矩阵初等变换及应用

1、矩阵初等变换及应用王法辉摘要：矩阵初等变换是高等代数的重要组成部分。本文对初等变换进行了研究探 讨，详细介绍了与矩阵初等变换有关的基础知识。在阐述矩阵初等变换方法及应 用原理的基础上，首先重点讨论该方法在解决高等代数相关计算问题上的应用， 如求多项式的最大公因式、求逆矩阵解矩阵方程、求解线性方程组、判定向量的 线性相关性、化二次型为标准型、求空间的基等。尤其是利用矩阵初等变换法求 空间的基（解空间、特征子空间、核、值域等）的问题的计算，以具体实例生动的 展示出问题的内在关系，最后给出了该方法在解决实际问题中的应用。本文理论 分析与实际相结合，凸现了矩阵初等变换法直接、便利、有效的威力与作用。关

2、键词：矩阵初等变换；最大公因式；线性相关性；二次型；空间的基1导言在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的 系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过 程。在数学的学习和应用中，矩阵理论是高等代数的重要组成部分， 矩阵初等变 换方法更是贯穿高等代数理论的始终。应用初等变换证明命题过程容易被接受， 同时也是解决高等代数相关计算问题最直接、便利、有效的方法。止匕外，还有大 量的各种各样的，表面上看完全没有联系的问题的解决 ，都可以通过相同的方法 实现：矩阵的初等变换。因此，对矩阵初等变换方法及应用进行探讨，无疑是十分必要和重要的。目前，有许多文献

3、涉及到对矩阵初等变换方法该的讨论， 但比较零散。在研 读文献的基础上，对矩阵初等变换的内涵进一步挖掘，使矩阵初等变换方法的威 力作用得以充分展示是重要也是必要的。2矩阵及其初等变换2.1 矩阵由 mxn 个数 aj (i =1,2,，m, j =) ( i =1,2, , j =1,2，n)排成 m 行n 列 的数表a11a12an 1a21a22a2n卜一.*am1am2amn称为m行n列的矩阵，简称mxn矩阵。2.2 矩阵的初等变换及初等矩阵矩阵有行列之分，因此有如下定义定义1矩阵的初等行（列）变换是指如下三种变换（1）交换矩阵某两行（列）的位置，记为口（aCj）；（2）把某一行（列）的k

4、倍加到另一行（列）上，记为h +krj （。+kCj）；（3）用一个非零常数k乘以某一行（列），记为k1（心），k# 0;矩阵的初等行变换及初等列变换统称为矩阵的初等变换。定义2由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。有以下3种形式互换矩阵E的i行和j行的位置，得一11 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark2 o Current Document 011P(i,j)=P(i,j)=1 HYPERLINK l bookmark24 o Current Document 101用数域P种非零数C乘E的i行，得一1*c TOC o 1-5 h z HYPE

5、RLINK l bookmark35 o Current Document P(i(c)=1*:. 1把矩阵E的j行的k倍加到i行，有 HYPERLINK l bookmark19 o Current Document 一11*1 k HYPERLINK l bookmark45 o Current Document P(i,j(k)=H ：1 *I1定义3如果B可以由A经过一系列初等变换得到，矩阵A与B称为等价的2.3 矩阵初等变换的若干性质矩阵的初等变换改变了矩阵的元素，但矩阵初等变换具有以下性质(1)对矩阵A施行初等行(列)变换，其列(行)向量组之间的线性关系 保持不变。(2)对矩阵A施

6、行初等行变换相当于左乘相应的初等矩阵，施行初等列变 换相当于右乘相应的初等矩阵。(3)可逆矩阵可以表示成一系列初等矩阵的乘积。初等矩阵的逆矩阵也是 初等矩阵。(4)初等变换不改变矩阵的秩。3矩阵初等变换在高等代数计算问题中的应用矩阵初等变换与线性方程组的求解密不可分，不仅给解线性方程组带来了极 大方便，同时也发展和完善了矩阵理论本身，极大丰富了矩阵理论的应用领域。矩阵的初等变换方法更是贯穿高等代数理论的始终，在高等代数有关理论的证明 及相关计算问题中更是起着巨大的作用求多项式的最大公因式基本概念以Px表示数域P上的一元多项式环。定义1 (最大公因式)设f(x), g(x)是Px中两个多项式，P

