论的进展简直到了使人着迷的程度。然而，随着概率论中各个领域获得大量成果，以及概率论在其他基础学科和工程技术上的应用，由拉普拉斯给出的概率定义的局限性专门快便暴露了出来，甚至无法适用于一般的随机现象。因此能够讲，到20世纪初，概率论的一些差不多概念，诸如概率等尚没有确切的定义，概率论作为一个数学分支，缺乏严格的理论基础。四、概率论理论基础的建立：谈及概率论的产生，我们必须得提及瑞士数学家族贝努利家族的几位成员，特不是雅可布?贝努利（Jacob Bernoulli,1654-1705），概率论的第一本专著是1713年问世的雅各贝努利的推测术。通过二十多

20、年的困难研究，贝努利在该书中，表述并证明了闻名的大数定律。所谓大数定律，简单地讲确实是，当实验次数专门大时，事件出现的频率与概率有较大偏差的可能性专门小。这一定理第一次在单一的概率值与众多现象的统计度量之间建立了演绎关系，构成了从概率论通向更广泛应用领域的桥梁。因此，贝努利被称为概率论的奠基人。遗憾的是，在雅可布?贝努利逝世八年后的1713年，他的研究大作猜度术才正式出版。之后，法国数学家数学家棣莫弗(Abraham?De Moivre,1667-1754)把概率论又作了巨大推进，他在1718年发表的机遇原理一书中提出了概率乘法法则，以及“正态分布”和“正态分布律”的概念，为概率论的“中心极限

21、定理”建立奠定了基础。值得一提的是，棣莫弗还于1730年出版的概率著作分析杂录中使用了概率积分，得出了n阶乘的级数表达式。他还于1725年出版专门论著，把概率论首次应用于保险事业上。1760年，法国数学家蒲丰（Comte de Buffon，1707-1788）的偶然性的算术试验出版，他把概率和几何结合起来，开始了几何概率的研究。闻名的投针实验便是他于1777年提出的，利用这一实验，他采取概率的方法尝试求求圆周率的近似值。19世纪，法国数学家拉普拉斯（Simon Laplace ,1749-1827）、德国数学家高斯（Gauss,1777-1855）、法国数学家泊松(S.D.Poisson,1

22、781-1840)等为概率论建方完整的体系和更为广泛的应用做了进一步奠基性工作。特不是拉普拉斯，他是严密的、系统的科学概率论的最卓越的创建者，在1812年出版的概率的分析理论中，拉普拉斯以强有力的分析工具处理了概率论的差不多内容，实现了从组合技巧向分析方法的过渡，使以往零散的结果系统化，开发了概率论进展的新时期。拉普拉斯有一句名言，现在许多论及概率论在中小学数学教学中的意义的论文都引有这句话，这句话是：“生活中最重要的问题，其中大多数只是概率问题”。概率论自问世之后，即充分显示了它巨大的应用价值。当时，牛痘在欧洲大规模接种后，曾因副作用引起争议。丹尼尔贝努里（Daniel Bernoulli，

23、17001782）依照大量的统计资料，作出了种牛痘能延长人类平均寿命三年的结论，消除了一些人的恐惧和怀疑；欧拉（Euler，1707-1783）将概率论应用于人口统计和保险，写出了关于死亡率和人口增长率问题的研究，关于孤儿保险等文章；泊松将概率应用于射击的各种问题的研究，提出了打靶概率研究报告等等。也正因为概率论有其巨大的应用价值，使得它成为18和19两个世纪的热门学科之一，几乎所有的科学领域，包括神学等社会科学都企图借助于概率论去解决问题。然而，事物差不多上具有两面性的，因为过于强调概率论的应用价值，也在一定程度上形成了“滥用”的现象，以至到19世纪末，人们不得不重新对概率论进行审视，客观上

