线性规划应用案例

1、线性规划应用案例市场营销应用案例一：媒体选择在媒体选择中应用线性规划的目的在于帮助市场营销经理将固定的广告 预算分配到各种广告媒体上，可能的媒体包括报纸、杂志、电台、电视和直接 邮件。在这些媒体中应用线性规划，目的是要使宣传范围、频率和质量最大化。 对于应用中的约束条件通常源于对公司政策、合同要求及媒体的可用性。在下 面的应用中，我们将介绍如何应用线性规划这一工具来建立模型进而解决媒体 选择问题。REL 发展公司正在私人湖边开发一个环湖社区。湖边地带和住宅的主要市 场是距离开发区100英里以内的所有中上收入的家庭。 REL公司已经聘请BP&J 来设计宣传活动。考虑到可能的广告媒体和要覆盖的市场

2、，BP&J建议将第一个月的广告局限于5种媒体。在第一个月末，BP&J将依据本月的结果再次评估它的广告策略。 BP&J已经收集到了关于受众数量、广告单价、各种媒体一定周期内可用的最大 次数以及评定5种媒体各自宣传质量的数据。质量评定是通过宣传质量单位来 衡量的。宣传质量单位是一种用于衡量在各个媒体中一次广告的相对价值的标 准，它建立于BP&J在广告业中的经验，将众多因素考虑在内，如受众层次（年 龄、收入和受众受教育的程度）、呈现的形象和广告的质量。表 4-1列出了收集 到的这些信息。表4-1 REL发展公司可选的广告媒体广告媒体预计受众人数广告售价（美元）每月最多可用时间宣传质量单位1.白天电视

3、1000150015652.晚间电视2000300010903.每日报纸150040025404.周日报纸杂志（半彩色）周 日新闻250010004605.电台早8:00或晚5:00新闻3001003020（30 秒）KNOP?REL发展公司提供给BP&J第一个月广告活动的预算是 30000美元。而且，REL公司对BP&改口何分配这些资金设置了如下限制：至少要使用10次电视广告， 达到的受众至少要有50000人，并且电视广告的费用不得超过 18000美元。应 当推荐何种广告媒体选择计划呢？案例二：市场调查公司开展市场营销调查以了解消费者个性特点、态度以及偏好。专门提供 此种信息的市场营销调查公

4、司，经常为客户机构开展实际调查。市场营销调查 公司提供的典型服务包括涉及计划、开展市场调查、分析收集数据、提供总结 报告和对客户提出意见。在调查设计阶段，应当对调查对象的数量和类型设定 目标或限额。市场营销调查公司的目标是以最小的成本满足客户要求。市场调查公司（MSI）专门评定消费者对新的产品、服务和广告活动的反 映。一个客户公司要求 MSI帮助确定消费者对一种近期推出的家具产品的反应。 在与客户会面的过程中，MSI统一开展个人入户调查，以从有儿童的家庭和无儿 童的家庭获得回答。而且 MSI还同意同时开展日间和晚间调查。尤其是，客户 的合同要求依据以下限制条款进行 1000个访问：至少访问40

5、0个有儿童的家庭；至少访问400个无儿童的家庭；晚间访问的家庭数量必须不少于日间访问的家庭数量；至少40%T儿童的家庭必须在晚间访问；至少60%儿童的家庭必须在晚间访问。因为访问有儿童的家庭需要额外的访问时间，而且晚间访问者要比日间访 问者获得更多收入，所以成本因访问的类型不同而不同。基于以往的调查研究， 预计的访问费用如下表所示：访问费用家庭情况日间（美元）晚间（美元）有儿童2025无儿童1820以最小总访问成本满足合同要求的家庭一一时间访问计划是什么样的呢？财务应用案例一：投资组合投资组合选择问题所涉及的情况是财务经理从多种投资选择中选择具体的 一些投资，如股票和债券、共有基金、信用合作社

