高等数学教学课件：4-4 有理函数的积分

1、第四节 有理函数的积分有理函数的积分小结 思考题 作业可化为有理函数的 积分举例rational function第四章 不定积分1基本积分法: 换元积分法;分部积分法初等函数求导初等函数积分例如,下列函数积分都不是初等函数直接积分法;在概率论、数论、光学、傅里叶分析等领域有重要应用的积分,都属于“积不出”的范围.2有理函数的定义两个多项式的商表示的函数称之.有理函数的积分一、有理函数的积分假定分子与分母之间没有公因式真分式;假分式.3例多项式的积分容易计算.真分式的积分.只讨论:多项式真分式有理函数的积分有理函数相除多项式 + 真分式分解若干部分分式之和4 对一般有理真分式的积分,代数学中下

2、述定理起着关键性的作用.定理有理函数的积分5部分分式(最简分式).有理函数的积分6 用此定理有理函数的积分就易计算了.且由下面的例题可看出: 有理函数的积分是初等函数.注系数的确定,一般有三种方法:(1) 等式两边同次幂系数相等;(2) 赋值;(3) 求导与赋值结合使用.有理函数的积分7例 求解由多项式除法,有 说明:当被积函数是假分式时,应把它分为一个多项式和一个真分式,分别积分.假分式有理函数的积分8例 求解 比较系数 因式分解有理函数的积分9有理函数的积分10代入特殊值来确定系数取取取并将 值代入例 求解(1)(1) 赋值有理函数的积分11于是有理函数的积分12例 求 解 比较系数 二次

3、质因式有理函数的积分13有理函数的积分14注任意有理真分式的不定积分都归纳为下列其中A,B, a, p, q都为常数, 分别讨论上述几种类型的不定积分.并设四种典型部分分式的积分之和.n为大于1的正整数.有理函数的积分15有理函数的积分16有理函数的积分17有理函数的积分18有理函数的积分19用递推公式有理函数的积分20应重点提高计算的(1) 部分分式法;此法一般运算较繁.(2) 拆项法;(分项积分法)(3) 换元法;(4) 配方法.有理函数积分是三角函数有理式积分、无理函数积分的基础,熟练程度和技巧,一般有以下方法:有理函数的积分21例 求 分析解原式= 分项 凑微分从理论上看,可用部分分式

4、法,但计算复杂,故不宜轻易使用,应尽量考虑其它方法. 约去公因子有理函数的积分 配方22 例 求 解原式=这是有理函数的积分.如按部分分式法很麻烦.使分母为单项,作变换分析分母是100 次多项式,如作一个适当的变换,而分子为多项,除一下,化为和差的积分.有理函数的积分23或 分项有理函数的积分24技巧有理函数的积分 例 求 解原式=25例 求 解是二次质因式,原式=递推公式法一不能再分解.有理函数的积分26 求 解原式=回代递推公式法二有理函数的积分27 求解令练习指数代换有理函数的积分28有理函数的积分29 求 求 求 练习有理函数的积分30三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四则

5、运算构成的函数称之.一般记为如有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例 1. 三角函数有理式的积分和分部积分法讨论过一些.对于三角函数有理式的积分,曾用换元法 是否任何一个三角函数有理式的积分都有原函数 回答是肯定的.?31 由三角学知识可通过变换事实上,由半角变换(或称万能代换）则表示.化为有理函数的积分.有理函数的积分32u的有理函数有理函数的积分33例 求解由万能代换有理函数的积分34回代有理函数的积分35例 求解 法一回代有理函数的积分36 法二修改万能代换公式令有理函数的积分说明及的有理式的积分时,更方便.用代换通常求含37 法三不用万能代换公式 比较以上三种解法,便知万能代换不一

6、定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能代换.结论有理函数的积分38当三角函数有理式即例 求解 具有某种对称性时,用下述变换较简单.有理函数的积分39 求解 练习有理函数的积分40即例 求解 有理函数的积分41即例 求解 (属上述类型)有理函数的积分42或分子分母同乘以分项有理函数的积分43(1) 尽量使分母简单.基本思路或分子分母同乘以某个因子,把分母化为的单项式,或将分母整个看成一项.(2) 尽量使的幂降低.用倍角公式或积化和差公式以达目的.为此常利有理函数的积分44练习解 法一法二分子分母同乘以有理函数的积分45例 求解妙用有理函数的积分46分项有理函数的积分47

7、有理函数的积分练习 1994年考研数学一, 5分解 分子分母同乘以分项48类型解决方法作代换去掉根号.通常先将配方,再用三角变换化为三角函数有理式的积分或直接利用积分公式计算.有理函数的积分2. 简单无理函数的积分49回代例 解 令原式=有理函数的积分50例 求解先将无理函数的分子或分母有理化.分析原式有理函数的积分51例 解令则原式=回代有理函数的积分52有理函数的积分练习 1993年考研数学一, 5分解 令 分部积分 回代53有理函数的积分练习解 法一 三角代换 法二 倒代换 542. 简单无理式的积分.有理式分解成部分分式之和的积分.（注意：必须化成真分式）1. 三角有理式的积分.（万能代换公式）（注意：万能公式并不是最佳代换）有理函数的积分三、小结可化为有理式的积分.55思