24、促进了人们积极地寻求概率论的逻辑基础。为概率论确定严密的理论基础的是数学家柯尔莫哥洛夫。1933年，他发表了闻名的概率论的差不多概念，用公理化结构，那个结构明确定义了概率论进展史上的一个里程碑，为以后的概率论的迅速进展奠定了基础。五、概率论的应用：进展到今天，概率论和以它作为基础的数理统计学科一起，在自然科学，社会科学，工程技术，军事科学及生产生活实际等诸多领域中都起着不可替代的作用。例如，天气预报的制作就有一种统计预报法，它是在大气动力学、热力学、气候学和预报员时刻经验的基础上，应用概率论和数理统计方法，利用电子计算机，依照历史资料制作天气预报。用这种方法制作的天气预报称为概率天气预报，即用

25、概率值表示预报量出现可能性的大小，它所提供的不是某种天气现象的有或无，某种气象要素值大或小，而是天气现象出现的可能性有多大。如对降水的预报，传统的天气预报一般预报有雨或无雨，而概率预报则给出可能出现降水的百分数，百分数越大，出现降水的可能性越大。概率天气预报既反映了天气变化确定性的一面，又反映了天气变化的不确定性和不确定程度。在许多情况下，这种预报形式更能适应经济活动和军事活动中决策的需要。这种预报法预报量的概率值。与其它数学分支的形成与进展一样，概率论的形成与进展推动了新的数学思想和方法形成，如随机思想、假设检验思想等等。同时，新的数学思想与方法又极大地推动了数学的进展，正因为有公理化思想作

26、指导，概率论才得以进展成为一门严格的演绎科学。四百年往常“赌注下在多少点最有利？”的问题，现在看起来实在简单只是了，但在当时，由于差不多思想与方法的局限性，尽管有许多人为此进行不懈地探究，却专门难有大的突破。因此，从某种意义上讲，概率论的形成与进展实质也是新的数学思想和方法的形成与进展的历史。正如我国在近现代科学的进展中地位不高一样，概率论没能在我国产生与进展。概率论传入我国的历史也不长，在上个世纪初才传入我国。1905年京师大学堂的数学教科学一般代数学中有概率问题的讨论。上个世纪30、40年代在我国产生广泛阻碍的范氏大代数一书中有许多对古典概率的讨论。50年代，我国的数学教育以学习前苏联为主

27、，概率论被从中小学数学教学中“驱逐出境”，到了60年代，我国曾把作为大学内容的概率初步知识下放到中小学教材，由因此将大学数学下放到中小学，终因其理论要求过高、内容过深，与学生的生活经验与认知水平之间存在过大差距而“水土不服”，以至没能在中小学站住脚。尽管在80年代，教育界曾关注过概率统计在中小学的教学，但由于当时的概率只是高中的选学内容，高考不考，教师不教，学生不学，概率教学难免形同虚设。直到最近几年，教育界才真正关注并重视了概率论的教育价值，往常所未有的地位将它写入数学课程标准。 为了使大伙儿更直观的了解概率论的应用，下面我给大伙儿举一个概率论在社会调查中应用的例子。关于某些被调查不愿公开回

28、答的问题，运用概率论的方法能够得到较准确的结论。举个例子，对一批立即出国留学的学生进行调查，确定学业完成后情愿回国者所占的比例。关于完成学业后，你是否会回国这一问题，专门多人不希望透露自己的真实方法。为了得到正确的结论，我们将问题稍加调整，将完成学业后，你是否会回国定位问题a，另设问题b：你的年龄是奇数。将a、b组成一组问题，让被调查者抛硬币决定回答问题a或b，同时在问卷上不标示被调查者回答的是问题a依旧问题b。解除了顾虑后，被调查者都会给出真实的方法。然后，运用概率论方法，我们就能够从调查结果中得到我们想明白的回国者比例。假定有300人同意调查，结果有130个是。因为被调查者回答问题a、b的

29、概率各是50%，因此将各有约150人回答a或b问题。又被调查者年龄是奇数的概率各是50%，因此150个回答b问题的人中，约有75个是。那么130个是的答案中，约有55个是是问题a的答案，因此我们就能够得到完成学业后情愿回国者的比例约55/150即11/30。现在，概率论已进展成为一门与实际紧密相连的理论严谨的数学科学。它内容丰富，结论深刻，有不开生面的研究课题，由自己独特的概念和方法，差不多成为了近代数学一个有特色的分支。概率论和数理统计是一门随机数学分支，它们是紧密联系的同类 17、18世纪，数学获得了巨大的进步。数学家们冲破了古希腊的演绎框架，向自然界和社会生活的多方面汲取灵感，数学领域出

