扩充章概率论与数理统计基本知识

1、第一章 概率论与数理统计基本知识 从可靠性的基本概念及衡量指标可知，决定产品可靠性的主要因素往往与一些随机现象有关，故障本身是一个随机事件，故障前的实际工作时间是一个随机变量，导致产品故障的老化过程也是一个随机过程。因此，评价产品可靠性的指标都具有概率性质。为了描述这些随机现象并进行定量估计，必须应用概率和数理统计的知识。第一章 概率论与数理统计基本知识1.1 概率及运算规则1.1.1 概率的基本概念1.1.2 事件的概率1.1.3 概率运算的基本法则1.2 随机变量的概率分布及其数字特征1.2.1 离散型随机变量的概率分布1.2.2 连续型随机变量的概率分布1.2.3 随机变量的数字特征1.

2、3 常用的概率分布(1) 二项分布(2) 多项分布 (3) 泊松分布(4) 均匀分布(5) 指数分布 (6) 正态分布(7) 对数正态分布(8) 威布尔分布(9) 各概率分布的数字特征1.4 数理统计基础1.4.1 统计量及其特性1.4.2 分布参数的估计1.4.3 总体的分布函数的假设检验1.1 概率及运算法则1.1.1概率的基本概念1.随机事件在生产实践和科学研究中，为了揭示某种偶然现象的内在规律，人们往往要进行科学试验。如果试验具有以下特性：可以在相同的条件下重复的进行；每个试验的可能结果不止一个，并且能事先预测试验的所有可能结果；进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。那么，我们将这

3、种试验称为随机试验，简称试验。在随机试验中，对一次试验中可能发生也可能不发生，而在大量重复试验中却具有某种规律性的现象，成为随机事件，简称事件。机械零件的疲劳和磨损失效就是典型的随机事件。1.1.1概率的基本概念2.事件的关系与运算事件和若事件C发生表示A与B至少有一个发生，则称事件C为事件A与B的和，记为C=AB或C=A+B。同理，如果事件如汽车不能行驶的事件为C，设A为发动机故障，B为传动装置故障，则C=A+B。事件积若事件A与B同时发生，事件C才发生，则称事件C为事件A与B的积，记为C=AB或C=AB。一般的说，事件如自行车制动失灵的事件为C，设前闸故障为A，后闸故障为B，则CAB。1.

4、1.1概率的基本概念互不相容事件(互斥事件) 如果事件A的发生必然导致事件B的不发生(即事件A和事件B不能同时发生)，就称A和B是互不相容事件，也称为互斥事件。对立事件 如果事件A与B不能同时发生，但是事件A与事件B又必定发生其中之一，则称事件B为事件A的对立事件，记为独立事件 若事件A的出现与否与事件B的出现与否无关，则称事件A对事件B是独立事件。如10个产品中有一个次品，作不放回抽样试验，每次抽一个，共抽两次。若第一次抽到次品的事件记为A，第二次抽到次品的事件记为B，显然A发生与B无关，而B的发生与否与A的发生与否有关，这时称A对B独立，而B对A是不独立事件。或1.1 概率及运算法则1.1

5、.2事件的概率事件的概率：随机事件A发生的可能性大小，称为事件的A概率，记为P(A)。事件的概率介于0和1之间。概率的计算有两种方法：1.直接计算法如果对事件A进行实验，各个实验结果发生的可能性相等，则此事件A的概率，等于事件A可能发生的实验结果数m和实验结果总数n的比。即：例如100件产品有15个合格品，从中任抽一台为不合格品的机会是相等的，故任抽一台为不合格品的概率为15/100=0.15。1.1.2 事件的概率2.统计法当各个实验的结果不具有等可能的结果时，若实验次数足够多时，可以用事件的频率P* 作为事件的概率，这就是概率计算的统计法。表示为：例如，射手用手枪在25m处对运动靶射击，发

6、射10组子弹，每组10发，结果统计如表2-1所示，求中靶的概率。8910891078109命中10987654321组号表1-11.1.2 事件的概率解：设事件A表示中靶，共发射1010发子弹，命中数为(9+10+8+7+10+9+8+10+9+8)，则事件A的频率为因为这个统计数字值是从许多次实验中得出的，所以一般能够反映射手的实际水平，可以把它近似作为事件A的概率，即1.1.3 概率运算的基本法则1.事件积的概率事件A与事件B同时出现的概率，用P(AB)表示。若事件A、B为独立事件，则有也称为乘法定律，即两个独立事件同时发生的概率等于两个事件分别发生概率的乘积。若事件A与事件B不相互独立时

7、，则有即事件A与事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘事件A发生条件下事件B发生的概率，反之亦然。1.1.3 概率运算的基本法则2.条件概率事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记为P(A|B)。同样可以理解P(B|A)的含义。若事件A、B相互独立时，有即两事件相互独立时，各事件发生概率与另外的事件是否发生无关。若事件A、B不相互独立时由式(1-4) 得： 或1.1.3 概率运算的基本法则这就是贝叶斯(Bayes)定理的一种简单形式。一般通式为式中 Ai 为 n 个互不相容事件中的第 i 个事件。3.事件和的概率事件A或事件B中任一事件发生的概率，表示为P(A+B)，有1.1.3 概率运算