6、、保险公司等等，银行经理 们经常会遇到这样的麻烦。投资组合选择问题的目标函数通常是使预期收益最 大化或使风险最小化。约束条件通常表现为对准许的投资类型，国家法律，公 司政策，最大准许风险等方面的限制。对于此类问题，我们可以通过使用各种 数学规划方法建立模型进而求解。此节中，我们将把投资组合选择问题作为线 性规划问题来求解。假设现在有一家坐落于纽约的威尔特（ Welte）共有基金公司。公司刚刚完 成了工业债券的变现进而获得了 100,000美元的现金，并正在为这笔资金寻找 其他的投资机会。根据威尔特目前的投资情况，公司的上层财务分析专家建议 新的投资全部投在石油、钢铁行业或政府债券上。分析专家已

7、经确定了5个投资机会，并预计了它们的年收益率。表 4-3是各种投资及它们的收益率。投资预期收益率（% TOC o 1-5 h z 大西洋石油7.3太平洋石油10.3中西部钢铁6.4Huber车冈铁7.5政府债券4.5威尔特的管理层已经设置了以下的投资方针：.在任何行业（石油或钢铁）的投资不得多于 50000美元。.对政府债券的投资至少相当于对钢铁行业投资的25%.对太平洋石油这样高收益但高风险的投资项目，投资额不得多于对整个石 油行业投资的60%可使用的100,000美元应该以什么样的投资方案（投资项目及数量）来投 资呢？以预期收益最大化为目标，并遵循预算和管理层设置的约束条件，我们可以通过建

8、立并解此问题的线性规划模型来回答它。解决方案将为威尔特共有 基金公司的管理层提供建议。案例二：财务计划威尔特公司建立了一项提前退休计划，作为其公司重组的一部分。在自愿 签约期结束前，68位雇员办理了提前退休手续。因为这些人的提前退休，在未 来的8年里，公司将承担以下责任，每年年初支付的现金需求如下表所示：年份12345678现金需求430210222231240195225255公司的财务人员必须决定现在应将多少数量的钱存放在一边，以便应付8年期的负债到期时的支付。该退休计划的财务计划包括政府债券的投资及储蓄。对于政府债券的投资限于以下 3种选择：彳贝芬价格(美元)利率到期年数111508.8

9、755 I21000F 5.500631350,11.7507 n政府债券的面值是1000美元，这意味着尽管价格不同，在到期时，也都支 付1000美元。表中所示的比率是基于面值的。为了制定这个计划，财务人员假 设所有没投资于债券的资金都将用于储蓄，且每年可获得4%勺利息。我们定义如下决策变量：F=退休计划所形成的8年期债务所需第一年的总金额，B1=在第一年年初买入的债券1的单位数量,B2=在第一年年初买入的债券2的单位数量,B3=在第一年年初买入的债券3的单位数量，Si=在第i年年初投资于储蓄的金额(i=1 , 28)目标函数用于求出满足退休计划带来的8年期债务所需资金的最小值，即Min F。

10、这类财务计划问题的重要特点是必须为每年计划范围写出约束条件。大体 上，每个约束条件都采用下面的形式：年初可使用资金-投资于债券与储蓄的资金=该年现金支付责任生产管理应用案例一：制造或购买决策我们利用线性规划来决定生产一些零配件时，一个公司每一种分别应该生 产多少，又应该从外部购进多少。像这样的决策叫做“制造或购买决策（产或 购决策）”。嘉德思（Janders）公司经营多种商用和工程产品。现在，嘉德思公司正准 备推出两款新的计算器。其中一款是用于商用市场的，叫做“财务经理”；另一款用于工程市场，叫做“技术专家”。每款计算器由3种零部件组成：一个基座、 一个电子管和一个面板，即外盖。两种计算器使用

11、相同的基座，但电子管和面板则不相同。所有的零部件生 产都可以由公司自己生产或从外部购买。零部件的生产成本和采购价格汇总见 表 4-5。表4-5嘉德思计算器零配件的生产成本和采购价格组件单位成本（美元）制造（正常时间）采购I基座0.500.60 1财务经理电子管3.754.00技术专家电子管3.303.90财务经埋面板0.600.65技术专豕卸板0.750.78 |嘉德思的预测师们指出总共将需要 3000台财务经理和2000台技术专家。但是，因为这个公司生产能力有限，这个公司仅能安排200个小时的正常工作时间和50个小时的加班时间用于计算器的生产。加班时间需要每小时多付给员工9美元的加班奖金，即

