弹性体的震动

1、弹性体的振动5.1引言任何机器的零部件都是由质量和刚度连续分布的物体所组成的，也就是说这些零部件都是弹性体（连续系统）。但是在很多情况下，为了使问题简化，计算简便，常常将它们简化成多自由度的离散系统来分析。然而，在有些工程实践中，却要求对弹性体振动作严密的分析，这时就不能对它进行离散化处理。因此，对工程上常用的连续弹性体（如杆、轴、梁、板、壳，以及它们的组合系统）进行振动分析，求出它们的固有频率和主振型，计算它们的(a)动力响应，这在实用上和理论研究上都有非常重要的意义。(b)5.1多自由度系统和弹性体的动力学模型多自由度系统（离散系统）和弹性体（连续系统）是对同一个客观事物（机器零部件）的不

2、同的分析方法，因此它们之间必然存在一定的联系和明显的区别。从动力学模型上看，多自由度系统是将零部件看成由质量、刚度集中在若干点上的离散元件所组成。如图5.l（a）所示，它是把一个零件分成若干段，每段的质量分成两半，分别加在两端的集中质量上。两个质量之间则用不计质量、只计刚度的弹性元件相联结。这样就形成了具有n个集中质量（,m2，mn。）和n-1个弹簧（，k2，kn1）所组成的n个自由度的集中参数模型，其广义坐标用振动位移表示。弹性体则将零部件看成由质量、刚度连续分布的物体所组成，如图5.1（b）所示。当一个零件的分段数nX时，离散系统就变成连续系统，其横坐标x也从一个离散值（x1，x2，xn）

3、变为连续函数。因此系统的广义坐标要用一个由截面位置x和时间t所表达的二元函数y（X,t）来表示。这就是说，弹性体有无穷多个广义坐标，而且它们之间有一定的相互关系。从运动方程来看，多自由度系统用一个方程数与自由度相等的常系数线性微分方程组来描述；而弹性体则要用偏微分方程式来描述，其阶数决定于所研究的对象和振动形态。从振动特性来看，多自由度系统振动特性的推广即为弹性体的振动特性；而弹性体振动特性的近似即为多自由度系统的振动特性。在本章中，我们只研究弹性体的简单情况，即等截面的杆、轴、梁的振动和矩形薄板的振动。而且假设弹性体的质量和刚度均匀分布，在振动过程中弹性体不产生裂纹，即要求广义坐标的变化是连

4、续的。此外，我们的讨论只局限在线性范围内，即认为弹性体的应力-应变关系服从虎克定律，而且是均质各向同性的。5.2杆的纵向振动5.2.1运动方程假设有一根均质等截面的棱柱形杆，杆长为l,截面积为A，质量密度为p,拉压弹性模量为E。取杆件中心线为x轴，原点取在杆的左端面（见图5.2a）。假设在振动过程中杆的横截面只有x方向的位移，而且每一截面都始终保持平面并垂直于x轴线。当杆件处于平衡状态时，杆上各截面的位置用它们的x坐标来表示。当杆件振动时，x截面的纵向位移则用广义坐标u来表示。显然对应一个x就有一个u，而不同时间内每个u也在变化，因此u是x和t两个变量的函数，即u=u(x,t)osPAdx一s

5、(b)n2ut2ns亠dxx5.2棱柱形杆的纵向振动现在，我们在x截面处取杆件上一个微小的单元体来研究(见图5.2b),分析其受力状态。设x截面的振动位移为u，则在x+dx截面处的振动位移就应该是u+dx。又设Sx截Fx面上的拉压内力为s，则x+dx截面上的拉压内力应为s+;sdx。这一微元段所产生的惯性力是PAdx注。根据达朗贝尔原理可得出以下关系式;x2(5.1)骣+曹dxj-S-pAdx=0桫抖x=12根据虎克定律Q=E其中微元段的轴向应变量为=dx;x(5.2)故用微元段的轴向应力来表示其轴向拉压内力S时，可得将(5.2)式代入(5.1)式得即或式中S=Aq=AE=EA;xEA号dx-

6、pAdx=0抖x212抖u=_p2U抖x2E12抖u=12u抖x2a212(5.3)a=(5.4)(5.3)式即为等截面杆纵向自由振动的运动方程，它是一个二阶齐次偏微分方程式，也就是偏微分方程理论中著名的两阶波动方程。式中a可以证明是声波在杆件中沿x轴的传播速度，对一定的杆来说，a是个常数。固有频率和主振型如前所述，通过求解系统自由振动的运动方程，可以求出系统的固有频率和主振型。现在要求杆件纵向振动的固有频率和主振型，就要求解(5.3)式所示的偏微分方程式。我们现在不用偏微分方程的理论来求(5.3)式的解，而是根据对多自由度振动系统的了解，仍然用待定系数法来寻找它的简谐振动的特解。如前所述，多

7、自由度系统自由振动的解为x=Aein当自由度数n，上式中的振动位移的列矢量x就变成截面位置坐标x和时间t两个变量的连续函数u(x,t)。上式中的振幅列矢量(即主振型)A也就变成了连续函数U(x)，因为在弹性体振动过程中，对应于每一个截面位置坐标x就有一个振幅U，但由于弹性体截面有无穷多个，所以U也有无穷多个，故不能像多自由度系统那样用n个振幅组成的列矢量来表示，而只能用一个未知函数U(x)来表示。显然U(x)表示了杆件纵向振动的振型，故称其为振型函数。此外，还应有一个时间函数垂(t)，它表示杆件的振动方式。通过以上分析，我们可以推断出杆件纵向自由振动的解应具有以下形式TOC o 1-5 h z