30、现了众多崭新的生长点，而后都进展成完整的数学分支。除了分析学这一大系统之外，概率论确实是这一时期使欧几里得几何相形见绌的若干重大成就之一。 关键词：概率论 、起源 、分支 概率论进展史 一、历史背景17、18世纪，数学获得了巨大的进步。数学家们冲破了古希腊的演绎框架，向自然界和社会生活的多方面汲取灵感，数学领域出现了众多崭新的生长点，而后都进展成完整的数学分支。除了分析学这一大系统之外，概率论确实是这一时期使欧几里得几何相形见绌的若干重大成就之一。 二、概率论的起源：概率论是一门研究随机现象的数量规律学科。概率论起源于博弈问题。15-16世纪，意大利数学家帕乔利(L.Pacioli,1445-

31、1517)、塔塔利亚(N.Tartaglia,1499-1557)和卡尔丹(G.cardano,1501-1576)的著作中都曾讨论过俩人赌博的赌金分配等概率问题。1657年，荷兰数学家惠更斯(C.Huygens,1629-1695)发表了论赌博中的计算，这是最早的概率论著作。这些数学家的著述中所出现的第一批概率论概念与定理，标志着概率论的诞生。而概率论最为一门独立的数学分支，真正的奠基人是雅格布伯努利(Jacob Bernoulli,1654-1705)。他在遗著猜度术中首次提出了后来以“伯努利定理”著称的极限定理，在概率论进展史上占有重要地位。伯努利之后，法国数学家棣莫弗(A.de Moi

32、vre,1667-1754)把概率论又作了巨大推进，他提出了概率乘法法则，正态分布和正态分布率的概念，并给出了概率论的一些重要结果。之后法国数学家蒲丰(C.de Buffon,1707-1788)提出了闻名的“普丰问题”，引进了几何概率。另外，拉普拉斯、高斯和泊松(S.D.Poisson,1781-1840)等对概率论做出了进一步奠基性工作。特不是拉普拉斯，他是严密的、系统的科学概率论的最卓越的创建者，在1812年出版的概率的分析理论中，拉普拉斯以强有力的分析工具处理了概率论的差不多内容，实现了从组合技巧向分析方法的过渡，使以往零散的结果系统化，开发了概率论进展的新时期。泊松则推广了大数定理，

33、提出了闻名的泊松分布。19世纪后期，极限理论的进展称为概率论研究的中心课题，俄国数学家切比雪夫对此做出了重要贡献。他建立了关于独立随机变量序列的大数定律，推广了棣莫弗拉普拉斯的极限定理。切比雪夫的成果后被其学生马尔可夫发扬光大，阻碍了20世纪概率论进展的进程。19世纪末，一方面概率论在统计物理等领域的应用提出了对概率论差不多概念与原理进行解释的需要，另一方面，科学家们在这一时期发觉的一些概率论悖论也揭示出古典概率论中差不多概念存在的矛盾与模糊之处。这些问题却强烈要求对概率论的逻辑基础做出更加严格的考察。 三、概率论在实践中曲折进展：在概率问题早期的研究中，逐步建立了事件、概率和随机变量等重要概

34、念以及它们的差不多性质。后来由于许多社会问题和工程技术问题，如：人口统计、保险理论、天文观测、误差理论、产品检验和质量操纵等。这些问题的提法，均促进了概率论的进展，从17世纪到19世纪，贝努利、隶莫弗、拉普拉斯、高斯、普阿松、切贝谢夫、马尔可夫等闻名数学家都对概率论的进展做出了杰出的贡献。在这段时刻里，概率论的进展简直到了使人着迷的程度。然而，随着概率论中各个领域获得大量成果，以及概率论在其他基础学科和工程技术上的应用，由拉普拉斯给出的概率定义的局限性专门快便暴露了出来，甚至无法适用于一般的随机现象。因此能够讲，到20世纪初，概率论的一些差不多概念，诸如概率等尚没有确切的定义，概率论作为一个数