7、x中多项式d(x)称为f(x), g(x)的一个最大公因式，如果它满足d(x)是 f(x), g(x)的公因式；f(x), g(x)的公因式全是d(x)的因式。定义2以Px中的一元多项式为元素的矩阵称为多项式矩阵。定义3以下3种变换称为多项式矩阵的初等行变换(1)交换多项式矩阵的某两行；(2)用零次多项式(P中不等于零的数)乘以多项式矩阵的某一行；(3)用一个多项式乘以多项式矩阵的某一行再加到另一行。且分别称以上三种变换为第1类，第2类，第3类多项式矩阵的初等行变换。 所说的初等行变换总是指多项式矩阵的行初等变换，所说的矩阵总是指多项式矩 阵。主要结果在高等代数中，求数域P上两个多项式的最大公

8、因式通常是利用辗转相除法， 当多项式的次数较高时，辗转相除法计算较繁琐。由于多项式辗转相除法主要表 现为系数间的运算，因此通常利用分离系数法，使运算相对简化。同样地，为了 简化求多项式最大公因式的运算，考虑将要求最大公因式的两个多项式的系数与 二行矩阵表示式对应起来。考虑 Px中的多项式f (x) =anxn anxnax 20回 : 0)g(x) -bmxm bmxm4bx bo(bm = 0)其中 ai bj P (i =0,1,2j|ln; j =0,1,2,川m),引入如下记号当 n=m时，(f(x),g(x) fn an，a1 a0；_bn bn 4b1 b0当 n m时，(f(x)

9、, g(x)当 n m时，(f(x), g(x)1一0an J0am 1am0bmai bia。bo由于多项式的最大公因式具有以下基本性质( f(x), g(x) = ( g(x), f(x)；(2)若(f (x), h(x) ) =1,则(f(x), g(x) ) = ( f(x) , g(x)h(x)；( f (x), g(x) = ( f(x)+kg(x), g(x) ) , kw P;因此，如上引入的二行矩阵反映了以下事实(1)交换二行矩阵两行的位置，得到的矩阵仍然对应这两个多项式的最大 公因式；(2)二行矩阵某一行的k倍加于另一行得到的矩阵仍然对应这两个多项式 的最大公因式。上述事实

10、意味着数域P上多项式的最大公因式(f(x), g(x)可以利用二行矩阵进行初等行变换求得。具体实施步骤为(1)根据多项式的系数作出(f(x), g(x)对应的二行矩阵；(2)利用第1、2类初等行变换使得二行矩阵中的行出现端首(左端或右端) 为0;(3)向左(或向右)平移二行矩阵中某行，使得这一行端首的0去掉。这表明(f (x) , g(x)的次数在降低。反复利用(1)、(2)、(3)直到出现二行矩阵的两行元素对应成比例为 止。计算举例例1已知数域P上的一元多项式一643532f(x)=x -7x +8x -7x+7, g(x)=3x -7x +3x -7求(f(x),g(x)。解构造二行矩阵A

11、并实施初等行变换0-7 80-7 30 -70 -770141471将第一行元素轮换使其首项不为零14-7141414-7-714-7将第一行元素轮换使其不为零2793-73-714-7将第二行元素轮换使其首项不为零28r1 -r21 27一 ?9.2279-72701r2194 r1 27-7243r2r114 01_7_ 一27-00-7 80-7 30 -70 -770141471将第一行元素轮换使其首项不为零14-7141414-7-714-7将第一行元素轮换使其不为零2793-73-714-7将第二行元素轮换使其首项不为零28r1 -r21 27一 ?9.2279-72701r219

12、4 r1 27-7243r2r114 01_7_ 一27-0270将第二行元素轮换使其首项不为零27IL-727-7|t-7 00 -7第二行除以(,1第二行元素共轮换过3次,所以最大公因式为d(x)=x3 +1 。_32_g(x)=2x -5x 4x+3,解构造三行矩阵A并进行初等行变换 TOC o 1-5 h z 1-2-44-310 -900A= 02/M3一工02 54 31-611-601-611-60一1一1对第二行进行轮换，使其首项不为 0 cT 2-5-43 0-6 11-6 0一1t 0L00-9-5 14-6 200010CC一1t 0L00-9-5 14-6 200010