8、 HYPERLINK l bookmark8 u(x,t)=U(x)0(t)(5.5)将上式分别对x和t求二次偏导M=(t)d2U(x)勺x2dx2也=u(x)皿勺12dt2将以上两式代入(5.3)式得()d2U(x)1()d2(t)(t)=U(x)-dx2a2dt2应用分离变量法，则上列偏微分方程的形式可改变为(5.6)a2d2U(x)1d2(t)U(x)dx2(t)dt2上式左边仅是坐标x的函数，右边仅是时间t的函数，因此它们必须等于同一个常数,上式方能成立。若设这一常数为-2(因为只有把常数设为负值，才可能得到满足边界条n件的非零解)，则(5.6)式就变成下列两个常微分方程式(5.7)(

9、5.8)(5.9)d20(t)+2(t)=0dt2nd2U(x)w2dx2显然，(5.7)与(5.8)式的解分别为+pU(x)=0a20(t)=Acoswt+Bsinwt1n1nU(x)=CXxcosn+Dsmn(5.10)式中，o即为杆件纵向自由振动的频率，也就是杆件的固有频率。U(x)则是杆件纵向n自由振动的振型函数即主振型。将(5.9)与(5.10)式代回(5.5)式，即得杆件纵向自由振动的解u(X，t)=桫1cos+Dsina1cos0+Dsina1cos0+Dsina(5.12)(5.13)o=ni(i=1,2,3鬃,)(5.15)(5.11)ox(t+an式中，C、D、申为四个待定

10、常数，要由杆件的两个边界条件和振动时的两个初n始条件来决定。现以杆件两端是自由端的情况为例来说明求固有频率及主振型的方法。由于自由端上应力b为零，故应变8也为零。因此自由端的边界条件可写成业I=0，业I=0FXx=0勺Xx=/将以上两个边界条件分别代入(5.11)得池1=Dn-sin(勺XX=0a1lC-cosn-nsinaaa)t+9)=0nnrsin(t+9)=0an因为对于任何t值，以上两式都必须成立，所以sin(t+9)0。因此，以(5.12)式得到nD=0。这时，不能再令C=0，否则就得到u(x,t)=0的非振动解。从(5.13)式可以看出,要使u(X,t)有非零解，就必须有sin0

11、1=0(5.14)a上式就是杆件纵向振动的频率方程，由此可求得无限多阶固有频率。因为由(5.14)式可得=i冗a故杆件的固有频率为对应于上述无限多阶固有频率，就有无限多阶主振型：U(x)=Ccos(5.16)iil令i=1,2,3分别代入(5.15)与(5.16)式，可求得具有自由端的杆件纵向振动时的前三阶固有频率和相应的主振型。第一阶固有频率和主振型为第二、三阶固有频率和主振型为3-|E=”3lU(x)=Ceos节Ccos2l,U(x)=P3Cc43l这三阶主振型表示在图5.3之中，可以看出，随着频率阶数的升高，节点数也在增加。Cl4C2C1沽/C5U6VbcC3图5.3杆件纵向振动的主振型

12、5.3轴的扭转振动5.3.1运动方程设有一根均质等截面圆轴，长度为l，半径为r，质量密度为p，剪切弹性模量为G,截面的极惯性矩为J。取轴线为x轴，原点取在轴的左端面（见图5.4）。paT乜dxx十Jdx空pat2dx图5.4圆轴的扭转振动在轴的x截面处截取微元段dx，并取x截面相对平衡位置的转角9为广义坐标，则在zd9F9=pdxFxT=GJFpFx塑=GJ厘抖kpx2抖T2T+dx=T+GJdx抖CPx2根据转动方程式可得即pJdxp桫+GJx2(5.17)则(5.17)式可改写成b=TPx+dx截面上的角位移应为9+览dx。故微元段两端截面的相对扭转角d9为Fxd9=骣+抖9诞9=dx桫抖

13、x-x因此，微元段的角应变量为p故x截面上的内扭矩T为单位长度上扭矩的变化量为所以x+dx截面上的内扭矩为圆柱形微元段的极转动惯量I为pI=pJdxpp(5.18)抖912抖x2b212上式就是等截面圆轴扭转自由振动的运动方程，它也是一个二阶波动方程。式中b是扭转波的传播速度，也是一个常数。固有频率和主振型比较(5.18)式与(5.3)式可以看出：轴的扭转振动运动方程与杆的纵向振动运动方程的形式完全相同。因此可以按照(5.11)式的形式直接写出(5.18)式的解9(x,t)=|Aco-n-+BsinnEsinbt+9)(5.19)桫bb匸”式中，A，B，w，9四个待定常数同样决定于轴的边界条件

14、及其振动的初始条件。n为了求出轴的扭转振动的固有频率和主振型，也必须给出轴的边界条件。图5.5轴扭动示意图现在我们以图5.5所示的一端固定，一端带有一个圆盘的圆轴为例，来说明计算轴系扭转的固有频率和主振型的方法。设轴长为l，并取轴线为z轴，圆盘对于轴线的转动惯量为I。这个系统的边界条件是，在固定端转角等于零，带圆盘这一端，则要求轴受到的扭矩等z于转子的惯性为矩。上述边界条件可用数学式表达如下0I=0z=0GJp骣20目桫12z=/(5.20)(5.21)将(5.20)式代入(5.19)式得将上式代入(5.21)式得l.3lGJB-ncos-=IBro2sinpbbznb3lJGtan=p-bI

