福建省泉州市永春县永春第一中学2023学年高三3月份第一次模拟考试数学试卷（含解析）

1、2023学年高考数学模拟测试卷请考生注意：1请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用05毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2答题前，认真阅读答题纸上的注意事项，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设实数x,y满足条件x+y-202x-y+30 x-y0则A1B2C3D42以下三个命题：在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于

2、1；对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，判断“与有关系”的把握越大；其中真命题的个数为（ ）A3B2C1D03某个命题与自然数有关，且已证得“假设时该命题成立，则时该命题也成立”现已知当时，该命题不成立，那么（ ）A当时，该命题不成立B当时，该命题成立C当时，该命题不成立D当时，该命题成立4ABCD5若为虚数单位，网格纸上小正方形的边长为1，图中复平面内点表示复数，则表示复数的点是（ ）AEBFCGDH6运行如图所示的程序框图，若输出的的值为99，则判断框中可以填（ ）ABCD7已知向量，且与的夹角为，则（ ）AB1C或1D或98在钝角中，角所对的边分别为，为钝角，若，则的最大值为（ ）

3、ABC1D9要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点的（ ）A横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度B横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度C横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度D横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度10如图，在三棱锥中，平面，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为A0BCD111设为抛物线的焦点，为抛物线上三点，若，则（ ）.A9B6CD12设复数，则=（ ）A1BCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知数列的前项和为，且满足，则_14若变量，满足约束条件，则的最大值为_

4、15一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T的值为_.16已知是偶函数，则的最小值为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数，其中（）当时，求函数的单调区间；（）设，求证：；（）若对于恒成立，求的最大值18（12分）已知动圆经过点，且动圆被轴截得的弦长为，记圆心的轨迹为曲线（1）求曲线的标准方程；（2）设点的横坐标为，为圆与曲线的公共点，若直线的斜率，且，求的值19（12分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的参数方程为（为参数），直线经过点且倾斜角为.（1）求曲线的极坐标方程和直线的参数方程；（2）已知

5、直线与曲线交于，满足为的中点，求.20（12分）在四棱柱中，底面为正方形，平面（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值21（12分）己知，函数.（1）若，解不等式；（2）若函数，且存在使得成立，求实数的取值范围.22（10分）已知函数（1）已知直线：，：.若直线与关于对称，又函数在处的切线与垂直，求实数的值；（2）若函数，则当，时，求证：；.2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【答案解析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.【题目详解】如图所示：画出可行

6、域和目标函数，z=x+y+1，即y=-x+z-1，z表示直线在y轴的截距加上1，根据图像知，当x+y=2时，且x-13,1时，故选：C.【答案点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.2、C【答案解析】根据抽样方式的特征，可判断；根据相关系数的性质，可判断；根据独立性检验的方法和步骤，可判断【题目详解】根据抽样是间隔相同，且样本间无明显差异，故应是系统抽样，即为假命题；两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于0；故为真命题；对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，“与有关系”的把握程度越小，故为假命题故选：【答案点睛】

7、本题以命题的真假判断为载体考查了抽样方法、相关系数、独立性检验等知识点，属于基础题3、C【答案解析】写出命题“假设时该命题成立，则时该命题也成立”的逆否命题，结合原命题与逆否命题的真假性一致进行判断.【题目详解】由逆否命题可知，命题“假设时该命题成立，则时该命题也成立”的逆否命题为“假设当时该命题不成立，则当时该命题也不成立”，由于当时，该命题不成立，则当时，该命题也不成立，故选：C.【答案点睛】本题考查逆否命题与原命题等价性的应用，解题时要写出原命题的逆否命题，结合逆否命题的等价性进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.4、A【答案解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【题目详解】

8、本题正确选项：【答案点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题5、C【答案解析】由于在复平面内点的坐标为，所以，然后将代入化简后可找到其对应的点.【题目详解】由，所以，对应点.故选：C【答案点睛】此题考查的是复数与复平面内点的对就关系，复数的运算，属于基础题.6、C【答案解析】模拟执行程序框图，即可容易求得结果.【题目详解】运行该程序：第一次，；第二次，；第三次，；第九十八次，；第九十九次，此时要输出的值为99.此时.故选：C.【答案点睛】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想，涉及判断条件的选择，属基础题.7、C【答案解析】由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，

9、求的值.【题目详解】解：由题意可得，求得，或，故选：C.【答案点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题8、B【答案解析】首先由正弦定理将边化角可得，即可得到，再求出，最后根据求出的最大值；【题目详解】解：因为，所以因为所以，即，时故选：【答案点睛】本题考查正弦定理的应用，余弦函数的性质的应用，属于中档题.9、C【答案解析】根据三角函数图像的变换与参数之间的关系，即可容易求得.【题目详解】为得到，将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），故可得；再将 向左平移个单位长度，故可得.故选：C.【答案点睛】本题考查三角函数图像的平移，涉及诱导公式的使用，属基础题.10、B【答案解析】根

10、据题意可得平面，则即异面直线与所成的角，连接CG，在中，易得，所以，所以，故选B11、C【答案解析】设，由可得，利用定义将用表示即可.【题目详解】设，由及，得，故，所以.故选：C.【答案点睛】本题考查利用抛物线定义求焦半径的问题，考查学生等价转化的能力，是一道容易题.12、A【答案解析】根据复数的除法运算，代入化简即可求解.【题目详解】复数，则故选：A.【答案点睛】本题考查了复数的除法运算与化简求值，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【答案解析】对题目所给等式进行赋值，由此求得的表达式，判断出数列是等比数列，由此求得的值.【题目详解】解：，可得时，时，又，两式相