35、学分支，缺乏严格的理论基础。 四、概率论理论基础的建立：概率论的第一本专著是1713年问世的雅各贝努利的推测术。通过二十多年的困难研究，贝努利在该树种，表述并证明了闻名的大数定律。所谓大数定律，简单地讲确实是，当实验次数专门大时，事件出现的频率与概率有较大偏差的可能性专门小。这一定理第一次在单一的概率值与众多现象的统计度量之间建立了演绎关系，构成了从概率论通向更广泛应用领域的桥梁。因此，贝努利被称为概率论的奠基人。为概率论确定严密的理论基础的是数学家柯尔莫哥洛夫。1933年，他发表了闻名的概率论的差不多概念，用公理化结构，那个结构明确定义了概率论进展史上的一个里程碑，为以后的概率论的迅速进展奠

36、定了基础。五、概率论的应用：20世纪以来，由于物理学、生物学、工程技术、农业技术和军事技术进展的推动，概率论飞速进展，理论课题不断扩大与深入，应用范围大大拓宽。在最近几十年中，概率论的方法被引入各个工程技术学科和社会学科。目前，概率论在近代物理、自动操纵、地震预报和气象预报、工厂产品质量操纵、农业试验和公用事业等方面都得到了重要应用。有越来越多的概率论方法被引入导经济、金融和治理科学，概率论成为它们的有力工具。 为了使大伙儿更直观的了解概率论的应用，下面我给大伙儿举一个概率论在社会调查中应用的例子。关于某些被调查不愿公开回答的问题，运用概率论的方法能够得到较准确的结论。举个例子，对一批立即出国

37、留学的学生进行调查，确定学业完成后情愿回国者所占的比例。关于完成学业后，你是否会回国这一问题，专门多人不希望透露自己的真实方法。为了得到正确的结论，我们将问题稍加调整，将完成学业后，你是否会回国定位问题a，另设问题b：你的年龄是奇数。将a、b组成一组问题，让被调查者抛硬币决定回答问题a或b，同时在问卷上不标示被调查者回答的是问题a依旧问题b。解除了顾虑后，被调查者都会给出真实的方法。然后，运用概率论方法，我们就能够从调查结果中得到我们想明白的回国者比例。假定有300人同意调查，结果有130个是。因为被调查者回答问题a、b的概率各是50%，因此将各有约150人回答a或b问题。又被调查者年龄是奇数

38、的概率各是50%，因此150个回答b问题的人中，约有75个是。那么130个是的答案中，约有55个是是问题a的答案，因此我们就能够得到完成学业后情愿回国者的比例约55/150即11/30。六、概率论的公理化俄国数学家伯恩斯坦和奥地利数学家冯米西斯(R.von Mises,1883-1953)对概率论的严格化做了最早的尝试。但它们提出的公理理论并不完善。事实上，真正严格的公理化概率论只有在测度论和实变函数理论的基础才可能建立。测度论的奠基人，法国数学家博雷尔(E.Borel,1781-1956)首先将测度论方法引入概率论重要问题的研究，同时他的工作激起了数学家们沿这一崭新方向的一系列搜索。特不是原

39、苏联数学家科尔莫戈罗夫的工作最为卓著。他在1926年推倒了弱大数定律成立的充分必要条件。后又对博雷尔提出的强大数定律问题给出了最一般的结果，从而解决了概率论的中心课题之一大数定律，成为以测度论为基础的概率论公理化的前奏。1933年，科尔莫戈罗夫出版了他的著作概率论基础，这是概率论的一部经典性著作。其中，科尔莫戈罗夫给出了公理化概率论的一系列差不多概念，提出了六条公理，整个概率论大厦能够从这六条公理动身建筑起来。科尔莫戈罗夫的公理体系逐渐得到数学家们的普遍认可。由于公理化，概率论成为一门严格的演绎科学，并通过集合论与其它数学分支紧密地联系者。科尔莫戈罗夫是20世纪最杰出的数学家之一，他不仅仅是公