15、b3zn若设圆轴对轴线的转动惯量为I,则有g(5.22)g(5.23)将(5.23)式代入(5.22)式得31Ibtann=gbI3l(5.24)(5.24)式即图zn5.5所示系统的频率方程。直接求解这一方程很不方便，一般可用作图法求解。即令31=9(5.25)b并作出以下两条曲线，如图5.6所示。jy=tan911I1jy2=亍9o25.6用图解法求系统固有频率则从这两条曲线的交点9即可求出系统的第i阶固有频率w(5.26)bw=9nili根据正切函数的性质，我们可以在横坐标上每相隔一个兀值就可以作出一条y=tanp曲线。因此可以得到曲线y与y的许多交点9、9、鬃所以即求出系统的各阶固有1

16、频率。对应于各阶固有频率w，就可以求出系统的各阶主振型(5.27)wz0=Bsinn(i=1,2,3,鬃)梁的横向自由振动5.4.1运动方程梁的横向振动是指细长杆作垂直于轴线方向的振动。在分析这种振动时，我们先作以下几点假设：1）梁的各截面的中心主轴在同一平面内，且在此平面内作横向振动。2）梁的横截面尺寸与其长度之比较小，可忽略转动惯量和剪切变形的影响。3）梁的横向振动符合小挠度平面弯曲的假设，即横向振动的振幅很小，在线性范围以内。这种只考虑由弯曲引起的变形，而不计由剪切引起的变形及转动惯量的影响的梁的弯曲振动的力学模型，称为欧拉伯努利梁。下面我们先来分析一根棱柱形梁在x-y平面内所作的横向自

17、由振动（图5.7）。y*一dx图5.7梁的横向自由振动以梁在横截内的对称平面内的横向位移y作为广义坐标。并设梁的横截面面积为A，单位长度质量为m，单位体积质量（质量密度）为p，横截面对中心主轴的惯性矩为J,截面的抗弯刚度为EJ。现从梁上x截面处截取微元段dx，并分析其受力状态。若设x截面上作y(x,t)=Y(x)0(t)(5.34)y(x,t)=Y(x)0(t)(5.34)用的剪力为V，弯矩为M，则在x+dx截面上作用的剪力为V+牛dx，弯矩为M严dx。dx微元段产生的惯性力则为抖2ymdx=pAdx抖2根据达朗贝尔原理,可得出以下关系式V-桫+誓墟2yt22yPAdx=0t22yt2扌*=-

18、PA再对微元段右面(即x+dx截面)上的任一点作力矩平衡方程，得骣抖M,亠2ydxcM+dxM-Vdx+pAdx=0桫抖E=t22抖M2y(dx)2cdx-Vdx+pA=0抖e122(5.28)略去上式中的(dx)2二阶小项,IM=vFx(5.29)x2由材料力学知M=EJ也Fx2将上式代入(5.29)式得抖V抖:2抖骣2y亠x2M=抹2桫xyMEJ4yx4(5.30)将(5.30)式代入(5.28)式,得(5.31)EJ(5.32)a=PA则(5.31)式变为(5.33)抖y=12y抖k4a212(5.33)式即为等截面梁横向自由振动的运动方程，它是一个四阶齐次偏微分方程固有频率和主振型求解

19、梁的横向自由振动的偏数分方程即可求得它的固有频率和主振型。设(5.33)式的解为将上式对t和x分别求二次和四次偏导也=Y(x)勺12At2=(t)d4Y(t)将以上两式代入(5.33)式得F4ydx4-丄Y(x)a2d2(t)dt2应用分离变量法可将上式改写成以下形式a2d4Y(x)1d2(t)tu)ixr一顷ltT(5.35)式中，O2是一个常数。n(5.35)式又可改写成下列两个常微分方程d2(t)+O2(t)=0dt2nd4Y(x)O2nY(x)=0dx4a2如前所述，(5.36)式的解为(t)osot+Bsinot1n1n(5.37)式可改写为式中d4Y(x)dx4-九4Y(x)=0o

20、2pA4=_O2a2EJn(5.39)式是一个四阶常系数齐次微分方程，可设其解为Y(x)=esxd4Y(x)S4esxdx4将以上两式代入(5.39)式后，得特征方程S4九40从上式解出四个特征根为S士认,S土九1,23,4故(5.39)式的解为Y(x)Ae-加+Be加+Ce-加+De加(5.36)(5.37)(5.38)(5.39)(5.40)(5.41)(5.42)(5.43)因为e士i九cos九x士isinXxe士九chXx士shXx将以上两式代入(5.43)式，得Y(x)=i(B-A)sin九x+(B+A)cos九x+(D-C)sh九x+(D+C)ch九x=Asin九x+BcosXx+

21、CshXx+DchXx(5.44)(5.44)式就是梁横向自由振动的振型函数。将(5.44)式与(5.38)式代回(5.34)式，即可求得梁的横向自由振动的解为y(x,t)=(AsinXx+BcosXx+CshXx+DchXx)(Acost+Bsint)1n1n(5.45)式中有六个待定常数，其中A,B取决于振动的初始条件，A,B,C,D则取决于梁的边界条件。11如前所述，只要将边界条件代入振型函数的表达式，即可求出固有频率和主振型。为了以后运算的简化，我们引入克雷诺夫函数S(Xx)=1(chXx+cosXx)2T(Xx)=丄(shXx+sinXx)2U(Xx)=(chXx一cosXx)2V(

