电动力学第四章

1、1第四章电磁波的传播本章从麦克斯韦方程组及其边值关系出发，讨论电磁波传播的规律.2麦克斯韦方程组若原来无磁场或只有稳恒磁场,B的散度认为零，所以 ,可以推广到非稳情况，即在该情况下，磁感应线仍是闭合的。只要把电场 看成包含两种不同来源的场，一种电荷激发的有散无旋场 E1 另一种变化的磁场激发的有旋无散场 ：4麦克斯韦提出，在非稳情况下产生磁场的原因不仅是传导电流，还应有新的来源。边值关系：5平面波平面电磁波的波阵面是平面，EBK互相垂直一个是E与K形成的面，一个是B与K形成的面电场和磁场都以波动方式向前传播，只在一个方向上振动，所以波面是平面！6自由空间均匀平面波在自由空间传播的均匀平面电磁波

2、（空间中没有自由电荷，没有传导电流），电场和磁场都没有和波传播方向平行的分量，都和传播方向垂直。此时，电矢量E，磁矢量H和传播方向k两两垂直。只是在这种情况下，才可以说电磁波是横波。7导行电磁波:沿一定途径（比如说波导）传播的电磁波为导行电磁波。根据麦克斯韦方程，导行电磁波在传播方向上一般是有E和H分量的。电磁波的三种模式:TE波，TM波，TEM波TE波指电矢量与传播方向垂直，或者说传播方向上没有电矢量。TM波是指磁矢量与传播方向垂直。TEM波指电矢量于磁矢量都与传播方向垂直。84.1 非导电介质中的平面电磁波 为了解电磁波传播的基本特性，我们只研究自由电磁波方程（3.5.6）的一个平面波解.

3、具有了一定频率和传播方向的波，在其传播过程中，等相面始终是平 面，因而是平面波.显然，平面电磁波是自由电磁波方程（3.5.6）的一个特解，它的复数表示为 （4.1.1） 式中E0，H0表示场的振幅，其大小与方向随时间变化，表示波的角频率，k是波矢量.由于（4.1.1）必须满足波动方程（3.5.6），因此波矢量的大小可由方程（3.5.6）确定： （4.1.2）这里是波长，的方向代表波的传播方向.应当指出，和不是独立的，它们应满足麦克斯韦方程组.首先要求和的角频率、波矢量和相位常量都必须对应相等，这一点在（4.1.1）的表达式中已得到满足.其次，（4.1.1）式的平面波还必须满足如下条件： 9（i

4、） 则 （4.1.3）这表明自由电磁波是横波， 是横波条件.（ii） 则 （4.1.4）这表明E与H相互垂直E,H,k构成右手螺旋关系。10 由（4.1.4）式可得 （4.1.5）即平面波的电磁场能量是平均分配在电场与磁场中的.由（3.3.6）和（4.1.4）式，平面波的能流密度 （4.1.6）式中 为电磁场能量密度.1112(4.1.6)式表明，平面波的能流密度是电磁场能量密度以其传播速度沿着k的方向流动，而且也可证明，电磁波的动量也是以速度v沿着波矢量方向前进的.这个结论不具有普遍意义，它只对平面波成立，因为一般说来，自由电磁波应是各种不同频率的平面波叠加，此时不具有确定的波矢量.134.

5、2 电磁波在绝缘介质分界面上的反射与折射 光在两种不同介质分界面上的反射与折射现象是大家所熟悉的.光是波长很短的电磁波，因此光的反射、折射现象就是电磁波在不同介质分界面上的反射、折射 .任何波动在不同介质分界面上的反射、折射都属于边值问题，因此电磁波在两种不同介质分界面上的反射与折射是由电磁场E和B在分界面上的边值关系确定的.如图4.2.1，在z=0平面为分界面的两种不同的均匀各向同性介质中，如只考虑单色平面波，则入射波k、反射波 、折射波 的电场强度可表示为14 （4.2.1）由 ，则相应的磁感应强度为 （4.2.2）15以上电磁波在z=0的分界面上应满足边值关系（3.2.14）.因为在绝缘

