关于抛物线的十个最值问题

1、关于抛物线的十个最值问题本文用初等方法讨论了与抛物线有关的假设干几何最值问题,得到了十个有趣的结论.为方便读者摘用,现用定理形式表达如下:定理1.抛物线的所有焦半径中,以过顶点的焦半径为最短.证明:不妨设抛物线的极坐标方程为=,那么显然有,其中等号成立当且仅当=2k+(kZ)即焦半径通过抛物线的顶点时.证毕.定理2.抛物线的过焦点的所有弦中,以抛物线的通径为最短.证明:设抛物线极坐标方程为=,焦点弦为AB,且设A(1,),B(2,+),那么有AB=1+2=+=2p=通径长,其中等号成立当且仅当=k+/2(kZ)即弦AB为通径时.证毕.定理3.设A(a,0)是抛物线y2=2px(p0)的对称轴上

2、的定点,(x,y)是抛物线上的动点,那么Ain=证明:由A2=(x-a)2+y2=(x-a)2+2px=x2-2(a-p)x+a2=x-(a-p)2+p(2a-p),并且注意到x0,+),立知结论成立.证毕.定理4.设A(a,b)是抛物线y2=2px(p0)内一定点,F是焦点,是抛物线上的动点,那么y(A+F)in=a+p/2.QA(a,b)证明:如图1所示,作AQ准线L:x=-p/2于Q,那么知Fx(A+F)in=AQ=a-(-p/2)=a+p/2.证毕.图1定理5.设线段AB是抛物线y2=2px(p0)的过焦点的弦,分别以A、B为切点的抛物线的两条切线相交于点,那么三角形AB的面积的最小值

3、为p2.证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),那么由A、F、B三点共线可得:x1y2-x2y1=p/2(y2-y1)(1)于是利用(1)式由两切线方程yA:y1y=p(x+x1),AB:y2y=p(x+x2),Fx易得的坐标(x,y)适宜:BkFkAF=-1,FAB,即F是AB的AB边上的高.图2FFK(焦点F到准线x=-p/2的间隔 )=p,又由定理2知AB2p(通径长),SAB=1/2ABF1/22pp=p2,因其中等号当且仅当ABx轴时成立,故三角形AB的最小值为p2.证毕.定理6.过抛物线y2=2px的顶点引两条互相垂直的动弦A和B,那么三角形AB的面积的最小值为4p2.y证明:

4、设A(x1,y1),B(x2,y2),那么由AB得Ax1x2+y1y2=0(1)x将y12=2px1,y22=2px2代入(1)立得:x1x2=4p2(2)于是B(SAB)2=1/4A2B2图3=1/4(x12+y12)(x22+y22)=1/4(x12+2px1)(x22+2px2)=1/4(x1x2)2+2px1x2(x1+x2)+4p2x1x21/4(x1x2)2+2px1x2(2x1x2)+4p2x1x2(3)将(2)式代入(3)那么得(SAB)216p4,从而SAB4p2,因其中等号当x1=x2=2p时取到,故三角形AB的面积的最小值为4p2。证毕.定理7.抛物线y2=2px的内接等

5、腰直角三角形的面积的最小值为4p2.证明:设RtAB内接于抛物线y2=2px,点为直角顶点,设A(x1,y1),B(x2,y2),(x3,y3),根据抛物线的对称性以及其开口方向,不妨设y10,y2y30,并记直线A的斜率为k,那么由y3-y1=k(x3-x1)=k(y32/2py12/2p)及yy3-y2=-1/k(x3-x2)=-1/k(y32/2py22/2p)A可得y1=2p/ky3及y2=-2pk-y3(1)x又由A=B有B(x1-x3)2+(y1-y3)2=(x3-x2)2+(y3-y2)2(2)图4将x1=y12/2p,x2=y22/2p,x3=y32/2p及(1)代入(2)可得

6、y3=(3)从而据(1)、(3)可得y1-y3=(4)于是AB的面积S=1/2A2=1/2(x1-x3)2+(y1-y3)2=(y1-y3)2=2p2()2=2p22p2=4p2.因当k=1且y3=0时上式等号成立,故等腰RtAB面积的最小值为4p2.证毕.定理8.设AB是抛物线的焦点弦,准线与抛物线对称轴的交点为,那么AB的最大值为/2.证明:如图5所示,设A1、B1分别是A、B在准线L上的y射影,F是焦点,连A1F和B1F,那么知AA(1)当ABF时,显然有AB/2;FX(2)当AB与F不垂直时,由AA1A1知B1BAA1A1A/2AA1,图5AA1/4;同理BB1/4,故有AB/2.综合

7、(1)、(2),定理8获证.定理9.设AB是抛物线yax2(a0)的长为定长的动弦,那么.当1/a(通径长)时,AB的中点到x轴的间隔 的最小值为2a-1)/4a;.当1/a(通径长)时,AB的中点到x轴的间隔 的最小值为a2/4.证明:设(x0,y0),将直线AB的参数方程y(其中t为参数,倾斜角/2)A代入yax2并整理得a(s)2t2+(2ax0s-sin)t+(ax02-y0)0,B故由韦达定理和参数t的几何意义以及AB立得0Xt1+t2(2ax0s-sin)/a(s)20图6t1t2(ax02-y0)/a(s)2(/2)2由解出x0并代入整理得y0(se)2(s)2对右边前两项利用根本不等式那么得y022a-1)/4a.于是,令(se)2(s)2,得(s)2.因此,当a1时,(y0)in2a-1)/4a;当0a1时,记(s)2x,那么式化为关于x的函数式y0f(x)x(0 x1).易证此函数是减函数,故此时(y0)inf(1).证毕.定理10.设AB是抛物线y22px的焦点弦,为坐标原点,那么三角形AB的面积的最小值为p2/2.y证明:(1)当ABx轴时,显然有SABp2/2;A(2)当AB不垂直x轴时,设AB:yk(x-p/2),代Fx入y22px并整理得k2