22、Xx)=(shXx一sinXx)2J这四个函数的数值均有表可查，而且还具有以下性质，故运算方便。(5.46)dSdx=XV，空=XS,也=XT，吐dxdxdx=XUd2Sdx2=X2U，=X2Vdx2dx2=X2S,，=X2Tdx2(5.47)d3Sdx3=X3T,=X3Udx3dsUdx3=X3V，=X3Sdx3将(5.46)式代入(5.44)式，则梁振动的振型函数表达式可改写成以下形式Y(x)=CS(Xx)+CT(Xx)+CU(Xx)+CV(Xx)1234(5.48)式中，1(C2-C4)=A，2(C1-C3)=B(C+C)=C，1(C+C)=D24213对(5.48)式分别求一阶、二阶、

23、三阶导数，得dYdx=XCV(Xx)+CS(Xx)+CT(Xx)+CU(Xx)1234(5.49)竺dx2=X2TcU(Xx)+CV(Xx)+CS(Xx)+CT(Xx)1234(5.50)竺=X3CT(Xx)+CU(Xx)+CV(Xx)+CS(Xx)(5.51)dx31234下面我们分别研究几种不同支承的梁横向振动的固有频率和主振型。1)两端自由梁这种梁的边界条件是两端弯矩与剪力为零。即ii将竺dx2=0代入（5.50）式，得x=0d2Y=0，d3Y=0dx2x=0dx3x=0d2Y=0，d3Y=0dx2x=ldx3x=l将业=0代入(5.51)式，得C=0dx3X=04将dYdx2=0代入(

24、5.50)式，x=lCU(九l)+CV(九l)=012将竺dx3=0代入(5.51)式，x=lCT(九l)+CU(九l)=012由以上四式可以看出，由于C、3C具有非零解的条件为32C已为零，故要求得振动解，C、C不能为零。而C、4121U(九l)V(九l)T(Xl)U(九l)=0将上式展开得U2（九l）-V（九l）T（九l）=04(chXl-Z)2-4曲-沐1XshM+沐1)=0将上式展开，并引入以下两个关系式：则可得ch2九l一sh2九l=1,cos2九l+sin2九l=1cosXlchXl=1(5.52)（5.52）式即为两端自由梁横向振动的频率方程。这是一个超越方程，常用图解法来求它的

25、根。为此，先将上式改写成cosll=1ch九l(5.53)以九l为横坐标，作出cos九l和1/chXl的两条曲线，如图5.8所示。两条曲线的各个交点的横坐标就是这一超越方程的解，也就是频率方程的根。几个最低相邻的根为九l九l九l九l九l九l01234504.7307.85310.99614.13717.279九l图5.8用图解法求解频率方程根据以上数据，可得出九l非零根的近似数学表达式为xx00(5.54)入l2i1冗(i=1,2,)i2由(5.40)式可得系统固有频率的计算公式为cd_a入2=ni_i(i_1,2,-)(5.55)将(5.54)式代入(5.55)式，即得两端自由梁横向振动固有

26、频率的计算公式dniI2l丿(i_1,2,-)(5.56)将前面求得的C_0,C_0，以及C_-二软各式代入(5.48)式，即得两端自由梁横34CU(九l)1向振动的振型函数为Y(x)_CS(九x)+CT(九x)_CS(九x)+T(九x)121C1_Cch九x+cos九x一21shll+sinll/sh九x+sin九x丿chll一cos九l(5.57)_Dchix+cos九x一shf+sinf(sh九x+sin九x)chll一cosll式中，D_1C是个任意常数。21只要将对应于各阶固有频率d的11值代入(5.53)式，即可求得两端自由梁横向振动的nii各阶主振型。其第一阶、第二阶和第三阶主振

27、型分别如图5.9(b)、(c)和(d)所示。0.86&a0.224l0.776l0.51bc0.3561d0.09410.6640.906图5.9两端自由梁的主振型2)两端简支梁这种梁的边界条件是两端位移与弯矩为零。即d2Ydx2x_0Y_0，x_1d2Ydx2x_1将以上边界条件分别代入(5.48)、(5.50)式，得C=C=0CTCl）+CV（Xl）=0（5.58）CV（Xl）+CT（Xl）=024要使C、C有非零解，则其系数行列式必须为零，即24T（Xl）V（九l）V（Xl）T（九l）一0将行列式展开得T2（九l）V2（九l）=0即shXlsinXl=0但因为sh九l工0故sin九l=0

28、(5.59)(5.59)式就是两端简支梁横向振动的频率方程，解此方程即可求得系统的各阶固有频率解(5.59)式得（5.60）九l=i冗(i=1,2,)i将上式代入(5.55)式，即得两端简支梁横向振动固有频率的计算公式nil2（i=1,2,-）（5.61）将由(5.58)式得到C=C=0，C=C=D等关系式代入(5.48)式，即得两端简支梁横1324向振动的振型函数：Y(x)=CT(九x)+CV(九x)24=D丄（sh九x+sin九x）一丄（sh九x一sin九x）（5.62）22=DsinXx可见，两端简支梁的振型函数是个正弦函数,若将与各阶固有频率ro相对应的九.=匹值niil代入(5.62

