河海第二章稳态热传导

1、河海第二章稳态热传导第1页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五 2-3 典型一维稳态导热问题的分析解2-1 导热基本定律-傅里叶定律2-5 具有内热源的一维导热问题2-4 通过肋片的导热2-2 导热问题的数学描写2-6 多维稳态导热的求解第2页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五2-1 导热基本定律傅里叶定律回顾定义第3页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五第4页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五一、温度场第一章中 （1-2） 的适用条件为一维均匀导热问题，如图 0 xt第5页，共105页，2022年，5月20日，1点1

2、分，星期五试问：如图 ， 式（1-2）可用吗?（多维） 0yx 不能！因为t同时在x、y方向变化， 变化（在x方向上） 温度场、等温线概念 （2-1） （2-2） 变化（在y方向上） 第6页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五温度场 Temperature field： 各时刻物体中各点温度所组成的集合 -温度分布 物体中任一点温度 若 ，则为稳态温度场若 ，则为非稳态温度场平行平面间的温度场 稳态一维温度场对应 非稳态导热 非稳态温度场 稳态导热 稳态温度场 第7页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五第8页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星

3、期五引入温度变化率：傅里叶定律为 ， ， （在x方向传导的热量，在y方向上亦类似 ) （2-3） （2-4） 0yx第9页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五二、向量形式的傅里叶定律 、温度梯度如图，等温面（ ， ， ） 梯度指向量变化最剧烈方向，法向方向，则温度梯度为在空间坐标，则q=?第10页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五2、傅里叶定律的向量表达式 （2-5） 热流密度矢量可见：（1）热流方向同温度梯度方向相反；（2）热流线（方向）垂直于等温线。 见图 第11页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五说明第12页，共105页，2022

4、年，5月20日，1点1分，星期五三、导热机理及导热系数（一）导热系数实际值由专门实验测定（二）其定义式由傅里叶定律的数学式给出， （2-6） 第13页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五 第14页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五第15页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五分子热运动第16页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五第17页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五第18页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五第19页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五第20页，共

5、105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五第21页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五（三）导热系数同温度的关系（1）与有关！为某温度下的常用材料的见附录211 （2）具有线性关系 常用保温、隔热材料的 值见附录4 1992年国家标准规定：导热系数小于0.12w/（mk）20世纪50年代是0.23，80年代是0.14，第22页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五第23页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五（四）同空间方向的关系各向同性材料（恒同） 各向异性材料， 例：枕木，垂直木纹方向平行木纹方向P557 附录3 松木第24页，共1

6、05页，2022年，5月20日，1点1分，星期五 2-2 导热问题的数学描写 （ 一）一维导热积分为常数时一、导热微分方程第25页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五（二）多维导热 ， ， ，即t 在x，y，z，方向均有变化，且随时间变化如图：在物体内取一微元平行六面体， 设物体各向同性。 存在6为常数gradt？或q？t=f（x,y,z,）？傅里叶定律+热力学第一定律第26页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五非稳态时热力学能（内能）增量：内热源生成热：6内热源：例如电器及线圈中有电流通过时的发热，化工中的放热、吸热反应以及核能装置中燃料元件的放射反应等。

7、 w/m3第27页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五在x、y、z方向上， 流入热流量： （a） 第28页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五 流出热流量： 同理： （b） 非稳态时热力学能（内能）增量：内热源生成热：（d） （e） 第29页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五根据热平衡方程（热力学第一定律）（2-7） 式（a）（b）（d）（e）代入（c）并整理流入的总热流量+内热源生成的热量 =内能增量+流出的总热流量 （C）+=U导入微元体的净热流内热源生成热第30页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五（2-8） 式中

8、，定义 热扩散率（导温系数） a的物理意义：反映物体导热时使内部温度趋向均匀 的能力大小a内部温度变化得越快 式（2-8）为常物性、非稳态、有内热源的导热微分方程式一般形式的导热微分方程式（三）导热微分方程式的几种形式1、导热系数=const第31页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五第32页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五2、导热系数为常数，无内热源： 3、常物性、稳态： 4、常物性、无内热源、稳态：（2-9） （2-10） （2-11） 第33页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五（五）圆柱坐标或球坐标中的导热微分方程式 针对式（2

9、-7），转换成圆柱坐标（对于轴对称物体）：（2-12） 第34页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五球坐标（适用于点对称物体）：（2-13） 注：（1）无内热源、稳态导热， 令 ， 即可。 （2）无内热源的稳态一维、二维导热， 再令 （或 ） 第35页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五 导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律+能量守恒。它描写物体的温度随时间和空间变化的关系；没有涉及具体、特定的导热过程，是通用表达式。单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条件。二、定解条件（2-7） 通解定解？包括四项：几何、物理、初始、边界第36页，共105页，2022年，

10、5月20日，1点1分，星期五1、几何条件：2、物理条件：3、初始条件：、边界条件:完整数学描述：导热微分方程 + 单值性条件 说明导热体的几何形状和大小，如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等。 说明导热体的物理特征如：物性参数 、c 和 的数值，是否随温度变化；有无内热源、大小和分布。又称时间条件，反映导热系统的初始状态。 反映导热系统在界面上的特征，也可理解为系统与外界环境之间的关系。第37页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五（Boundary conditions）边界条件常见的有三类 （）第一类边界条件:该条件是给定系统边界上的温度分布，它可以是时间和空间的函数，也可以为给