13、CC轮换L / /303 -5 14-6 0-6 20-9 0 0300-6 0 00145103-935-101r2杂，3七1、门014510-942-10 0 00 1-9 0 010 -9 0 00 1CCC轮换cCCCC6 0 0 2 2 - 6 0 0 03 0 0_1 -3 0 0 0一102-9 0 03c c c 102-9 0 03c c c 轮换 C00 0 3 200 01_1-6 0 0 0-3 0 0 0所以(f(x),g(x),h(x) = x -3求逆矩阵解矩阵方程可逆矩阵定义若对n级矩阵A有n级矩阵B使AB = BA = E则称A是可逆的，B称为A的可逆矩阵。其

14、中E为n级单位矩阵初等变换求逆的原理和步骤由于可逆矩阵A可表示为一系列初等矩阵的乘积，故由 人二人=有npsa二enpsa = e因此有如下求逆步骤(1)构造nw2n的矩阵1A I E】；(2)对上述矩阵实行初等行变换，当用初等行变换把A化为单位阵，则E的 位置变成A的逆矩阵，即!A | E】t E I A/需要指出的是在此过程中只能用初等行变换。 如果用列变换，则需把E置于A的下方变成2nxn矩阵且只能使用列变换把 A化为单位矩阵，同时E化为A的逆矩阵，即利用与求逆矩阵相同的原理，矩阵初等变换可用于解矩阵方程。计算举例0-21例1求人=30-2的逆矩阵-2 3 0 一解构造矩阵，由0-210

15、-21a | E 】=30-2-230 HYPERLINK l bookmark6 o Current Document 10 000 1 0.t 30 0 1 -_0-211000-20109-4 0 2 330-201一叵30-201一叵t 0-211009-402-201011 0 019 4 6t 00-20t 00-2018-89912i一1 0114 6 t 0 1!2文-2) . c C460 00 6340 423= E IA，】1946一6 3 41得 A“= 4 2 3一6 3 41得 A“= 4 2 3：9 4 61一2例2设人=1:T1-312 -2 , B= 230一

16、 二2-110 ，求X使得AX = B5解构造矩阵C = A 1 E并实施初等行变换21-31-11J解构造矩阵C = A 1 E并实施初等行变换21-31-11J2 J2 /1,3+1C= 12-220-1 30-2512-2200 -31-3 -1 HYPERLINK l bookmark104 o Current Document 05005r3*-JT21T02由心书. 0-2012001 _ 一维-3 2一100-4201001= E I AB】：0 0 1-3 2-4得X =A-B= 0321123.3求解线性方程组有关概念与结论考虑n元线性方程组an”- anXa21X1 .a2

17、nXn =b2并记a11A =:ua n1-a11A =:ua n1-b/l,bn 1,a n1a11A =:anbannbn则得方程组的矩阵形式 AX = b。称一下三种变换：(1)用一非零的数乘以某方程；(2)把一个方程的倍数加到另一个方程；(3)互换两个方程的位置；为线性方程组的初等变换。利用方程组的初等变换求解线性方程组的过程的矩阵描述即为对系数矩阵A或者增广矩阵A进行初等行变换的过程。有关结论Ax = b有解u r(A) =r(A) =r，且当r =n时，有唯一解；当rn时,有无穷多解Ax=0恒有解u r(A)=r,当r = n时，有唯一零解；当rn时，有非零解3.3.2计算实例例1

18、求解齐次线性方程组x1 x2 - x3 2x4 x5 = 0X3 1 3x4 - x = 02x3 x4 - 2x5 = 0解对方程组的系数矩阵矩阵 A施行初等行变换1 1A= 0 01 1A= 0 00 0-1 213211 05031 +3,2 + 打0 13 1- ,0 0-50001110 00r3 X-=L)0 10 0 0 1 0 150 _J 0 0 10 _x1 - -x2同解的方程组小3=*5其中*2 , x5为自由未知量，设x2=C1,x5=C2 (C1。为 x4 =0任意实数)则通解为-xj-1101x220 x3=C10+ C21x400* 一0 一11例2求解非齐次线

19、性方程组2x1 - x2 - x3 + x4 = 2xx2 - 2x3 x4=44x1 -6x2 +2x3 -2x4 =43x1 +6x2 -9x3 +7x4 =9解对增广矩阵A施行初等行变换2-1-112 TOC o 1-5 h z -11-214A =4-62-24_36-979_10-104 HYPERLINK l bookmark102 o Current Document 0 1-10310-104 HYPERLINK l bookmark102 o Current Document 0 1-1030001-3-0 00 00 -x1 = x3x1 = x34x2 = x3 3X4