29、)式，即可求得两端简支梁的各阶主振型。其前三阶主振型表示在图5.10之中。x3)两端固定梁这种情况的边界条件是两端位移和转角为零，即-o,竺-oxodxxo=o,dYxIodxxi将以上边界条件代人(5.48)、(5.49)式，得CCoCU（Xl）+CV（九l）-oCT（九l）+CU（九l）o34（5.63）U（九l）V（九l）T（九l）U（九l）o展开后得频率方程cosXlchXl1(5.64)此式与(5.52)式完全相同，这表明两端固定梁的固有频率与两端自由梁相同，只是两端固定梁不可能像自由梁那样有九lo的刚体位移，所以没有频率方程的零根。两端固定梁的振型函数是Y（x）Dch九x-cos九

30、x-5+sin（shXx-sin九x）ch九l一cos九l（5.65）它的前三阶主振型如图5.11所示。图5.11两端固定梁的主振型4)一端固定一端自由梁这种梁的边界条件是，固定端的位移和转角为零，自由端的弯矩和剪力为零，即Y=0,x=0dYdx=0 x=0d2Ydx2=0，x=ld3Ydx3=0 x=l将以上边界条件分别代入(5.48)、(5.49)、(5.50)、(5.51)各式，得从而有C=C=0CS(九l)+CT(X/)=0CV(Xl)+CS(X/)=034S(Xl)T(Xl)V(Xl)S(Xl厂(5.66)展开后得频率方程cosXlchXl=-1(5.67)仍用图解法求出频率方程的各

31、根是XlXlXlXlX5Xl1234=V00|0.5L2|u30|2L2u04J丿-3L3LL20.5L2自振频率通过求解特征方程K（h=3M得到ro=3.517721ro=75.15713ro2ro4而精确解为ro=3.51621ro2ro4mL4m=ro=3.156231ro2ro3算例2用集中质量法重新计算以上算例。解：与算例1不同之处是质量矩阵不同，采用集中质量法时，结构总体质量矩阵可以很容易确定000mL200000采用集中质量矩阵时，体系仅有两个动力自由度，进行特征值分析得到的两个自振频率5.7矩形薄板的振动5.7.1薄板概念和假设在石油、动力、化工设备与车辆中，平板是常见的部件。

32、例如，容器的平顶盖，方形或矩形贮槽的器壁及底，各种插板式阀门等均为平板结构，车辆的车体、车身、车架等也为板形结构，它们在横向载荷的作用下发生弯曲，因此建立薄板弯曲理论有重要的实际意义。薄板实际上指的是中等厚度板，它区别于薄膜和厚板。板的厚度h与板面最小尺寸b之比.大约在如下范围内就定义为薄板：80口)-y1卩2yxEY2(1+卩)xyTxy5.145)将式(5.144)代人式(5.145)得Ez/Q2d2、(+H)1一卩2Qx2Qy2Ez/Q2Q2 HYPERLINK l bookmark377 c=(+h)y1卩2Qy2Qx2Ez/Q2、T=()xy1+QxQyI5.146)由式(5.146

33、)可知，当Z=0时，即在中面上应力分量c、c及t皆为零，这和假设(3)xyxy是相符的。此外，由于只是x、y的函数，不随Z变化，可见上述三个应力分量与Z成线性关系。(3)内力在一般情况下，板的侧面很难严格地满足静力边界条件。只能应用圣维南原理，以各力的形式使有关应力分量在板的边界单位宽度上所组成的内力沿板厚总体满足边界条件。下面将导出应力分量与合成内力之间的关系，以便建立由内力表示的静力边界条件。从薄板内取出一个微小的平行六面休，它的边长分别为dx、dy和h，如图5.25所示。图5.25薄板微元体在垂直于ax轴的横截面上，作用着应力分量、和T。由式(5.243)可知，和Txyxyxxy与坐标Z

34、成正比，是Z的奇函数，所以它们在薄板全厚度上的总和分别为零，只可能合成为弯矩和扭矩。把作用于板单位宽度上的弯矩记作为M，单位宽度上的扭矩记作M，于是xxy有h/2-h/2zbdydzx将式(5.146)中的第一式代入，并对z进行积分得一E_(辽+卩凹)Jh/2z2dzTOC o 1-5 h zx(1-P2)-h/2Eh32d2_-12(1-p2)(aXT+pdyr)同理，应力分量T将合成为扭矩xyM=丄竺Jh/2z2dz一Eh3竺xy1+pdxdy-h/212(1+p)dxdyyyxyz同样，在垂直于oy轴的横截面上，作用着、工、工。其中b和T也分别合成为yyz单位宽度的弯矩M及单位宽度上的扭

35、矩M，于是有yyzTOC o 1-5 h zM二Jh/2zbdz二-(+-y-h/2y12(1-p2)dy2dx2,Eh3d2M二Jh/2zrdz二二Myx-h/2yx12(1+p)dxdyxy引入Eh3D-12(1卩2)5.147)称为薄板的弯曲刚度，它的因次为力长度，其意义与梁的弯曲刚度相似；而梁的弯曲刚度为EJ，所差的是分母有(1-R2)项，所以薄板的弯曲刚度总是大于并排放置的梁对应的弯曲刚度。改写以上各式，得横截面上的弯矩和扭矩为5.148)TOC o 1-5 h zd2d2M=-D(+卩)xdx2dy2d2d2M=-D(+p)ydy2Qx2d2M=M=D(1卩)- HYPERLINK