40、理化概率论的建立者，在数学和力学的众多领域他都做出了开创或奠基性的贡献，同时，他依旧出色的教育家。由于概率论等其它许多领域的杰出贡献，科尔莫戈罗夫荣获80年的沃尔夫奖。七、进一步的进展在公理化基础上，现代概率论取得了一系列理论突破。公理化概率论首先使随机过程的研究获得了新的起点。1931年，科尔莫戈罗夫用分析的方法奠定了一类一般的随机过程马尔可夫过程的理论基础。科尔莫戈罗夫之后，对随机过程的研究做出重大贡献而阻碍着整个现代概率论的重要代表人物有莱维(P.Levy,1886-1971)、辛钦、杜布(J.L.Dob)和伊藤清等。1948年莱维出版的著作随机过程与布朗运动提出了独立增量过程的一般理论

41、，并以此为基础极大地推进了作为一类专门马尔可夫过程的布朗运动的研究。1934年，辛钦提出平稳过程的相关理论。1939年，维尔(J.Ville)引进“鞅”的概念，1950年起，杜布对鞅概念进行了系统的研究而使鞅论成为一门独立的分支。从1942年开始，日本数学家伊藤清引进了随机积分与随机微分方程，不仅开发了随机过程研究的新道路，而且为随机分析这门数学新分支的创立和进展奠定了基础。像任何一门公理化的数学分支一样，公理化的概率论的应用范围被大大拓广。 概率论的产生 希罗多德在他的巨著历史中记录到，早在公元前1500年，埃及人为了忘却饥饿，经常聚拢在一起掷骰子，游戏进展到后来，到了公元前1200年，有了

42、立方体的骰子，6个面上刻上数字，和现代的赌博工具差不多没有了区不。但概率论的概念直到文艺复兴后才出现，概率论出现如此迟缓，有人认为是人类的道德规范阻碍了对赌博的研究既然赌博被视为不道德的，那么将机会性游戏作为科学研究的对象也确实是大逆不道。第一个有意识地计算赌博胜算的是文艺复兴时期意大利大夫、数学家卡当。据讲卡当曾参加过如此的一种赌法：把两颗骰子掷出去，以每个骰子朝上的点数之和作为赌的内容已知骰子的六个面上分不为16点，那么，赌注下在多少点上最有利？234567345678456789567891067891011789101112两个骰子朝上的面共有36种可能，点数之和分不可为212共11种

43、从图中可知，7是最容易出现的和数，它出现的概率是 卡当曾预言讲押7最好现在看来那个方法是专门简单的，但是在卡当的时代，应该讲是专门杰出的思想方法他在一生中超过40年的时刻里，几乎每天都参与赌博，而且是带着数学的头脑去观看、去考虑。最终，在一本名叫机会性游戏手册的书中，他公布了调查和考虑的结果和关于赌博实践的体会。这本书写于1526年左右，但一直到一百多年后的1663年才出版。书中已包含了等可能性事件的概率的思想萌芽，即一个专门结果的概率是所有达到那个结果的可能方法的数目被一个事件的所有可能结果的总和所除。在那个时代，尽管概率论的萌芽有些进展，但还没有出现真正的概率论十七世纪中叶，法国贵族德梅勒

44、在一次和赌友掷骰子中，各押赌注32个金币双方约定，梅勒假如先掷出三次6点，或者赌友先掷三次4点，就赢了对方赌博进行了一段时刻，梅勒差不多两次掷出6点，赌友差不多一次掷出4点，这时候梅勒接到通知，要他立即陪同国王接见外宾，赌博只好中断了请问：两个人应该如何样分这64个金币才算合理呢？ 赌友讲，他要再碰上两次4点，或梅勒要再碰上一次6点就算赢，因此他有权分得梅勒的一半，即梅勒分64个金币的 ，自己分64个金币的 梅勒争辩讲，不对，即使下一次赌友掷出了4点，他还能够得到 ，即32个金币；再加上下一次他还有一半希望得到16个金币，因此他应该分得64个金币的 ，赌友只能分得64个金币的 两人到底谁讲得对