20、=- 3I11/ 一k为任意实数3.4判定向量组的线性关系求向量组的极大无关组基本概念定义1 (线性相关和线性无关)设有向量组0(1 a2,c(3 -t as ,如果有不全为0的一组数k1,k2,，ks,使k1ks： s =0称向量组线性相关，否则称为线性无关。定义2 (线性组合和线性表出)设有向量组 户23%及向量P ,若有数k1，k2,，ks,使一：=k-1ks： s称向量吕为向量组%,%,%1as的线性组合,也称B可由% ,a2P3Ps线性表 出。定义3 (向量组等价)设有向量组%产2户3尸s ( I )及3旦,P33 , (H)如果(I)中的每一个向量% (i =1,2,都可以有向量组

21、(H)线性表出， 那么称向量组%,支2P3Ps可由向量组 见久旦Pt线性表出；如果(I )与 (n)可以互相线性表出，称他们为等价。定义4 (极大无关组)如果一个向量组的部分组本身是线性无关的，并且从 这向量组中任意添一个向量(如果还有的话)，所得的向量组都线性相关，则向 量组的这个部分组称为一个极大线性无关组。有关结论(1)向量组期,a2。38线性相关U线性方程组Xi% +XsO(s =0有非零解；向量组久1P2 p3，as线性无关U线性方程组x1al +xs0(s =0只有零解。P可由%,0(2,a3久s线性表出U X10tl +xsc(s = P有解。因此，可以利用初等变换解决向量组的线

22、性相关性判定、求极大无关组的问题。计算举例例 求向量组 =(2,4,2)T , 口2=(1,1,0)二 口3 = (2,3,1)，口4 =(3,5,2)T 的极 大无关组及秩，并把其余向量用极大无关组线性表示。解令A =( a1, 口2，1a3，1a 4),对A施行矩阵初等行变换，得2123A=4135 -2123A=4135 -r23.0 12_2 12 30 111 一 X：。o o o_ I故。1,% 是%,2,.3%+%。3.5化二次型为标准型J1T0 11 1-3-T2?0 1 1 10 1 1 101110 0 0 0J,外的一个极大无关组，且1a3=%+%,2基本概念定义1 定义

23、1 (二次型及其标准型)设P是一数域，一个系数在数域 P中的Xi,X2Xn的二次齐次多项式Xi,X2Xn的二次齐次多项式2f (Xi, X2Xn) =aiiXi2a12X1X22ainXiXn22a22X2 一 一 2a2n X2Xn 一 一 annXn称为数域P上的一个n元二次型，简称二次型仅含平方项的二次型d1Xl2 d2X2 -，d2 n Xn称为标准型。aii定义2 (二次型的矩阵表示)记 A= a2iaaii定义2 (二次型的矩阵表示)记 A= a2iai2a22aina2nXiX2_anian2ann-X3 1f(X1, x2Xn) =xt AxA称为二次型的矩阵(AT A称为二次

24、型的矩阵(AT = A) o定义3 (合同矩阵)对数域P上有n x n矩阵A、B ,若有数域P上可逆矩B =CtAC ,称矩阵A与B合同。有关结论(i)数域P上任意一个n元二次型f(Xi，X2 ,Xn) = XTAx都可以经过非退化的线性替换X =Cy化为标准型。(2)任意一个对称矩阵合同于对角矩阵。初等变换化二次型为标准型的原理用初等变换法把二次型化为标准型，是对 2nM n矩阵1Al施行初等列变换的同时对A施以相应的行变换，当矩阵A化为对角阵时，单位矩阵E就化为所要求 的非退化变换矩阵Co即:ctacI C -A :ctacI C -E3.5.4计算举例例 用初等变换法化二次型f （Xi,

25、X2,X3）=2x； +x；+2xX2 -4X1X3+6X2X3为规范标准型，并写出相应的非退化线性变换。一2解二次型的矩阵A= 1-2131一21_ 1-210,0一20103010-2310010-2131一21_ 1-210,0一20103010-23100101241210-11C3 8c2,r3 8r2 ?得f（Xi，X2,X3）的标准型为2y；其中C =；11 2010031 - 33.6 求空间的基3.6.1基本概念一21010-0一201040100 14-1101012 0121031-3+ 31y2,所用的非退化线性变换为X = Cy,定义1 （线性空间） 设V是一个非空集