36、 l bookmark385 yxxydxdy应该指出，由假设可知，应力分量、T、T都为零，而实际上它们是远小于、zxzyzx、T三个应力分量的量。它们所引起的变形可忽略不计，但对于平衡是一定要计及的。yxy其中T、T的合力为xzyzQ=h/2Tdz,Q=h/2Tdz(5.149)xh/2xzyh/2xz显然，在求得了弯矩M，M，和扭矩M后，可直接求得应力分量、Txyxyxyxy比较式(5.146)和式(5.148)后，可得12M12M12Mz,(5.150)v#xzxh3yh3xyh3h当z=时，可得应力的最大值。(4)平衡方程式因为可以把内力M、M、M、Q、Q和载荷q(x,y)都看成是作用

37、在中面上的,xyyxxy从而可以从薄板中面的平衡条件导出弹性曲面的微分方程。从薄板中截出一微小单元体，它的中面尺寸为dx及dy，如图5.26所示。为简单起见,图中只画出该微元体的中面，并将载荷及横截面上的内力画在中面上。载荷及剪力用力矢表示；弯矩及扭矩，按右手螺旋法则，用矩矢表示。QxdxMyzMxyMxy+沁dxQxMy+QMydy込dxQxQMx,Mx+dxQxMyx+沁dyQyTQy+dyQQ(Q+xdx)dydx+(QxQx5.152)图5.26微元体受力分析平衡条件工x二0、Yy二0及工M=0可自然满足。如将z方向的体力计算在垂直z于板面的载荷之内，则由工z=0，得QQQQ(Q+xd

38、x)dy+(Q+ydy)dx-Qdy-Qdx+q(x,y)dxdy=0 xQxyQyxy化简后得QQQQx+y+q(x,y)=0(5.151)QxQy由YM=0得yTOC o 1-5 h zQMQMMdy(M+xdx)dy(M+yx)dx+Mdx+xxQxyxQyyxQMdxdxdx+Ady)dxQdx+q(x,y)dxdy=0Qy2y22略去高阶微量，简化后有同理由YM=0，有xQMQMQ=a+xyyQyQx将式(5.252)代人式(5.151)，注意M=M，即得用弯矩、扭矩及载荷表达的平衡方程xyyx为TOC o 1-5 h zQ2MQ2Md2M二-q(x,y)5.153)x+2亠+ydx

39、2dxdydy2将式(5.148)代人式(5.,152),对于等厚度的薄板得用表示的横向剪力表达式为a1Q二一DV2x&c(5.154)aQ二一DV20yayJ式中5.155)a2a2V2=+ax2ay2将式(5.154)代人式(5.151)得到薄板弹性曲面的微分方程为a40a40a40q+2+二(5.156)ax4ax2ay2ay4D上式改写为V佃=(5.157)D式(5.156)或式(5.157)就是薄板小挠度理论的基本微分方程，也称为板的挠度方程。按位移求解薄板小挠度弯曲问题，须按薄板侧面上的边界条件，由微分方程式(5.156)求出挠度0。(5)次要应力分最的表达式次要应力分量(T)、T

40、(T)和都远小于Q、b、工，根据假设，由它们所xzzxyzzyzxyxy引起的变形可忽略不计。但对于维持平衡，则是必须的，所以也应计算，即用位移分量0来表示。如不计体力，由平衡微分方程abaTaT1x+yx+zx+X=0axayaz5.158)aTabaT+y+zy+Y=0axayazaTaTabxz+yz+L+Z=0axayazJ的前两式得2az=6(T(2h)2(1+h)0V45.165)2az=6(T(2h)2(1+h)0V45.165)将式(5.146)代入得0Tzx0z0T砰0z0 x0T0Tzy-一呼0z0 x0303(+0 x3dxdy20TTX=0C0Ty0yy0y5.159)

41、、Ez0)=V21-H20XEz0Ez1|LX2Ez月3=(+)=V20z1一卩20y30y0 x21一卩20y由于挠度仅是X、y的函数，并利用薄板上下面的边界条件，即d3、(+)=5.160)(T)=0，(T)=0zx丄hzy丄h225.161)z=将式(5.160)对z进行积分，并利用边界条件(5.161)得T=T=Ez(z2)2V2旷xz2(1p2)40 xEz/h20T=T=(z2)V2zyyz2(1p2)40y5.162)可见，切应力分量TT沿板厚是按抛物线规律分布的。zx同样，对于次要应力也可按上面类似的方法用挠度来表示。由平衡微分方程式z(5.148)的第三式得0Q0T0T5.1

42、63)亩=皆yz0z0 x0y如体力分量ZH0，可以把薄板每单位面积内的体力计人面力Z中，都用q表示，即q=Z+Jh/2Zdz-h/2这只会对引起一些误差，但并不影响其它应力分量z将式(5.162)代人式(5.163)，有5.164)竺=E(竺-z2)2v40z2(1-p2)40X注意到仅是X、y的函数，并利用边界条件9)=0，对式(5.261)积分，有zhz=可见，b沿板厚按三次抛物线规律分布。利用式(5.254)及式(5.244),上式写成z1zzb=2q()2(1+)(5.166)z2hh如令j=h2z2)则由式(5.162)、式(5.154)及式(5.147)可得5.167)QSQST