12、额外成本。表 4-6显示了各零部件所分得的生产时间 （以分钟计）。嘉德思公司的问题是决定每种零部件有多少单位自己生产，多少单位从外部购买。表4-6 嘉德思计算器各零配件每单位的生产时间组件生产时间基座1.0财务经理电子管3.0技术专家电子管2.5财务经理面板1.0 n技术专豕回板1.5案例二：生产计划线性规划方案最重要的应用是安排多个时期的计划，比如生产计划。根据 生产计划问题的解，经理能够在一定的时间段（几星期或几个月内）为一个或 多个产品制定一个高效低成本的生产计划。其实生产计划问题也可以看做是未 来某个时期的生产调配问题。经理必须决定生产水平，使公司能够满足生产需 求，在收到产品生产量、

13、劳动力生产量以及贮藏空间上有所限制的同时，还要 使生产成本最小。利用线性规划解决生产计划问题的一个好处就是它们是周期性的。一个生 产计划必定是为当月制定的，然后下个月又制定一次，再下个月又制定一次， 如此周而复始。看一看每个月的问题，生产经理就可以发现，虽然生产需求已 经发生了变化，生产次数、产品生产量、贮藏空间等限制大致还是一样的。因 此，生产经理基本上可以按以前月份的管理方法解决同样的问题，而生产计划 的一个总线性规划模型可能被频繁地使用。一旦这个模型被固定下来，经理只 需要在特定的生产时期提供当时的需求量、生产量等有关数据就可以了，并且 可重复利用此线性规划模型构想出生产计划。让我们来看

14、看Bollinger Electronics公司的案例，该公司为一个重要的飞机引擎制造公司生产两种不同的电子组件。飞机引擎制造商在下面3个月里每个月都会通知 Bollinger Electronics公司的销售办公室，告诉他们每个星期对组件的需求量。每个月对组件的需求量变化可能很大，这要视飞机引擎制 造商正在生产哪种类型的引擎情况而定。表4-7列出的是刚刚接到的订单，这批订单是下3个月的需求量。表4-7 Bollinger Electronics公司3个月的需求一览表组件四月 五月 六月 332A 1000 3000 5000 802B 1000 500 3000接到订单之后，需求报告就被送到

15、生产控制部门。生产控制部门则必须制 定出3个月生产组件的计划。为了制定出生产计划，生产经理需要弄清楚以下几点：总生产成本，存货成本。改变生产力水平所需的经费。接下来我们要介绍 Bollinger Electronics公司如何建立公司的生产贮存线性规划，以使公司的成本最小。为了制定出此模型，我们用 Xim表示m月生产产品i的单位生产量。在这 里i=1或2, m=1 2或3; i=1指的是332A组件，i=2指的是802B组件，m=1 指的是四月份，m=2指的是五月份，m=3W的是六月份。双重下标的目的是规定 一个更具描述性的符号。我们可以简单地用X6来代表三月份生产的产品2的单位生产量。但是X

16、23更具描述性，它直接确定用变量代表的月份和产品。如果生产一个332A组件的成本为20美元，生产一个802B组件的成本为10美 元，那么目标函数中总成本部分是：总生产成本=20X11+20X12+20X13+10X21+10X22+10X23每个月每单位产品的生产成本是一样的，所以我们不需要在目标函数里涵 盖生产成本。也就是说，不管选择的生产一览表是什么样的，总生产成本将会 保持相同的水平。换句话说，生产成本不是相关成本，无需在制定生产计划时 认真考虑。但是，如果每个月单位产品成本是改变的，那么单位产品成本变量 就必须包含在目标函数里。对于 Bollinger Electronics公司的问题

17、来说，不管这些成本是不是包含在里面，它的解决方案将会是一样的。我们把它们包括 在里面，这样线性规划问题的目标函数将包含所有与产品有关的成本。为了把相关库存成本合并到模型里面，我们用Sim来表示产品i在第m月月底的存货水平。Bollinger Electronics 公司已经决定，每月在基本存货上的 成本占生产产品成本的1.5%。也就是说，0.015 X20=0.30 （美元/332A组件）， 0.015 X 10=0.15 （美元/802B组件）。在利用线性规划方法来制定生产预期计划 时一个普遍的假设是，每月末的存货近似等于整个月的平均存货水平。通过做 这种假设，我们把目标函数中库存成本部分写

