高等数学教学课件：10-7 斯托克斯公式

1、第七节 斯托克斯(stokes)公式 环流量与旋度斯托克斯公式物理意义-环流量与旋度小结 思考题 作业circulationcurl 斯托克斯 Stokes,G.G. (18191903) 英国数学家、物理学家第十章 曲线积分与曲面积分1 本节介绍空间曲面积分与曲线积分并同时介绍向量场的两个重要概念斯托克斯公式.环量与旋度.之间的关系斯托克斯(Stokes)公式 环流量与旋度2一、斯托克斯(Stokes)公式斯托克斯公式定理为分段光滑的空间有向闭曲线,是以边界的分片光滑的有向闭曲面,具有一阶连续偏导数,则有公式斯托克斯(Stokes)公式 环流量与旋度3 即有其中方向余弦.是指定一侧的法向量斯

2、托克斯(Stokes)公式 环流量与旋度4的正向与的侧符合右手规则: 当右手除拇指外的四指依 的绕行方向时, 是有向曲面 的正向边界曲线右手法则拇指所指的方向与上法向量的指向相同.是有向曲面的正向边界曲线.称斯托克斯(Stokes)公式 环流量与旋度5斯托克斯(Stokes)公式 环流量与旋度(3) 在坐标面上,应用格林公式把(2)得到的平面闭曲线积分化为二重积分.因此斯托克斯公式是格林注证明思路(1) 把曲面积分化为坐标面上投影域的二重积分;(2) 把空间闭曲线上的曲线积分化为坐标面上的闭曲线积分;分三步当为 xOy 坐标面上的平面区域时,斯托克斯公式就是格林公式,公式在曲面上的推广.6另一

3、种形式上述形式便于记忆.斯托克斯(Stokes)公式 环流量与旋度7Stokes公式的实质 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.斯托克斯(Stokes)公式 环流量与旋度8解法一按斯托克斯公式,计算曲线积分例其中被三坐标面所截成的三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则.有斯托克斯(Stokes)公式 环流量与旋度9对称性斯托克斯(Stokes)公式 环流量与旋度10按斯托克斯公式, 法二有斯托克斯(Stokes)公式 环流量与旋度11解则计算曲线积分例其中截立方体:的表面所得的截痕,若从Ox轴的正向看去,取逆时针方向.取为平面的上侧被所围成

4、的部分.在xOy面上的投影为斯托克斯(Stokes)公式 环流量与旋度12即斯托克斯(Stokes)公式 环流量与旋度131.环流量的定义circulationcurl环流量.二、物理意义-环流量与旋度设向量场斯托克斯(Stokes)公式 环流量与旋度14利用Stokes公式, 环流量斯托克斯(Stokes)公式 环流量与旋度152. 旋度的定义斯托克斯(Stokes)公式 环流量与旋度16解例斯托克斯(Stokes)公式 环流量与旋度17斯托克斯公式的又一种形式其中斯托克斯(Stokes)公式 环流量与旋度18斯托克斯公式的向量形式其中斯托克斯(Stokes)公式 环流量与旋度19Stoke

5、s公式的物理解释环流量斯托克斯(Stokes)公式 环流量与旋度20斯托克斯Stokes公式斯托克斯公式的物理意义环流量与旋度斯托克斯(stokes)公式 环流量与旋度三、小结Stokes公式的实质 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.(注意使用的条件)21 计算 其中是球面 (1) 用对面积的曲面积分;(2) 用对坐标的曲面积分;(3) 用高斯公式;(4) 用斯托克斯公式.斯托克斯(Stokes)公式 环流量与旋度的上半部,是它的边界.思考题22 解答(1) 原式=斯托克斯(Stokes)公式 环流量与旋度23(2)原式=(3) 补平面原式=斯托克斯(stokes)公式 环流量与旋度