45、呢？因此就写信向当时法国的最具权威的数学家帕斯卡请教，正是这封信使概率论向前迈出了第一步帕斯卡是17世纪有名的“神童”数学家但是，梅勒提出的“分赌注”的问题，却把他难住了他苦苦考虑了两三年，到1654年才算有了点眉目，因此写信给他的好友费马，两人讨论结果，取得了一致的意见：梅勒的分法是对的，他应得64个金币的 ，赌友应得64金币的 这时有位荷兰的数学家惠更斯在巴黎听到这件新闻；也参加了他们的讨论讨论结果，惠更斯把它写成一本书叫做论赌博中的计算（1657年），这确实是概率论最早的一部著作因此，一个崭新的数学分支概率论登上了历史舞台概率论现在差不多成了数学的一个重要分支，最初它只是关于带机遇性游戏

46、的分析，而现在差不多是一门庞大的数学理论，它在社会学、生物学、物理学和化学等许多领域发挥着十分重要的作用 概率论与数理统计进展简史 17世纪，正当研究必定性事件的数理关系获得较大进展的时候，一个研究偶然事件数量关系的数学分支开始出现，这确实是概率论早在16世纪，赌博中的偶然现象就开始引起人们的注意数学家卡丹诺(Cardano)首先觉察到，赌博输赢尽管是偶然的，但较大的赌博次数会呈现一定的规律性, 卡丹诺为此还写了一本论赌博的小册子，书中计罢了掷两颗骰子或三颗骰子时，在一切可能的方法中有多少方法得到某一点数据讲，曾与卡丹诺在三次方程发明权上发生争论的塔尔塔里亚，也曾做过类似的实验促使概率论产生的

47、强大动力来自社会实践首先是保险事业文艺复兴后，随着航海事业的进展，意大利开始出现海上保险业务16世纪末，在欧洲许多国家已把保险业务扩大到其它工商业上，保险的对象差不多上偶然性事件为了保证保险公司赢利，又使参加保险的人情愿参加保险，就需要依照对大量偶然现象规律性的分析，去创立保险的一般理论因此，一种专门适用于分析偶然现象的数学工具也就成为十分必要了只是，作为数学科学之一的概率论，其基础并不是在上述实际问题的材料上形成的因为这些问题的大量随机现象，常被许多错综复杂的因素所干扰，它使难以呈“自然的随机状态”因此必须从简单的材料来研究随机现象的规律性，这种材料确实是所谓的“随机博弈”在近代概率论创立之

48、前，人们正是通过对这种随机博弈现象的分析,注意到了它的一些特性, 比如“多次实验中的频率稳定性”等，然后经加工提炼而形成了概率论.荷兰数学家、物理学家惠更斯（Huygens）于1657年发表了关于概率论的早期著作论赌博中的计算在此期间，法国的费尔马（Fermat）与帕斯卡（Pascal）也在相互通信中探讨了随机博弈现象中所出现的概率论的差不多定理和法则惠更斯等人的工作建立了概率和数学期望等要紧概念，找出了它们的差不多性质和演算方法，从而塑造了概率论的雏形18世纪是概率论的正式形成和进展时期1713年，贝努利（Bernoulli）的名著推想的艺术发表在这部著作中，贝努利明确指出了概率论最重要的定

49、律之一“大数定律”，同时给出了证明，这使以往建立在经验之上的频率稳定性推测理论化了，从此概率论从对专门问题的求解，进展到了一般的理论概括继贝努利之后，法国数学家棣谟佛（Abraham de Moiver）于1781年发表了机遇原理书中提出了概率乘法法则，以及“正态分”和“正态分布律”的概念，为概率论的“中心极限定理”的建立奠定了基础1706年法国数学家蒲丰（Comte de Buffon）的偶然性的算术试验完成，他把概率和几何结合起来，开始了几何概率的研究，他提出的“蒲丰问题”确实是采取概率的方法来求圆周率的尝试通过贝努利和棣谟佛的努力，使数学方法有效地应用于概率研究之中，这就把概率论的专门进

50、展同数学的一般进展联系起来，使概率论一开始就成为数学的一个分支概率论问世不久，就在应用方面发挥了重要的作用牛痘在欧洲大规模接种之后，曾因副作用引起争议这时贝努利的侄子丹尼尔贝努利（Daniel Bernoulli）依照大量的统计资料，作出了种牛痘能延长人类平均寿命三年的结论，消除了一些人的恐惧和怀疑；欧拉（Euler）将概率论应用于人口统计和保险，写出了关于死亡率和人口增长率问题的研究，关于孤儿保险等文章；泊松（Poisson）又将概率应用于射击的各种问题的研究，提出了打靶概率研究报告总之，概率论在18世纪确立后，就充分地反映了其广泛的实践意义19世纪概率论朝着建立完整的理论体系和更广泛的应用