18、下来：库存成本=0.30S11+0.30S12+0.30S13+0.15S21+0.15S22+0.15S23为了把每个月的生产水平波动所带来的成本容入模型，我们需要定义两个额外的变量：Im=400S23 200假设我们在机器、劳动力和贮存能力上的信息如表4-8所示。在机器、劳动力和贮存空间的要求上的信息如表 4-9所示。表4-8 Bollinger Electronics公司的机器生产能力、劳动力能力和库存能力月份机器生产能力（小时）劳动力生产能力（小时）库存能力（平房英寸）|四月份40030010000I五月份50030010000六月份60030010000表4-9 组件332A和802

19、B的机器、劳动力和贮存要求组件JI机器（小时/单位）力动力（小时/单位）库存（平方英寸/单位）|332A0.100.052802B0.080.073为了反映这些限制，以下的约束条件很有必要:机器生产能力0.10X11+0.08X21 400 第一个月0.10X12+0.08X22 500 第二个月0.10X13+0.08X23 600 第三个月劳动力能力0.05X11+0.07X21 300 第一个月0.05X12+0.07X22 300 第二个月0.05X13+0.07X23 300 第三个月库存能力2S11+3S2K 10000 第一个月2S12+3S22c 10000 第二个月2S13+

20、3S23c 10000 第三个月我们必须加上一组约束条件以保证Im和Dm能反日出m月生产水平的变化。 假定三月是新生产周期开始前的一个月，三月份的产量为1500个332A组件和1000个802B组件，总产量是1500+1000=250。那么通过以下关系式我们可以 得到四月份的产量变化。四月份产量-三月份产量=变化量利用四月份产量变量X11和X21,以及三月份2500个单位的生产量，我们 得到：(X11+X21 -2500=变化量注意，这个变化值可能是正数也可能是负数。变化值为正数，反映总体 生产水平是增长的；反之，变化值为负数，则反映总体生产水平是下降的。我 们可以用四月份生产增长量I1和生产

21、降低量D1来确定四月份总产量变化的约 束条件。(X11+X21 -2500=I1-D1在五月份和六月份我们用同样的方法(始终用当月总生产量减去上个月的 总生产量)，可以得到预定生产期的第二个月和第三个月间的限定条件。(X12+X22 - (X11+X21 =I2-D2(X13+X23 - (X12+X22 =I3-D3把变量放在等式左边，而把常量放在等式的右边，得出通常所指的一组 完整的平衡生产约束条件。X11+X21-I1+D1=2500-X11-X21+X12+X22-I2+D2=0-X12-X22+X13+X23-I3+D3=0这个初看起来只有2种产品和3个月期的生产计划的简单问题现在演

22、变成 有18个变量，20个约束条件的线性规划问题了。注意，在这个问题上，我们只考虑一种机器工序，一种人工要求，一种库存区域。实际上，生产计划问题通 常是包含若干个工序，若干劳动力级别，若干库存区域的问题，这就要求使用 大规模的线性规划模型。比如说，一个包括 12个月的生产时间，100单位生产 量的生产计划问题将会有1000多个变量和约束条件。案例三：劳动力分配当生产经理们必须就一个特定的规划时期做出包括员工要求在内的种种决 定时，劳动力分配的问题时有发生。劳动力分配具有一定弹性，而且至少某些 员工会被分配到不止一个部门或工作中心去工作。这就是员工被安排在两个或 更多的工作岗位上交叉培训。比如说

23、售货员可以在商店之间互相调职。在下面 的应用中，我们将说明如何利用线性规划做出决策，不仅仅是决定最理想的生 产调配，而且也决定劳动力的最佳分配。麦科米克制造公司生产两种产品，每单位产品的利润分别为10美元和9美元。表4-11显示生产每单位产品的劳动力需求和 4个部门中被分配到每个部门 的员工总的有效劳动时间。假设每个部门中的有效劳动时间是固定的，那么该 问题的最佳解决方案是什么。表4-11麦科米克制造公司每单位产品的劳动小时数和总体有效生产时间部门单位劳动时间总可用时间产品1产品210.650.956500120.450.85 ；600031.000.70700040.150.301400混合问题案