8、的基本法则4.全概率公式1.1.3 概率运算的基本法则【例1-1】一种导弹的可靠度为0.85，如两发导弹同时发射，至少一发导弹成功的可靠度是多少(假设导弹是相互独立的)？解：设第一、二发导弹发射成功为事件A、B，则P(A)=P(B)=0.85则至少一发导弹发射成功的概率为1.2 随机变量的概率分布及其数字特征概率分布是表示随机变量 X 所有的可能取值及其与之对应的概率P( X )的关系。按照随机变量可能取值的不同，可以分为两种类型，即离散型随机变量和连续型随机变量的概率分布。1.2.1离散型随机变量的概率分布由概率分布的概念可知，离散型随机变量的概率分布就是要p1 p2pk Px1 x2xkx

9、1.2.1 离散型随机变量的概率分布就可反映离散型随机变量取可能值 xi 对应的概率 ，上面称为概率分布列。概率分布列具有以下两个性质：随机变量 X 取任何可能值时，均有(2)当任何事件都可能发生时，则概率分布列中随机变量 X 所取得的一切可能值的概率和等于1，即1.2.2 连续型随机变量的概率分布先通过下面一个例子来说明连续型随机变量概率密度函数的概念。例，若有50个轴承的寿命试验结果如表1-2所示，表中给出了每一个寿命区间内的失效轴承数，并计算出相应的失效频率。 可根据这些数据绘出轴承失效数据直方图。划分更细，就可得到一条趋于光滑的曲线，这条曲线称为随机变量X 的概率密度曲线f (x)00

10、.040.080.120.180.240.180.100.040.0202469129521011223344556677889910失效频率失效数寿命区间/(10次)表1-21.2.3 随机变量的数字特征上面所述的概率分布能完整地描述随机变量的统计规律。但在实际问题中，可能不容易求出分布规律，也可能并不需要知道随机变量的分布规律，而只要知道它的某些数字特征就够了。如在测量某零件的长度时，由于种种因素的影响，测量到的长度是一个随机变量。一般关心的是这个零件的平均长度及测量结果的精确精度，即要知道测量长度的平均值与离散程度。因此，就需要引进一些用来表示平均值和离散程度的量。把描述随机变量某些特征

11、的量称为随机变量的数字特征。在可靠性技术中常用的数字特征有两类：1.数学期望E(X)数学期望是表示概率分布的集中趋势的特征量。1.2.3 随机变量的数字特征总体的数学期望E(X)，就是均值，其定义如下：对于连续型随机变量对于离散型随机变量样本的均值，即其算术平均值为1.2.3 随机变量的数字特征2.方差D(X)与标准差方差与标准差是表示概率分布的离散程度的特征量。对于连续型随机变量对于离散型随机变量样本的标准差1.3 常用的概率分布(1)二项分布若一次试验只有两种可能结果：事件A和非A(记为 )，且已知P(A)=p，则 ，进行 n 次独立重复试验，其中事件 X 发生次数 k 为随机变量，且X的

12、分布律为则称 X 服从二项分布，记为X B(n, p)。有时人们需要知道在 n次独立重复试验中，事件A发生次数X不超过某一给定值m(n)的概率，易知上述分布称为累积二项分布。1.3常用的概率分布(2)多项分布若一次试验有 k 个可能结果：A1 , A2 , , Ak(每次只出现其中之一)，其出现概率分别为 。进行 n 次独立试验，用随机变量 Xi ( i =1,2, ,k )表示Ai (i =1,2, , k )发生的次数，则称X1 , X2 , , Xk 服从多项分布，其分布律为当k=2时，多项分布退化成二项分布。1.3 常用的概率分布(3) 泊松分布泊松定理：设随机变量 Xn(n=1,2,

13、 ) 服从二项分布，其分布律为式中概率 pn是与 n 有关的数，又设 npn =0是常数， 则有设随机变量X所有可能取的值为0,1,2, ，而取各个值的概率为其中0是常数。则称X服从参数为的泊松分布，记为X()。1.3 常用的概率分布(4) 均匀分布若随机变量 X 的分布密度为则称 X 在(a , b)上服从均匀分布。易知，X 的分布函数为1.3 常用的概率分布(5) 指数分布若 X 是一个非负的随机变量，且有密度函数为则称 X 服从参数为的指数分布，记为e()，式中为常数，是指数分布的失效率。指数分布的分布函数为指数分布的“无记忆性”(6) 正态分布(高斯分布)若随机变量 X 的概率密度函数

