数值积分考核要求

1、数值积分一、考核知识点：内插求积公式，代数精度，梯形公式及其余项，辛卜生公式及其余项，复化梯形公式及 其余项，复化辛卜生公式及其余项。二、考核要求：知道内插求积公式及其性质，会计算内插求积公式。了解代数精度概念，掌握内插求积公式代数精度的判别方法。3 .熟练掌握梯形、复化梯形公式及其余项；熟练掌握辛卜生、复化辛卜生公式及其余 项，熟练掌握运用它们计算定积分的近似值。三、重、难点分析例1在区间-1,1 上,求以气=-1，七=0，% = 1为节点的内插求积公式。解：由系数计算公式得 TOC o 1-5 h z 人=J1 x(x -1)dx = 1, A =J1 3 + D3 -1)dx = 4 0

2、-1 - (-1 -1)31-1(0 +1)(0 -1)3A J也旦dx = 12-1 (1 + 1)3所以求积公式为 I1 f (X) dxz 1 f (-1) + 4 f (0) +1 f (1) -1333例2求积公式2 f (x)dx 1 f (0) + 4 f+1 f (2)的代数精确度为()。 0333解由于此公式为3个节点的内插求积公式，代数精度至少为2。令f (x) = x 3，代入内插求积公式得.12,141.左边二2x3dx = 4x4 = 4，右边=(0)3 + 13 + 23 = 4，所以左边二右边 00再令f (x) = x4，代入内插求积公式得左边二2x4dx =

3、32，右边二；。4 + 414 + ；24 = 20 所以左边丰 右边053333所以此公式具有3次代数精度。例3用梯形公式和n = 4的复化梯形公式求积分着，并估计误差。解(1)梯形公式因为= 0，b =1，f (x)=由，代入弟形公式得则 J1 上 dx r 1 f (0) + f (1) = 1 上 + 上=0.75 0 x +122 0 +1 1 +1(2)复化梯形公式因为龙=峙=4和复化梯形公式得+ fdx - j f (0) + 2( f (!) + f (!) + TOC o 1-5 h z 84214 4 41=_ 1 + 2 x ( + + ) + r 0.69785 6 7

4、21.2因为 f (x)=-，f (x)= ， M = max|f(x)| = 2 x +1(1 + x)32 0 x 1所以幽f)| =(b -a)3 f 12 212 x 16 = 96注意：在用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算积分时注意系数的排列。例4用辛卜生公式和复化辛卜生公式计算积分J1当，使误差小于10-301 + x解(1)辛卜生公式因为a =。,b =1，f (x) = 土，代入辛卜生公式得6f (0)+4 f (2)+f =?+ 上=0.694 41 1 1 +1+12(2)复化辛卜生公式因为 M = max f (4)( x)=240 x 1(1 + X)5=24解不等式(川28 b -5 =- 2，用m = 2,n = 4,n = 1，复化辛卜生公式计算得4( dx 1 J r -01+x 12例5设A. (i = 0,1, ,n)为内插求积公式系数n 1证明 A x3 = (b4 一 a4) (n 2)i i 4i=0证明：设 f (x) = x3 ,因为 n 2