43、=x，T=yxzJyzJ在z=0时，有(T)xzmax3Qx2h(T)yzmax3Qy2h5.168)以上关系类似于梁中的切应力分布规律。5.7.3矩形板的边界条件本节以矩形薄板为例。说明各种边界条件的情况。图5.27所示的矩形板。OA边为固定边，OC边为简支边,AB和BC边为自由边。下面分别讨论其边界条件：固定边边界上的挠度和转角应为零，所以边界条件有(w)=0，($)=0(5.169)x=0dxx=0图5.27矩形薄板边界简支边边界上的挠度为零，此外板边可以自由转动，所以弯矩也应为零，故(w)=0,(M)=0y=0yy=0将式(5.148)第二式代入得(w)=0，y=0(凹+宀=0dy2d

44、x2y=0由于()y=。=应在y=0的整个边界上满足，必然有(My=0=0和(dx2)y=0=所以简支边的边界条件又可写成()二05.170)y=0(旦)=0dy2y=o自由边边界上弯矩、扭矩和横向剪力都应为零，即有三个边界条件。以图5.29的AB边为例其边界条件为(M)=0，(M)=0，(Q)=0yy=byxy=byy=b但是弹性曲面微分方程(5.156)是四阶偏微分方程，在任一边界上只可能满足两个边界条件。克希霍夫指出，薄板任一边界上的扭矩都可以变换为等效的横向剪力，并和原来的横向剪力合并。例5.5图5.28所示周边固定的椭圆形薄板，长半轴为a，短半轴为b，承受均布载荷q作用，试求板的挠度

45、和内力。图5.28椭圆形薄板解：椭圆的边界方程为x2y2+-a2b2(a)选取挠度的表达式为=m(1-乂-兰)2a2b2(b)式中。m为常数。在板的边界上有m=0张=0dn一(c)式中，n为薄板边界的外法线。由式(a)及式(b)可见，式(c)第一式能够满足。此外，挠度对边界法线方向的导数为=cos(n,x)+cos(n,y)QnQxQy(d)将式(b)代人式(d),并利用边界条件式(c)的第二式，于是在边界上有型=-4m(1-乂-22)(竺0巴+皿)=0dna2b2a2b2因此，固定边的边界条件式(c)都得到满足。将式(b)代人弹性曲面的微分方程式(5.253)，可得常数qm=03238D(3

46、+2+3)a4a2b2b4(e)再将常数m，代人式(b),即得边界固定的椭圆薄板在均布载荷q作用下的挠度x2y2 HYPERLINK l bookmark359 q(1)2a2b2323-8D(3+2+3)a4a2b2b4(f)将式代人式(5.245),可求内力为V2Q2M二一D(+卩)xdx2dy2 HYPERLINK l bookmark369 q(3x2丄y21、丄.(3y2丄x21门 HYPERLINK l bookmark371 二一(+)+卩(+)3x23a4a2b2a2b4a2b2b22(+)a4a2b2b4(g)d2Wd2WM=D(+y)ydy2dx2q(3y2+x2一2(2+

47、2+2)a4a2b2a4a2b2b41)+卩严a2a4+y:-1)a2b2a2(h)d2wMM=D(1)-yxdxdyxyxy(1-H)q2(3+2+3)a2b2a4a2b2b4(i)最大挠度为w(w)maxx,yq.338D(+)a4a2b2b4当ab时，最大弯矩为M=(M)maxyx=0,ybq732377(+)b2a4a2b2b4图5.28给出了弯矩M沿oy轴变化的大致曲线。y此时式(h)当a趋向无限大时，则椭圆板将成为跨度为2b的平面应变情况下的固端梁。可简化为=-农(型-1)6b2在梁的中央及两端，弯矩分别为(M)=yy=oqb2q(2b)224，(M)yy=bqb23q(2b)21

48、2这一结果与材料力学中的结果相同。5.7.4四边简支矩形板图5.29所示的四边简支矩形板，假设作用在板面上的分布载荷由下式给出，即图5.29四边简支矩形板5.171)式中，q0表示在板中心处的载荷强度。此时，挠度曲面的微分方程式(5.253)应表达为d4小d4d4q.兀x.兀y+2+=fsmsin-dx4dx2dy2dy4Dab5.172)简支边界条件为(w)=0,(a2w)=0 x=0dx2x=0d2W(w)=0,()=0 x=adx2x=ad2w(w)=0,()=0y=0dy2y=0d2w(w)=0,(G)=0y=bdy2y=b5.173)现要寻找一个挠度函数，使其既能满足挠度方程式(5.

49、172)，又能满足边界条件式(5.173)，故可取兀x.兀yw=Csinsin-ab5.174)式中，C为常数，显然式(5.174)满足式5.173)的所有边界条件。将式(5.174)代入式(5.172)得兀4(丄+丄)2C=q(5.175)a2b2D由上式求得数C,代人式(5.174)，得挠度表达式为q(101)D兀4(+)2Da2b2.兀x.兀ysmsm-ab5.176)将式(5.176)代人式(5.148)，则得q/I卩、.兀x.兀yo(+)smsin-11a2b2ab兀4(+)2a2b2q/卩1、11(+)sm11a2b2兀4(+)2a2b2 HYPERLINK l bookmark4