14、为则称 X 服从参数为和2的正态分布，并记作 XN(,2)，其中和2分别是 X 的数学期望和方差。当=0,=1时的正态分布 N(0,1) 称为标准正态分布，其密度函数为分布函数为(6) 正态分布(高斯分布)一般，若XN(,2)即 X 具有分布函数n 个独立正态随机变量之和仍为正态随机变量，其数学期望等于这 n 个独立正态随机变量数学期望之和，其方差等于这 n 个独立正态随机变量的方差之和。也就是，若(6) 正态分布(高斯分布)特别是当 ，由此可得，n 个独立同分布的正态随机变量平均值的分布，即这个结果在可靠性分析中经常用到。1.3 常用的概率分布(7)对数正态分布如果随机变量 X 的对数服从正

15、态分布，即则称 X 服从对数正态分布，其分布密度函数为对数正态分布是一种应用很广的偏态分布。经验证明，结构或材料的疲劳寿命、紧固件孔的当量初始裂纹尺寸等都可以用对数正态分布描述。(8)威布尔(Weibull)分布威布尔分布函数为其中含有三个参数位置参数，又称最小寿命，0尺度参数，也称特征寿命，0形状参数，也称斜率， 0当0时，称此分布为三参数威布尔分布。其概率密度函数为(8)威布尔(Weibull)分布当=0时，便得到所谓双参数威布尔分布，其分布函数和密度函数分别为威布尔分布也是一种在可靠性工程中得到广泛使用的偏态分布。如果说指数分布常用来描述系统的寿命的话，那么威布尔分布则常用来描述零件的寿

16、命，例如零件的疲劳失效、轴承失效等寿命分布。(9)各种概率分布的数字特征1.4 数理统计基础数理统计是研究随机现象数理变化规律性的学科。在可靠性工程中，数理统计是进行数据整理和分析的基础，其基本内容是统计推断。实际上，确定随机变量的概率分布并非易事，因为通常不可能对研究对象的总体进行观测或试验，只能从中随机的抽取一部分子样进行观测或试验，获得必要的数据，进行分析处理，然后对总体的分布类型和参数进行推断。统计推断包括两类问题： 估计总体参数。虽然随机变量的总体参数(如均值)的真值是确定存在的，但实际上不可能直接求出值，只能通过由样本数据算出的统计量来加以推断。 对假设进行检验。实际上常常需要先对

17、总体的概率分布函数作出假设，然后通过有样本数据算出的统计量来对假设是否正确或拟合良好性进行统计检验。1.4.1 统计量及特性从总体中随机抽取n个子样x1、x2、xn，它含有母体的各种信息，由子样x1、x2、xn可构成各种统计量。例如：样本极差可以粗略的反映总体的分散程度，但不能直接用于估计总体的方差。1.4.1 统计量及特性由于子样来自总体，统计量的特性不仅与统计量的函数形式有关，而且与总体的分布有关。例如，设总体为正态分布，即XN(,2)时，可以证明子样均值 仍然是一个正态随机变量，且说明 的均值与总体均值相同， 的方差是母体方差的1/n。子样数增大时，均值的离散程度减小，子样均值约接近于总

18、体均值。1.4.2 分布参数的估计分布参数的估计就是根据试验数据来估计已知的总体分布函数中的未知参数。由于总体的分布函数已知，因此分布参数的估计也就是估计总体的真实分布。1.点估计对总体参数的点估计，是用一个统计量的单一数值去估计一个未知参数的数值。如果 X 是一具有概率分布 f (x)的随机变量，样本容量为 n，样本值为x1、x2、xn ，则与其未知参数相应的统计量 称为的估计值。这里， 是一个随机变量，因为它是样本数据的函数。在样本已经选好之后，就能得到一个确定的 值，这就是的点估计。1.4.2 分布参数的估计例如，设随机变量X 服从正态分布，其总体的均值和方差2为未知，但可以证明，样本的

19、均值 就是未知的母体均值的点估计，即 。样本的方差S 2母体方差的 2的点估计，即2 = S 2 。点估计应当尽可能接近未知参数的真值。当满足下式时则 是未知参数的无偏估计值。2.区间估计在实际问题中，对于未知参数，并不以求出它的点估计 为满足，还希望估计出一个范围，并希望知道这个范围内包含未知参数真值得可信程度，这种形式的估计称为区间估计。1.4.2 分布参数的估计(1)置信度与置信区间在对产品可靠度估计时，通常是对样品进行寿命试验，以其所得的结果来估计总体的可靠度。很显然，子样得出的估计值和总体的真值有一定差异，那么两者的差异有多大？或者说，对子样进行试验所得出的结论在多大程度上是可信的？这就是置信度问题。例如，若要找出某种轴承的平均寿命，只能取 n 个样品进行寿命试验求得平均寿命 ，希望 与尽量接近，即希望 落在(-C/2)与(+C/2)之间。落在该区间的概率就称为子样均值 对于总体均值的置信度，用1-表示。即 称为显著性水平，它的值可根据要求的精度给定，如0.01，0.05等。 (-C/2)，(+C/2)称为置信区间。 1.4.2 分布参数的估计置信度与可靠度是两个不同的概念。置信度是子样试验结果计算得到的某个参数的估计值(如均值 等)在某区间内出现的概率；而可靠度则是零件在规定的条件下和