51、方向进展其中为之作出较大贡献的有：法国数学家拉普拉斯（Laplace），德国数学家高斯（Gauss），英国物理学家、数学家麦克斯韦（Maxwell），美国数学家、物理学家吉布斯（Gibbs）等概率论的广泛应用，使它于18和19两个世纪成为热门学科，几乎所有的科学领域，包括神学等社会科学都企图借助于概率论去解决问题，这在一定程度上造成了“滥用”的情况，因此到19世纪后半期时，人们不得不重新对概率进行检查，为它奠定牢固的逻辑基础，使它成为一门强有力的学科1917年苏联科学家伯恩斯坦首先给出了概率论的公理体系1933年柯尔莫哥洛夫又以更完整的形式提出了概率论的公理结构，从此，更现代意义上的完整的概率

52、论臻于完成相关于其它许多数学分支而言，数理统计是一个比较年轻的数学分支多数人认为它的形成是在20世纪40年代克拉美（H.Carmer）的著作统计学的数学方法问世之时，它使得1945年往常的25年间英、美统计学家在统计学方面的工作与法、俄数学家在概率论方面的工作结合起来，从而形成数理统计这门学科它是以对随机现象观测所取得的资料为动身点，以概率论为基础来研究随机现象的一门学科，它有专门多分支，但其差不多内容为采集样本和统计推断两大部分进展到今天的现代数理统计学，又经历了各种历史变迁统计的早期开端大约是在公元前世纪初的人口普查计算中，这是统计性质的工作，但还不能算作是现代意义下的统计学到了18世纪，

53、统计才开始向一门独立的学科进展，用于描述表征一个状态的条件的一些特征，这是由于受到概率论的阻碍高斯从描述天文观测的误差而引进正态分布，并使用最小二乘法作为可能方法，是近代数理统计学进展初期的重大事件，18世纪到19世纪初期的这些贡献，对社会进展有专门大的阻碍例如，用正态分布描述观测数据后来被广泛地用到生物学中，其应用是如此普遍，以至在19世纪相当长的时期内，包括高尔顿（Galton）在内的一些学者，认为那个分布可用于描述几乎是一切常见的数据直到现在，有关正态分布的统计方法，仍占据着常用统计方法中专门重要的一部分最小二乘法方面的工作，在20世纪初以来，又通过了一些学者的进展，现在成了数理统计学中

54、的要紧方法从高斯到20世纪初这一段时刻，统计学理论进展不快，但仍有若干工作对后世产生了专门大的阻碍其中，如贝叶斯（Bayes）在1763年发表的论有关机遇问题的求解，提出了进行统计推断的方法论方面的一种见解，在那个时期中逐步进展成统计学中的贝叶斯学派（现在，那个学派的阻碍愈来愈大）现在我们所理解的统计推断程序，最早的是贝叶斯方法，高斯和拉普拉斯应用贝叶斯定理讨论了参数的可能法，那时使用的符号和术语，至今仍然沿用再如前面提到的高尔顿在回归方面的先驱性工作，也是那个时期中的要紧进展，他在遗传研究中为了弄清父子两辈特征的相关关系，揭示了统计方法在生物学研究中的应用，他引进回归直线、相关系数的概念，创

55、始了回归分析数理统计学进展史上极重要的一个时期是从19世纪到二次大战结束现在，多数人倾向于把现代数理统计学的起点和达到成熟定为那个时期的始末这确是数理统计学蓬勃进展的一个时期，许多重要的差不多观点、方法，统计学中要紧的分支学科，差不多上在那个时期建立和进展起来的以费歇尔（R.A.Fisher）和皮尔逊（K.Pearson）为首的英国统计学派，在那个时期起了主导作用，特不是费歇尔继高尔顿之后，皮尔逊进一步进展了回归与相关的理论，成功地创建了生物统计学，并得到了“总体”的概念，1891年之后，皮尔逊潜心研究区分物种时用的数据的分布理论，提出了“概率”和“相关”的概念接着，又提出标准差、正态曲线、平