11、减可得，即，上式对也成立，可得数列是首项为1，公比为的等比数列，可得【答案点睛】本小题主要考查已知求，考查等比数列前项和公式，属于中档题.14、【答案解析】根据约束条件可以画出可行域，从而将问题转化为直线在轴截距最大的问题的求解，通过数形结合的方式可确定过时，取最大值，代入可求得结果.【题目详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示： 将化为，则最大时，直线在轴截距最大；由直线平移可知，当过时，在轴截距最大，由得：，.故答案为：.【答案点睛】本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在轴截距的最值的求解问题，通过数形结合的方式可求得结果.15、【答案解析】由程序中的变量、各

12、语句的作用，结合流程图所给的顺序，模拟程序的运行，即可得到答案.【题目详解】根据题中的程序框图可得：,执行循环体，不满足条件，执行循环体，此时，满足条件，退出循环，输出的值为.故答案为：【答案点睛】本题主要考查了程序和算法，依次写出每次循环得到的，的值是解题的关键，属于基本知识的考查.16、2【答案解析】由偶函数性质可得，解得，再结合基本不等式即可求解【题目详解】令得，所以，当且仅当时取等号.故答案为：2【答案点睛】考查函数的奇偶性、基本不等式，属于基础题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（）函数的单调增区间为，单调减区间为；（）证明见解析；（）.【答案解析】

13、（）利用二次求导可得，所以在上为增函数，进而可得函数的单调增区间为，单调减区间为；（）利用导数可得在区间上存在唯一零点，所以函数在递减，在，递增，则，进而可证；（）条件等价于对于恒成立，构造函数，利用导数可得的单调性，即可得到的最小值为，再次构造函数（a），利用导数得其单调区间，进而求得最大值【题目详解】（）当时，则，所以，又因为，所以在上为增函数，因为，所以当时，为增函数，当时，为减函数，即函数的单调增区间为，单调减区间为；（），则令，则（1），所以在区间上存在唯一零点，设零点为，则，且，当时，当，所以函数在递减，在，递增，由，得，所以，由于，从而；（）因为对于恒成立，即对于恒成立，不妨令，

14、因为，所以的解为，则当时，为增函数，当时，为减函数，所以的最小值为，则，不妨令（a），则（a），解得，所以当时，（a），（a）为增函数，当时，（a），（a）为减函数，所以（a）的最大值为，则的最大值为【答案点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，以及函数不等式恒成立问题的解法，意在考查学生等价转化思想和数学运算能力，属于较难题18、见解析【答案解析】（1）设，则点到轴的距离为，因为圆被轴截得的弦长为，所以，又，所以，化简可得，所以曲线的标准方程为（2）设，因为直线的斜率，所以可设直线的方程为，由及，消去可得，所以，所以设线段的中点为，点的纵坐标为，则，所以直线的斜率为，所以，所以，所以易

15、得圆心到直线的距离，由圆经过点，可得，所以，整理可得，解得或，所以或，又，所以19、（1），；（2）.【答案解析】（1）由曲线的参数方程消去参数可得曲线的普通方程，由此可求曲线的极坐标方程；直接利用直线的倾斜角以及经过的点求出直线的参数方程即可；（2）将直线的参数方程，代入曲线的普通方程，整理得，利用韦达定理，根据为的中点，解出即可.【题目详解】（1）由（为参数）消去参数，可得，即，已知曲线的普通方程为，即，曲线的极坐标方程为，直线经过点，且倾斜角为，直线的参数方程：（为参数，）.（2）设对应的参数分别为，.将直线的参数方程代入并整理，得，.又为的中点，即，即，.【答案点睛】本题考查了圆的参数

16、方程与极坐标方程之间的互化以及直线参数方程的应用，考查了计算能力，属于中档题.20、（1）详见解析；（2）.【答案解析】（1）连接，设，可证得四边形为平行四边形，由此得到，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）以为原点建立空间直角坐标系，利用二面角的空间向量求法可求得结果.【题目详解】（1）连接，设，连接，在四棱柱中，分别为的中点，四边形为平行四边形，平面，平面，平面（2）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系设，四边形为正方形，则，设为平面的法向量，为平面的法向量，由得：，令，则，由得：，令，则，二面角为锐二面角，二面角的余弦值为.【答案点睛】本题考查立体几何中线面平行关系的证明、空间

17、向量法求解二面角的问题；关键是能够熟练掌握二面角的向量求法，易错点是求得法向量夹角余弦值后，未根据图形判断二面角为锐二面角还是钝二面角，造成余弦值符号出现错误.21、（1）；（2）【答案解析】（1）零点分段解不等式即可（2）等价于，由，得不等式即可求解【题目详解】（1）当时，当时，由，解得；当时，由，解得；当时，由，解得.综上可知，原不等式的解集为.（2）.存在使得成立，等价于.又因为，所以，即.解得，结合，所以实数的取值范围为.【答案点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立及最值，考查转化思想，是中档题22、（1）（2）证明见解析证明见解析【答案解析】（1）首先根据直线关于直线对称的直线的求法，求得的方程及其斜率.根据函数在处的切线与垂直列方程，解方程求得的值.（2）构造函数，利用的导函数证得当时，由此证得.由知成立，整理得成立.利用构造函数法证得，由此得到，即，化简后得到.【题目详解】（1）由解得必过与的交点