6、介质分界面上电荷面密度=0,电流面密度=0，因此在z=0分界面上只需满足如下边值关系 （4.2.3）式中的下标t代表切向分量.16由（4.2.1）和（4.2.2）式，要满足（4.2.3）条件，首先要求入射波、反射波与折射波的相位在z=0平面上任意一点、任何时刻都相同，即 （4.2.4）因为x,y,t都是独立变量，所以必有 （4.2.5）171. 反射与折射定律由（4.2.5）式，很容易得到反射折射定律.首先=，表明反射波、折射波的频率与入射波频率相等.如果取xz平面为入射波矢量k与介质分界面法向矢量n所在的平面，即 ，可见三个波矢量在同一平面内.由 和 ，得 ，这表明入射角等于反射角，即反射定

7、律.18再由 ，则 （4.2.6） 式中v1和v2分别表示波在介质1和2中的相速度， 为这两种介质的折射率.（4.2.6）式就是光学中的折射定律.192. 菲涅耳公式 由（4.2.5）式，已经满足了在分界面上三个波的相位都相同，根据边值关系（4.2.3），还应要求它们的振幅在z=0平面上满足如下条件 （4.2.7）上式中的第二式已利用了（4.2.2）关系式.为方便起见，现把电场E0分解为20式中E0p,E0s分别表示E0平行于入射面和垂直于入射面的分量，而且规定E0p，Eos与k的顺序组成右手螺旋.E0和E0也按同样规定进行分解（参见图4.2.1）.于是由（4.2.7）式，也可以得到关于x，y

8、两个方向的电场分量的四个方程 （4.2.8）21式中k=k=/v1，k=/v2，且一般磁介质的磁导率都接近于0 ，可取近似1= 2 =3.将入射波的E0p，E0s看成已知量，并利用（4.2.6）式的折射定律，求解（4.2.8）方程组，得 (4.2.9)这就是著名的菲涅耳（Fresnel）公式.22布儒斯特角自然光在电介质界面上反射和折射时，一般情况下反射光和折射光都是部分偏振光，只有当入射角为某特定角时反射光才是线偏振光，其振动方向与入射面垂直，此特定角称为布儒斯特角或起偏角，用b表示。此规律称为布儒斯特定律。光以布儒斯特角入射时，反射光与折射光互相垂直。233. 反射系数与透射系数定义入射波

9、的强度Ii为单位时间投射到分界面上的单位面积的平均能量，则 可以证明（见习题4.1），用复矢量表示的单一频率的平面波，其平均能流 （4.2.11）上标带的量表示取复共轭。24于是 （4.2.12）类似地，反射波、折射波的强度可表示为 （4.2.13） （4.2.14）（4.2.12）（4.2.14）各式分别应用于电场平行于入射面和垂直于入射面两种情况，并利用菲涅耳公式，及1= 2 0，得反射系数r和透射系数d如下：25 （4.2.15） （4.2.16） （4.2.17） （4.2.18）26很容易证明： rp+dp=1,rs+ds=1,这正是符合能量守恒的要求. 在正入射情形下， 其中n=n

10、2/n1.274. 全反射当波从密介质向疏介质传播时，因为n1n2,根据折射定律（4.2.6）， ，即折射角 大于入射角 .折射角 的最大值为/2，这时 ，与之相应得入射角 应满足或 （4.2.19）式中n=n1/n2.如果入射角 ，根据折射定律，这时 ，折射角 就失去意义，这意味着不存在折射波.这表明入射角 时，入射波全部被反射，称全反射（4.2.19）式的 称全反射临界角.28 前面有关反射折射的表示式或定律都满足麦克斯韦方程组及其边值关系，即使在发生全反射情况，其形式仍然成立，因而仍可以用于讨论全反射时电磁波的传播问题. 294.3、趋肤效应和穿透深度如果只考虑入射，即 ，故得到 由于导