56、均变差、均方根误差等一系列数理统计差不多术语皮尔逊致力于大样本理论的研究，他发觉许多生物方面的数据有显著的偏态，不适合用正态分布去刻画，为此他提出了后来以他的名字命名的分布族，为可能那个分布族中的参数，他提出了“矩法”为考察实际数据与这族分布的拟合分布优劣问题，他引进了闻名“检验法”，并在理论上研究了其性质那个检验法是假设检验最早、最典型的方法，他在理论分布完全给定的情况下求出了检验统计量的极限分布1901年，他创办了生物统计学，使数理统计有了自己的阵地，这是世纪初叶数学的重大收获之一1908年皮尔逊的学生戈赛特（Gosset）发觉了Z的精确分布，创始了“精确样本理论”他署名“Student”

57、在生物统计学上发表文章，改进了皮尔逊的方法他的发觉不仅不再依靠近似计算，而且能用所谓小样本进行统计推断，并使统计学的对象由集团现象转变为随机现象现“Student分布”已成为数理统计学中的常用工具，“Student氏”也是一个常见的术语英国实验遗传学家兼统计学家费歇尔，是将数理统计作为一门数学学科的奠基者，他开创的试验设计法，凭借随机化的手段成功地把概率模型带进了实验领域，并建立了方差分析法来分析这种模型费歇尔的试验设计，既把实践带入理论的视野内，又促进了实践的进展，从而大量地节约了人力、物力，试验设计那个主题，后来为众多数学家所进展费歇尔还引进了显著性检验的概念，成为假设检验理论的先驱他考察

58、了可能的精度与样本所具有的信息之间的关系而得到信息量概念，他对测量数据中的信息，压缩数据而不损失信息，以及对一个模型的参数可能等贡献了完善的理论概念，他把一致性、有效性和充分性作为参数可能量应具备的差不多性质同时还在1912年提出了极大似然法，这是应用上最广的一种可能法他在年代的工作，奠定了参数可能的理论基础关于检验，费歇尔1924 年解决了理论分布包含有限个参数情况，基于此方法的列表检验，在应用上有重要意义费歇尔在一般的统计思想方面也作出过重要的贡献，他提出的“信任推断法”，在统计学界引起了相当大的兴趣和争论，费歇尔给出了许多现代统计学的基础概念，考虑方法十分直观，他造就了一个学派，在纯粹数

59、学和应用数学方面都建树卓越那个时期作出重要贡献的统计学家中，还应提到奈曼（J.Neyman）和皮尔逊（E.Pearson）他们在从1928年开始的一系列重要工作中，进展了假设检验的系列理论奈曼皮尔逊假设检验理论提出和精确化了一些重要概念该理论对后世也产生了巨大阻碍，它是现今统计教科书中不可缺少的一个组成部分，奈曼还创立了系统的置信区间可能理论，早在奈曼工作之前，区间可能就已是一种常用形式，奈曼从1934年开始的一系列工作，把区间可能理论置于柯尔莫哥洛夫概率论公理体系的基础之上，因而奠定了严格的理论基础，而且他还把求区间可能的问题表达为一种数学上的最优解问题，那个理论与奈曼皮尔逊假设检验理论，关

60、于数理统计形成为一门严格的数学分支起了重大作用以费歇尔为代表人物的英国成为数理统计研究的中心时，美国在二战中进展亦快，有三个统计研究组在投弹问题上进行了9项研究，其中最有成效的哥伦比亚大学研究小组在理论和实践上都有重大建树，而最为闻名的是首先系统地研究了“序贯分析”，它被称为“30年代最有威力”的统计思想“序贯分析”系统理论的创始人是闻名统计学家沃德（Wald）他是原籍罗马尼亚的英国统计学家，他于1934年系统进展了早在20年代就受到注意的序贯分析法沃德在统计方法中引进的“停止规则”的数学描述，是序贯分析的概念基础，并已证明是现代概率论与数理统计学中最富于成果的概念之一从二战后到现在，是统计学