26、合，P是一个数域。对于V中任意两个元素a和P ,在V中都有唯一的一个元素不和它们对应,称为a和0的和，记为=豆+ P ,这种代数运算，叫做加法；对于任意数域 P中任一数k与V中任口，在V中都有唯一的一个元素&与它们对应，称为k与口的数量乘积，记为6=ku ,这种代数运算，叫做数量乘法。如果加法与数量:+- = -+:(a +P ) +Y=a+ ( P+Y)(3)在V中有一个元素0,对于V中任一元素a都有a +0=a (这个元素称为V的 零元素)(4)对于V中每一个元素a ,都有V中的元素P ,使得口 +P =0 ( P称为的负1 ： =：(6)(k+l)(6)(k+l)二=k 二 +l 二称V

27、为数域P上的线性空间定义2 (基与维数) 如果在线性空间V中有n个线性无关的向量，没有更多 数目的线性无关的向量，那么就称V是n维的。在n维线性空间V中，n个线性无关的向量称为V的一组基。易知，如果在线性空间V中有n个向量% ,a21，an线性无关，且V中任一向量都可以由它们线性表出，那么V是n维的，牛2,，叫就是V的一组基；在线 性空间V中，如果向量组%, %，明线性无关,而%,1M2,4n , B线性相关, 则向量P可以由%,S2，4n线性表出，且表示法唯一。定义3 (生成子空间)设巴尸2,尸n是线性空间V中的一组向量，则这组向 量所有可能的线性组合所成的集合是非空的，而且对两种运算封闭，

28、因而是V的一个子空间，叫做V的生成子空间，记为L(i，2，L，an)o定义4 (子空间的交与和)设Vi , V2是线性空间V的两个子空间，所谓Vi与V2的交，是指所有同时存在与Vi和V2的元素，记为V1CV2；所谓Vi与V2的和，是指由所有能表示成%+豆2, (Vi, 口2亡V2)的向量组合的子集合，记如果Vi , V2是线性空间V的两个子空间，那么他们的交V10 V2与和V1 + V2 也是V的子空间，分别称为交子空间与和子空间。定义5 （正交补空间）设Vi , V2是欧氏空间V的两个子空间，如果对于任意的a属于Vi, P属于V2恒有（s, P） =0则称Vi, V2为正交的，记为Vi_LV

29、2。如果Vi _L V2 ,并且Vi +V2 =V ,子空间V2称为Vi的一个正交补。定义6 （特征子空间） 设仃是V的线性变换，九w F ,则V=后 I a V,cr（a） = ?JO（ 是V的子空间，称为V的特征子空间。V是仃的不变子空间。定义7 （线性变换的值域和核）设。是线性空间V的一个线性变换，集合仃(V) =3（i）求Ax =0的解空间的基;(2)求A的零特征值 k=0的特征子空间Va的基;(3)设 V=L(g P2 P3 瓦)，求 V，的基；(4)求(,二23,0(4的极大无关组；(5)定义线性变换ox = Ax ,求仃,(0)的基；(6)求(5)中线性变换仃的值域仃(V)的基。

30、解(1)空间的基即为Ax =0的基础解系。由0203 2 3 -12 1 3 2 6 -21 3 9 1 o o OT0203 2 3 -12 1 3 2 6 -21 3 9 1 o o OT IJ 0 6 2 3 T- I-026 -20 3 9 1 o o O T - - 0 6 2 3 -12 O 340一 320一 3 1 O 1-32-30 O O 1 o O 1.1 0 o o,TIJ40- 320- 3 1 31-32-30 6O 10 91. 0 o o,T. _020一 313-12 一 3 O 6-21 O 91 o o O- TOC o 1-5 h z -Il-11得Ax

31、 =0的基础解系为之 HYPERLINK l bookmark141 o Current Document -2 得Ax =0的基础解系为之,所求基为亡= HYPERLINK l bookmark149 o Current Document 339一9 一(2)当 =0的时候，V=Ax = 0| x,xw pn,即所求空间的基为 Ax=0的一-11.-2基础解系，所以基为2=2 ;39 一外p(3)由题意由 34)=日？ = 0, (i=1, 2, 3, 4),即 / x=0,即 Ax = 0,3 3P 4 ；-11-23P 一由核的定义知,13230040由核的定义知/p>