11、体内电磁场具有衰减因子，因而电磁波只能透入导体表面薄层内，所以电磁波主要是在导体以外的空间或介质中传播。在导体表面上，电磁波与导体中的自由电荷相互作用，引起导体表层上的电流，这电流的存在使电磁波向空间反射，一部分电磁能量透入导体内，形成导体表面薄层内的电磁波，最后经过传导电流把这部分能量耗散为焦耳热。 此时有 得到该式两边加上 ， 即有因为代入上式即有： 根据故则此时的电磁场形式为：式中 表示电磁波传播方向的单位矢量。讨论： a) 从电磁场 的形式中可看到，复数波矢量 ,实质上包含了两个部分：实部 （均匀介质中 的值），就是通常意义上的波矢量，而虚部 反映着电磁波在进入导体以后的衰减程度。造成

12、这种衰减的原因是：一部分是由于传导电流所消耗的焦耳热，这一部分损耗将随着导体导电性能的提高而逐渐减小（因为越大，电阻 R 越小，Joule热损耗越小）；另一部分是由于导体中存在自由电子，引起了在导体表面上强烈的反射，这一部分则随着导体导电性能的提高而逐渐增大, 直至理想导体情形, 近似于均匀介质。这种情况下，说明在导电介质中，传导电流比位移电流小得多电阻为零,Joule热损耗减小到零，而电磁波在导体表面上全部被反射。b) 的物理意义 当 ，这时则有这就是良导体条件。这种情况下，说明在导体中传导电流比位移电流大得多； 当 ，这时则有即 表示传导电流与位移电流之比； c) 波振幅沿传播方向按指数衰

13、减， 为衰减常数。把波振幅降至原值的 时传播的距离称为穿透深度，以表示，即 表示导体中磁场能与电场能之比；表示导体中损耗角的正切( )。 d) 相速度 ，由此可见，在导体中传播速度由决定，称为相位常数，波长 与导电率有关，所以在导体中波长变短了。 对于铜而言 ，当 可见， 对于高频电磁波，电磁场以及和它相互作用的高频电流仅集中于表面很薄一层内，这种现象称为趋肤效应。人们在轮船舱内或火车厢里用收音机不易收到电台的原因就在此。 e) 在良导体中， ， 且电磁场的关系为：424.4 惠更斯-菲涅耳原理与电磁波的衍射 在光学中衍射理论的基础是惠更斯-菲涅耳原理.现在从麦克斯韦电磁场理论出发，推导这一原

14、理并得出基尔霍夫公式，然后再利用它来讨论电磁波的衍射问题.1. 基尔霍夫公式按照光的电磁理论，光振动应当看作是E和H得振动.当光在各向同性均匀介质中传播时，如果在区域内不存在自由电荷和传导电流，则E和H均应满足波动方程 （4.4.1）式中u代表E和H得任一直角坐标分量.对于单一频率的电磁波，（4.4.1）方程可化为 （4.4.2）式中4344从场的观点看，如图4.4.1所示，由光源Q所发出的光波对P点的作用，可以看作是由包围P点的任一封闭曲面S上的各点的电磁场对P点作用的叠加. 现在用格林函数的方法，将P点的场u用S面上的边值来表示.令 （4.4.3）其中 可以直接证明，G（r，r）满足如下方程 （4.4.4）利用格林公式 （4.4.5）45由（4.4.2）和（4.4.5）式，上式左方被积函数 （4.4.6）则（4.4.5）式化为 （4.4.7）（4.4.6）式称为基尔霍夫（Kirchhoff）公式.它把P点的场表示为任意封闭曲面S上各点场对P点作用的叠加.462. 惠更斯-菲涅耳原理现在假设由Q点发出的光波是一球面波，它可表示为将它代人（4.4.6）式，则一般R和人比波长大很多，即kR1，kr1，则上式可近似为 47 光源Q发出的光波对