函数的极限教案

1、教务处编制教务处编制课程名称年级专业授课教师授课时间学时授课题目1.2数列的极限1.3函数的极限教学目标知识目标：.掌握极限的概念；.掌握无穷大与无穷小.掌握极限的性质及运算技能目标：.能机选数列及函数的极限.掌握无穷大与无穷小的比较素质目标：培养学生良好的逻辑思维能力教学重点极限的性质与运算教学难点等价无穷小的函数极限运算教学方法讲授教学准备备课、准备PPT教学过程设计教学内容教师活动学生活动前言:极限概念是微积分中最基本的概念，这个概念贯穿着整个数学分析，并在数学的其他领域中起重要作用.微分、积分都可用极限运算来描述.掌握极限的概念和运算很重要.极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生

2、的.变量的变化有各种各样的情况，有一类变量是经常遇到，这就是它在变化的过程中逐步趋向于相对稳定的状态，也就是说在变化的过程中无限的接近于某确定的常数.一、极限的概念“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”一一刘徽“一尺之棰，日截其半，万世不竭”定义1微积分学中的数列泛指无限数列，可以看作特殊的函数n=f（n）,n=1,2,3,简记为Xn其特殊性主要是指函数的定义域为正整数集.1111III，,2n1,-2,3,n（-1）n+i,IIIIH1nn10一,3ihnIII数列。的变化过程包含两个相关的无限过程：1“III自变量x的主动变化过程：n=1,2,3即n从1开始

3、，不断增大（每次加1）.记为：n-8因变量xn的被动变化过程.定义2设二为数列，如果当n无限增大时，1二1可以任意地小，就称数列xn为无穷小，记作：n2xn0定理1（无穷小比较定理）设limx=0,如果存在正数c使得对所有正整数n,nx-8通过PPT演示讲解基本知识占八、听讲勾画做笔记都有|y|n,11加-=0,2nnnf8n11八lim=0nf82n注意并不是任何数列都是有极限的.二、函数无穷小与极限1.函数的极限1)Xf8时函数的极限函数y=f。在Q,。)内有定义，若当|x|无限增大时,相应的函数值fQ无限接近于某一确定的常数4,则A称为函数f0当xf8时的极限,记为limf(X)=A或f

4、(X)fA(xf8)，Xf8K其中Xf8表示x的绝对值无限增大.2)xfx0时函数的极限设函数f(x)在x0的某个邻域(点x0可除外，即0|x-x0|5,5为某一正数)内有定义，当自变量限趋近于x0时，函数f(x)的值无限趋近于某确定的常数A，则称A为xfx0时函数f(x)的极限，记为吧fQ=A或f4)fa(xfx0)，xxx其中xfx0表示x既可以从大于x0的方向趋近于，也可以x0从小于x0的方向趋近于x0.设函数f(x)在x0的某左半邻域(x0-5,x0)(或右半邻域(x0,x0+5)内有定义，当自变量x从x0的左(或右)侧无限趋近于x0时，函数f(x)的值无限趋近于某确定的常通过PPT演

5、示讲解基本知识占八、讲解例题听讲勾画做笔记f(x)数A，则称A为x-x0时函数的左(或右)极限，记为limf()=A(或limf4)=A)xfx0-xfx0+.定理极限imfQ=a的充分必要条件是xfx0limf)=limf4)=A.xfxo-xfxo+2.极限的运算法则x设在自变量的同一变化过程中，极限limf(x)及limg(x)都存在,则有limf(x)g(x)=limf(x)limg(x);limf(x).g(x)=limf(x)-limg(x);f(x)limf(x)lim=(limg(x)中0)g(x)limg(x).推论1limCf(x)=Climf(x)(C为常数).nn推论2

6、limf(x)=limf(x)(n为正整数).例3求下列极限.x3-1lim(1)xf2x2-3x+1limQ3-1)=23-1=7,解：xf2lim(x2-3x+1)=22-32+1=-1丰0 xf2x3-1lim(x3-1)7rlim=.xf2=-7xf2x2-3x+1lim(x2-3x+1)-1则xf2x3-1lim(2)xf1x2-3x+2通过PPT演示讲解基本知识占八、讲解例题听讲勾画做笔记听讲交流X31(X-1)(X2+x+1)-x2+x+1lim二lim二lim=-3解：X-1X2-3x+2X-1(x-1)(x-2)X-1x-2XXx+53limx-4x-4Jx+5-3(JX+5

7、-3)(JX+5+3)1lim-limi-limjx-4X-4x-4(X-4)3X+5-3)x-4Vx+5+3_1_1解：J4+5+36Xx3+7x1limx-82x3-5x+21L-LXx3+7x-1+72X31lim二limX-X3-二一x-.2x3-5x+2x-.2-+二2解：x2x33lim(4-_+);n-8nn2:解原式=lim4-lim1+lim-二4-0+3x0=4nsnsnn-xn23n2-n+1lim.(6)n-s1+n2111解：3-_+一用牛：(2)原提limnnn-s+1稗lim(3-1+)nn2n-slim(+1)n-sn2cr11lim3-lim+limn-sn-

8、snn-sn23-0+0.13lim+lim10+1n-sn2n-s另外，关于无穷小还有个特别的结论：无穷小与有界函数的乘积是无穷小.定义1.5设a与B是自变量的同一变化过程中的两个无穷例题讲解通过PPT演示讲解基本知识占八、听讲交流记忆、总结小，如果lim/0，则称P是比a高阶的无穷小，记为B=。).;(2)如果lim/8，则称P是比a低阶的无穷小；(3)如果小一八Q了一c(c中0)，则称B与a是同阶无穷小.特别地，当C=1时，称P与a是等价无穷小，为为aPf(x)=x1考察函数x1当xT1时，f(x)可以大于任意给定的一，一一.一、一、，x+1正数.我们称xT1时，f(x)是无穷大量，记为：lim=8x-