11、定不变的常数值tw=常量 t=f(y,z,) 0 x1 x （2）第二类边界条件:该条件是给定系统边界上的温度梯度，即相当于给定边界上的热流密度，它可以是时间和空间的函数，也可以为给定不变的常数值qw=常量0 x1 x 第38页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五（3）第三类边界条件:该条件是第一类和第二类边界条件的线性组合，常为给定系统边界面与流体间的换热系数和流体的温度，这两个量可以是时间和空间的函数，也可以为给定不变的常数值 0 x1 x 导热微分方程单值性条件求解方法 温度场（2-17）第39页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五（4）辐射边界条件（

12、2-19）(5) 接触边界条件. 数学表达形式：第40页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五导热微分方程式（为常数）非稳态、无内热源： 稳态、有内热源： 稳态、无内热源：（2-9） （2-10） （2-11） 一般形式： （2-8） 2-3 典型一维稳态导热问题的分析解（2-7） 导热微分方程式（为变量）第41页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五（一） 单层平壁的导热a 几何条件：单层平板； b 物理条件：、c、（常数） 已知；无内热源 c 时间条件： d 边界条件：第一类一、通过平壁的导热1、求温度分布 dx第42页，共105页，2022年，5月20日，

13、1点1分，星期五根据上面的条件可得：第一类边条：微分方程边界条件导热微分方程单值性条件求解方法 温度场第43页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五直接积分，得其温度分布通解：带入边界条件：求解方法第44页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五得 温度分布： 呈线性分布 若 由ot1tt2第45页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五2、求热流密度 根据傅里叶定律 对式 求导： （2-21） （2-20）第46页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五3、导热热阻定义面积热阻： （2-23） 热阻对于研究多层平壁导热问题很有用第47

14、页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五（二）通过多层平壁的导热（为常数）1、以三层为例： a)求导热量：（，材料，尺寸） ， ， 则 （2-24） n层：（2-25） 11 22 33第48页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五b)求界面温度 ， 又 注意：（a）每层线性分布，tx （b）每层线性分布之斜率不一定相同 （2-26） 第49页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五2、对于多层平壁（设n层）则 问：现在已经知道了q，如何计算其中第 i 层的右侧壁温？第一层： 第二层：第 i 层： 第50页，共105页，2022年，5月20日，1点

15、1分，星期五 导热环节越多，串联的热阻就越多，总热阻相对来说就越大，相同温差下传递的热量越少，越有利于隔热。第51页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五 在推导多层壁导热的公式时，假定了两层壁面之间是保持了良好的接触，要求层间保持同一温度。而在工程实际中这个假定并不存在。因为任何固体表面之间的接触都不可能是紧密的。t1t2txt 在这种情况下，两壁面之间只有接触的地方才直接导热，在不接触处存在空隙。 热量是通过充满空隙的流体的导热、对流和辐射的方式传递的，因而存在传热阻力，称为接触热阻。 第52页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五 接触热阻是普遍存在的，而

16、目前对其研究又不充分，往往采用一些实际测定的经验数据。 通常，对于导热系数较小的多层壁导热问题接触热阻多不予考虑；但是对于金属材料之间的接触热阻就是不容忽视的问题。 第53页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五【例】锅炉炉墙由三层材料组成：内层为耐火砖，厚度为230 mm，导热系数为1.1 W/(mK)；中间层为石棉隔热层，厚度为60 mm，导热系数为0.1 W/(mK)；外层为红砖，厚度位240 mm，导热系数为0.58 W/(mK)。已知炉墙内外表面的温度分别为500和50，试求通过炉墙的热流密度与各层接触面处的温度。 解：由 qt/ (RAi)(t1-t4)/(1/1+

17、 2/2+ 3/3） 又因： 1/10.21 (m2K)/W 1/10.60 (m2K)/W 1/10.41 (m2K)/W 所以：q368.9 W/m2由 tit1-q ( i-1/i-1)所以： t2t1-q (1/1)422.5 t3t2-q (2/2) t1-q (1/1+ 2/2) 201.2第54页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五解：第55页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五为常数 如图，认为一维导热 (,)二、通过圆筒壁的导热1、条件：无内热源、稳态、 第56页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五2、基本方程：（2-25

18、） 积分一次： 再积一次： （i） 用圆柱坐标，有导热微分方程式 （2-12） 第57页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五3、定解条件 边界条件 代入式（i） 于是，式（i）成为 第58页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五4、温度分布（2-28） 5、热流量变化（2-30） 对数分布由式（2-28），温度梯度（2-29） （2-29） 第59页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五6、热阻 （2-31） 则： 第60页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五7、多层圆筒壁的导热热流量（由多层平壁扩展来） 三层： （2-32）第61页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五内容回顾第62页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五平壁：一维稳态导热问题第63页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五圆管：第64页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五三、各向同性的变导热系数 变截面 的处理方法 1、一维稳态无内热源的情况 分离变量，积分： =第65页，共105页，2022年，5月20日，1点1分，星期五2 无内热源，A为常数，不为常数0、b为