32、310可得,C(1,C(2,a3p4的极大无关组为1,2, a4 ；灯(0) =V,(九0 = 0),所求基为士=一-11-23? 一(6)(6)0(V) = 1(。(露)，。(名2)，仃(83)，0(84)，而(二(；),；了( ；2),二(；3),二(；4)=( ；1, ；2,；3,；4)A所以cr(V)的基为A的列向量组的极大无关组对应的仃(a),仃(82)，(%)，。(84)的极大无关组,即基为0(81),0(82),0(84) 0其中，0(马)=22/十2% +3% ，仃(%) = 2鸟 +4一% +3% ,仃(名4) =6% +2% + 3名4。4矩阵初等变换在实际问题中的应用矩阵

33、初等变换不仅可以用于解决高等代数计算问题，在现实生活中，也有 许许多多的问题可以用矩阵初等变换来解决。例 现有一个木工、一个电工、一个油漆工，三人相互同意彼此装修他们自 己的房子，在装修之前，他们达成了如下协议(1)每人总共只工作10天(包括给自己家干活在内)；(2)每人的工资根据一般的市价在6080之间；(3)每人的日工资数似的每人的总收入与总支出相等。8x1 x8x1 x2 6 x3 =0 4x1 - 5x2 x3 = 0 4x1 4x2 _ 7x3 = 0表1各工种工作天数:I在木工家工作天数216在电工家工作天数451在油漆工家工作天数443解 设木工、电工、油漆工的工资分别为 Xi,

34、X2,X3，由题意得2x1 x2 6x3 =10 x14x1 +5x2 +x3 =10 x2即4x1 4x2 3x3 = 10 x3对系数矩阵A作初等行变换得-81A= 4-5/46 I-81A= 4-5/46 I-01_ 1!1J222T0-9-9-7_448 -08 - 12T 0-7J40-940【87其同解方程组为9x2 -8x3 = 04x1 +4x2 -7x3 = 031x1 = TT x3一 x1 I一 x1 I361x2 =|8k(kw )60,80),8x2 =9x3x3 =k-x11621当 k =72 时，x2 = 64。W 1 7215结语本文主要对矩阵初等变换的作用作

35、了简单的介绍。通过对一些概念的表述和 部分原理的推导，用矩阵的初等变换解决了高等代数计算中的多种问题以及现实 生活中的一些问题，并通过解决这些问题进一步说明了矩阵初等变换的作用。本文的突出点是对矩阵初等变换解决问题的方法进行了详细的阐述，简单明了，并将能解决的各种问题加以分类和归纳，比各种代数书籍更为具体。参考文献1高吉全.矩阵初等变换的方法和应用研究M.北京：中国工人出版社,2000:96-1082王萼芳，石生明修订.高等代数M.(第三版).北京：高等教育出版社,2003:12-183张文博等译.线性彳弋数M.北京：机械工业出版社,2007:66-764李志斌.线性彳弋数M.北京：机械工业出

36、版社,2006:80-965蔡若松，张莉.初等变换浅议J.辽宁工学院学报.2002. (22):63-656凌征求.矩阵初等变换的几个应用J.玉林师范学院学报.2001. (22):37-407邓建松等译.Mathematica使用指南M.科学出版社,20028刘水强，王绍恒.利用矩阵行变换求解方程组J.重庆三峡学院学报.2001.(05):42-459杨民生.矩阵初等变换的应用J.安庆师范学院学报(自然科学版).1995.(03):55-5810王玲.初等变换与可逆矩阵J.锦州师范学院(自然科学版).2000.(02):39-4211欧启通.矩阵初等变换的应用J.甘肃联合大学学报(自然科学版

37、).2007.(03):55-6012谢芳.矩阵初等变换的若干应用J.绍通师范专科学院学报.2004.(02) :21-2513谭军.矩阵初等变换的一些性质和应用J.郑州航空工业管理学院学报.2002.(24) :50-5414FENG Tian-xiang,TAN Ming-shu.Applications of elementary transformation in matrix computationJ.黑龙江大学自然科学报.2004.(04):23-2715XIONG Hui-jun.A Criterion for the Positive definiteness of a Blo

38、ck-Matrix and ItsApplicationsJ.湖南文理学院学报(自然科学版)2006. (04) :33-36附录：开题报告矩阵初等变换及应用1选题背景在线性方程组的讨论中可以发现， 线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程。此外，还有大量的各种各样的，表面上看完全没有联系的问题的解决，都可以通过相同的方法实现：矩阵的初等变换。因此矩阵初等变换就成为极其重要的一个知识点。1. 1研究的目的和意义在数学的学习和应用中，矩阵理论是高等代数的重要组成部分，矩阵初等变换方法更是 贯穿高等代数理论的始终。应用初等变换证明命

