立体几何考点分析

1、立体几何考点分析纵观近三年新课标I卷、卷，总体特点是遵循考试大纲各项要求，试题设计科学规范，试题类型、难度基本保 持稳定，同时每年又有不同程度的创新 .空间几何体的直观图与三视图 三视图是考查空间想象能力的有效载体，高考一般以选 择题或填空题的形式出现 . 常见题型有：由几何体判断三视 图，利用三视图求几何体的表面积和体积等 .例1 如图甲， 网格纸上小正方形的边长为 1 ，粗实线画 出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱长中，最长 的棱的长度为（ ）图甲 图乙A. 62 B. 42C. 6 D. 4解析 如图乙，设辅助正方体的棱长为 4 ，三视图对应 的多面体为三棱锥 A-BCD ，最长

2、的棱为 AD=（ 42）2+22=6.答案 C解读 解决这类问题应根据几何体的三视图判断几何体的结构特征：三视图为三个三角形，对应三棱锥；三视 图为两个三角形、一个四边形，对应四棱锥；三视图为两个三角形、一个圆，对应圆锥；三视图为一个三角形、两个四边形，对应三棱柱；三视图为两个四边形、一个圆， 对应圆柱 .空间几何体中的表面积和体积 空间几何体的表面积、体积问题，常常结合三视图在选 择题、填空题中进行考查，其中文科也会在解答题中有一小 问考查空间几何体的表面积、体积 .例 2 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r) 组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图 所示.若该几何体

3、的表面积为16+20 n ，则r=() 2rr2r 正视图 俯视图 rA. 1 B. 2C. 4 D. 8解析 由三视图可知，此组合体是由半个圆柱与半个球体组合而成，其表面积为 S= n r2+2 n r2+2 n r2+4r2=20 n +16，求得 r=2.答案 B解读 由三视图求相关几何体的表面积和体积问题，可 先由给出的三视图，依据“正视图反映几何体的长和高，侧 视图反映几何体的高和宽，俯视图反映几何体的长和宽”来 确定表面积和体积公式中设计的几何量，注意三视图中的垂 直关系在几何体中的位置 .点、线、面的位置关系 点、线、面的位置关系的判断、推理证明是历年高考命 题的热点，其题型一般

4、是以空间几何体为载体，考查其中的 线线、线面、面面的平行与垂直的证明 .例3如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD 的交点，BE丄平面ABCD.证明：平面AEC丄平面BED;若/ ABC=120 , AE 丄 EC，三棱锥E-ACD 的体积为 63 ，求该三棱锥的侧面积 .解析 ( 1)因为四边形 ABCD 为菱形，所以AC丄BD.因为BE丄平面ABCD，所以AC丄BE.由此得AC丄平面BED.又AC?平面AEC，所以平面AEC丄平面BED.(2)设AB=x，在菱形ABCD中，由/ ABC=120 可得，AG=GC=32x ， GB=GD=x2.因为AE丄EC,所以在Rt AEC中，EG=

5、32x.由BE丄平面ABCD知， EBG为直角三角形，所以 BE=22x.由已知得，三棱锥 E-ACD 的体积VE-ACD=13 X 12AC X GD X BE=624x3=63,求得 x=2.从而可得 AE=EC=ED=6.所以 EAC的面积为3 , EAD的面积与 ECD 的面积均为 5.于是三棱锥 E-ACD 的侧面积为 3+25.解读 对于空间的直线与平面的平行、垂直的判定与证 明，关键是掌握基本几何体的模型与性质，熟练运用相关性 质定理和判定定理证题 . 求解时还要注意运用定理和性质的 完整性，否则解题过程就不是规范的 . 如本题，先证明 AC 丄BD , AC丄BE，且BD ,

6、BE是平面BED内的两条相 交直线，才能推出AC丄平面BED;由AC?平面AEC, 才能推出平面AEC丄平面BED.空间角与距离的度量 考纲要求能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、 平面与平面的夹角的计算问题 . 理科试卷每年均有一道解答 题设计一问求解空间的角或距离问题，这些试题多数都可以 用几何法和向量法进行求解，为同学们提供了更为广阔的思 考空间 .例 4 如图，长方体 ABCD-A1B1C1D1 中， AB=16 ， BC=10 , AA仁8,点E , F分别在A1B1 , D1C1上， A1E=D仆=4.过点E , F的平面a 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（ 1）画出这

7、个正方形（不必说明画法和理由） ；（2）求直线AF与平面a 所成角的正弦值.解析 （ 1）交线围成的正方形 EHGF 如图 .（2）作EM丄AB，垂足为M,则AM=A1E=4 , EM=AA仁8.因为EHGF为正方形，所以EH=EF=BC=10.于是MH=EH2-EM2=6，所以AH=10.以D为坐标原点，DA的方向为X轴正方向，建立如 图所示的空间直角坐标系D-xyz，则A（ 10,0,0），H（10， 10， 0）， E（10， 4，8），F（0， 4， 8）， FE=（ 10, 0, 0） ,HE= （ 0, -6,8）.设n=（ x，y，z）是平面EHGF的法向量，则n?FE=0，n?

8、HE=0，即10 x=0，-6y+8z=0.所以可取 n=（0, 4, 3） .又AF=（-10，4, 8），所以|cos|=|n?AF|n|AF|=4515.所以直线 AF 与平面 a 所成角的正弦值为 4515.解读 空间角与距离的计算,从解题的层面上看,传统 方法和向量方法都能求解 . 其中,利用传统方法要注意解题 过程的完整性,即实施“一作、二证、三计算”的解题程序 利用向量方法解题,合理地建立空间直角坐标系是求解的关 键，注意三点：一是三条直线必须是垂直的关系；二是平面 向量的法向量的选取注意方向性；三是公式的应用必须准确 和熟练 .数学史问题背景 以“数学史”为背景的试题，成为近年

9、来高考命题的亮 点，也将成为今后高考数学命题的保留内容 . 这类问题，对 考生的数学阅读能力提出了较高的要求，它要求同学们读懂 题目，转化成立体几何模型求解 .例 5 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著， 书中有如下问题： “今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺 . 问：积及为米几何？”其意思为： “在屋内墙角处堆积放米 （如图，米堆为一个圆锥的四分之一） ，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？” 已知1斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3 ，估算 出堆积的米约有（ ）A. 14 斛 B. 22斛C. 36斛 D. 66 斛解析 由1=14 X 2n r=8得，圆锥底面的半径r=16