数学系常微分方程期末试卷A

1、人教任_封号学密_名姓班系院学数A）卷份数考试本科考试科目常微分方程号一二三四五六七分分数卷人卷明：1、考程的考方式：卷；2、考所用：120分。3、考班：数学院数11一、填空题（每题3分，此题共15分）1方程x(y21)dxy(x21)dy0全部常数解是2方程y4y0的基本解是3方程dyx2siny足解的存在独一性定理条件的地区是dx4性次微分方程的解Y1(x),Y2(x),Yn(x)基本解的条件是它的朗斯基队列式W(x)05一个不行延展解的存在在区必定是区二、单项选择题（每题3分，此题共15分）dy1x3y足初解存在且独必定理条件的地区是（）6方程dx（A）上半平面（B）xoy平面（C）下半

2、平面（D）除y外的全平面dyy1（）奇解7.方程dx（A）有一个（B）有两个（C）无（D）有无数个8n性次微分方程基本解中解的个数恰巧是（）个（A）n（B）n-1（C）n+1（D）n+2第1（共5）年代日9、微分方程xlnxyy的通解（）A、yc1xlnxc2B、yc1xlnx1C、yxlnxD、yc1xlnx1c210n阶线性非齐次微分方程的全部解（）（A）组成一个线性空间（B）组成一个n1维线性空间（C）组成一个n1维线性空间（D）不可以组成一个线性空间三、简答题（每题6分，此题共30分）解方程dyexydx12.解方程(x2y)dxxdy0第2页（共5页）213.解方程dydxyx年代日

3、114.解方程eydx封密d2x15求dt2(xey2y)dy03dx2x0的奇点型及定性dt3第3（共5）年代日4四、计算题（每题10分，此题共20分）16求方程yy1ex的通解217求以下方程组的通解dxydtdy2xydt第4页（共5页）5年代日封密6五、综合能力与创新能力测试题（每题10分，此题共20分）18在方程yp(x)yq(x)y0中，p(x),q(x)在(,)上连续，求证：若p(x)恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基队列式W(x)是(,)上的严格单一函数19在方程yp(x)yq(x)y0中，已知p(x)，q(x)在(,)上连续求证：该方程的任一非零解在xoy平面上不可以与

4、x轴相切712-13-2学期期末考试常微分方程A参照答案及评分标准（数学与计算机科学学院）制卷审查一、填空题（每题3分，此题共15分）1y1,x12sin2x,cos2x3xoy平面4充分必需5开二、单项选择题（每题3分，此题共15分）6D7C8A9D10D三、简答题（每题6分，此题共30分）11解分别变量得eydyexdx（3分）等式两头积分得通积分eyexC（6分）12解方程化为dy12y(2分)dxx令yxu，则dyuxdu，代入上式，得dxdudx1u(4分)xdx重量变量，积分，通解为uCx1(5分)原方程通解为yCx2x(6分)dyy13解对应齐次方程的通解为dxxyCx（2分）令

5、非齐次方程的特解为yC(x)x（3分）8代入原方程，确立出c/(x)1（4分）x再求初等积分得C(x)lnxC（5分）所以原方程的通解为yCx+xlnx（6分）14解：因为MeyN，所以原方程是全微分方程（2分）yx取(x0,y0)(0,0)，原方程的通积分为xyCeydx2ydy（4分）00即xeyy2C（6分）15解：令dxdy3y2x2分dty，则：dt因为010，又由10得23322320解之得11,22为两相异实根，且均为负4分故奇点为稳固结点，对应的零解是渐近稳固的。6分四、计算题（每题10分，此题共20分）16解：对应的齐次方程的特点方程为：210（1分）特点根为：11,21（2

6、分）故齐次方程的通解为：yC1exC2ex（4分）因为1是单特点根所以，设非齐次方程的特解为y1(x)Axex（6分）代入原方程，有92AexAxexAxex1ex，（7分）2可解出1（8分）A4故原方程的通解为yC1exC2ex1xex（10分）417解：特点方程为AE1021即220特点根为12，21（2分）2对应特点向量应知足21a10212b10可确立出a11（5分）b12相同可算出21对应的特点向量为a21（8分）b21所以，原方程组的通解为xe2tC2et（10分）yC1et2e2t五、综合能力与创新能力测试题（每题10分，此题共20分）18证明设y1(x)，y2(x)是方程的基本解组，则对随意x(,)，它们朗斯基队列式在(,)上有定义，且W(x)0又由刘维尔公式xp(s)dsW(x)W(x0)eW(x)W(x0)ex0 xx0，x0(,)（5分）p(s)dsp(x)10因为W(x0)0，p(x)0，于是对全部x(,)，有W(x)0或W(x)0故W(x)是(,)上的严格单一函数（10分）19证明：由已知条件可知，该方程知足解的存在唯一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是(,)（2分）明显，该方程有零解y(x)0（5分）假定该方程的任一非零解y1(x)在x轴上某点x0处与x轴相切，即有y1(x0)y1(x0)=0，那么