39、题过程容易被接受，同时也是解决高等代数相关计算问题最直接、便利、有效的方法。因此，对矩阵初等变换方法及应用进行探讨，无 疑是十分必要和重要的。目前，已有许多文献涉及到该问题的讨论，研读现有文献，吸取精华，在深刻理解矩阵 初等变换内涵的基础上，理论分析与实例应用相结合，讨论、挖掘矩阵初等变换在解决高等 代数相关问题中的作用， 如：解线性方程组、 求向量组的极大无关组和线性关系、求逆矩阵和解矩阵方程、求解空间（特征子空间、生成子空间）的基、求交子空间（和子空间、核子 空间、正交补空间）的基、求多项式的最大公因式、化二次型为标准型等，使矩阵初等变换 方法的威力作用得以充分展示。1. 2研究方法目前，

40、有许多文献涉及到对矩阵初等变换方法该的讨论，但比较零散。在研读文献的基础上，深刻理解矩阵初等变换的内涵，采用理论分析与实例应用相结合的方法，讨论、挖掘矩阵初等变换在解决高等代数相关问题中的作用，如：解线性方程组、求向量组的极大无关组和线性关系、求逆矩阵和解矩阵方程、求解空间（特征子空间、生成子空间）的基、求交 子空间（和子空间、核子空间、正交补空间）的基、求多项式的最大公因式、化二次型为标 准型等，使矩阵初等变换方法的威力作用得以充分展示。2文章结构论文总共分为五个部分。其中第一部分为导言，主要介绍选题的背景；第二部分介绍矩 阵初等变换方法及有关性质；第三部分为矩阵初等变换在高等代数相关问题中

41、的应用，如求多项式的最大公因式、解线性方程组、求向量组的极大无关组和线性关系、求逆矩阵和解矩阵方程、求解空间（特征子空间、 生成子空间、核子空间、正交补空间）的基、化二次型等； 第四部分为实际应用问题；第五部分为文章的结束语，简要概括论文的工作。具体框架如下：导言矩阵及其初等变换矩阵定义矩阵的初等变换及初等矩阵矩阵初等变换的若干性质矩阵初等变换在高等代数计算问题中的应用.求多项式的最大公因式矩阵初等变换与线性方程组的求解密不可分，不仅给解线性方程组带来了极大方便，同时也发展和完善了矩阵理论本身，极大丰富了矩阵理论的应用领域。首先定义多项式矩阵的行初等变换，然后利用多项式的基本性质推广定理，给出

42、利用矩阵的初等行变换求多项式的最大公因式计算实例.求逆矩阵解矩阵方程首先给出可逆矩阵定义，其次阐述矩阵初等变换求逆的原理和步骤：由于可逆矩阵 A可表示为一系列初等矩阵的乘积，故有A“A = E有% PsA = E% PSA = E有如下求逆步骤构造nx 2n的矩阵IA I E对上述矩阵实施初等行变换，当用初等变换把A化为单位阵，则 E的位置变成 A的逆矩阵，即IA | E L E | A同时有A _i警里t e _E N最后给出计算实例。求解线性方程组现区+ &nXn =b1考虑n元线性方程组a21 X1 十一+ a2nXn =b2+ annXn =bn首先介绍线性方程组的初等变换的概念，其次

43、阐述方程组解的情况(齐次、非奇次)，最后以实例实现矩阵初等变换解方程组的方法。判定向量组的线性关系求向量组的极大无关组首先阐述有关概念， 如线性相关和线性无关、线性组合和线性表出、向量组等价、 极大无关组等，其次给出有关结论及原理，如(1)向量组0tl,口2 p31as线性相关 之 线性方程组X1% +xss =0有非零解向量组支1,0(2,口31Ms线性无关U线性方程组Xi 口 i +Xss =0有唯一零解。 口可由口1,0(2,口31as线性表出u XiJ +XsUs = P有解最后给出计算实例。化二次型为标准型首先阐述有关概念，如二次型及其标准型；其次给出有关理论，如(1)数域P上任意一个n元二次型f (X1, X2Xn) XT Ax都可以经过非退化的线性替换X