50、62 q(1-卩)兀x0coscos11ab兀x.兀ysmab5.177)Mt1xy11兀4(一+一)2aba2b2ab将x=-,y=-代人式(5.176)和式(5.177),可得薄板的最大挠度和最大弯矩为maxqD(101)兀4D(一+)2a2b25.178)(M)xmax(M)ymaxq(1卩、101(+T_)11a2b2兀4(+)2a2b2101(+7_)仃1I1ca2b2兀4(+)2 HYPERLINK l bookmark554 a2b2一5.179)通过式(5.154)可计算剪力为q兀x.兀y0；cossm仃(1丄1、ab兀a(+)a2b2小q.兀x兀yQ=o；smcosy佔(1丄

51、1、ab兀b(+)a2b2一5.180)如第三节中所分析的那样，可求得板边支座上的反作用力。对于边界x=a处，有V=(Q+xx6Mq/12卩厂一(+)sm HYPERLINK l bookmark612 11a2b2兀a(+)2a2b25.181)同样地，对于边界y=b处，有5.182)5.182)q/I2_卩厂一(+)sm11b2a2兀b(+)2a2b22q兀(+)La2b24qab8q(1_卩)=0+r1一兀211兀ab(+)2a2b21(丄+土上卩sin空aJa2b2丿0bb2dy+_bJb2.兀x,sindxa5.183)dMV=(Q+xy)=yydxy=b由上两式可知，反作用力是按正

52、弦曲线分布的，负号表示作用在板边界上的反作用力方向向上。由于对称，在边界x=0和y=0处，反作用力的分布和式(5.181)及式(5.182)相同。反作用力的合力为式(5.183)右边第一项可写成如下积分，即4qabafb兀x.兀y,o=JJbqsinsindxdy(5.184)兀2oo0ab由此可知，作用在边界上的分布反作用力之和总是大于式(5.184)所给出的作用在板面上的总载荷。这是因为板边的四个角点上，还有集中的反作用力需要考虑之故。下面根据板的弹性挠曲线，分析此反作用力方向。根据式(5.176)，此板的挠曲线形状大致如图5.32a虚线所示。这些虚线是用平行于xoz和yoz坐标平面对板的

53、弹性曲面所截后得到的曲线。从这些虚线可知，在角点b处附近的偏导数a/ax应为负值，并随着坐标Y的增大其绝对值将减小。因此，在角点B处，a2/dxdy应为正值，由式(5.148)第三式可知，在此角上M和Mxyyx皆为负值。所以这两个集中力均应向下，它们的合力指向如图5.32b所示。根据对称性，此板的四个角点的集中反作用力是相等的，它们的大小为R=2(M)xyx=ay=b2q(1_卩)oC11兀2ab+Ja2b2丿5.185)四个角点的合力恰好等于式(5.183)的第二项。图5.30b画出了作用在板边界上的分布反力和角点处的集中反力，它们和式(5.171)所确定的载荷保持平衡。容易看出，在载荷的作

54、用下，薄板的四个角处有向上翘的趋势，因此必须有集中力R的作用，以便在角区附近阻止这种变形趋势。a)图5.30薄板边界反力b)最大弯曲应力出现在板的中心。若ab，在中心处,，MM，则最大弯曲应力为yxQ)ymax6(M)y_maxh26q(卩1i0i-+兀2h2(丄+丄)Va2b2丿a2b25.186)最大剪应力出现在板的长边的中点，由于剪应力沿板厚按抛物线分布，于是由式yz(5.182)可：()yzmax3q(12卩)i-0i+2兀bh(+丄)21b2a2丿a2b25.187)对于正方形薄板，a=b，由式(5.178)和式(5.179)可得：qa4二max4兀4D仃+U)(M)二(M)二qa2

55、xmaxymax5.188)5.7.5简支矩形薄板的弯曲位移四边简支的矩形薄板如图5.29所示，边长分别为a及b，板面受连续分布的载荷q(x,y)作用。当无支座沉陷时，其边界条件同上节，即()=0,(Q2)=0 x=0Qx2x=0Q2()=0,()=0 x=aQx2x=aQ2()=0,()=0y=0Qy2y=0Q2()=0,()=0y=bQy2y=b5.189)现在问题归结为在满足边界条件式(5.189)下，求解下列方程d4亠d4Q4q(x,y)+2+=Qx4Qx2Qy2Qy4D5.190)纳维叶假设挠度w的表达式可取如下的重三角级数V号m兀x.n兀yw=Asinsinmnabm=1n=15.

56、191)式中，m和n都是任意正整数；Amn为待定系数。不难看出，挠度w能满足边界条件式(5.189)。将式(5.191)代人微分方程式(5.190)得2，y)5.192)人.m兀x.n兀yAsinsinm=1n=1mnab从该式可以求得系数Amn。为此须将式(5.192)右边的载荷ql,y)也展成重三角级数，即qx,y=asinmnm=1n=1m兀x.n兀ysinab5.193)式中的待定常数amn为amn5.194)4Amn从该式可知，只要求出amn，则系数Amn即可求出。为了求得系数amn，可按三角级数系数的通用确定方法，利用式(5.194)，将其两边都.m兀x.乘以sin，其中m为任意正

57、整数。然后对X从0到a积分，得a5.195)TOC o 1-5 h zm兀xVdx=asinamnm=1n=1n兀y|*a.m兀x.m兀xzJsinsindxb0aa注意到，a.m兀x.m兀x7门当m丰m时，Jsinsindx=00aaa.m兀x.m兀x7a当m=m时，Jsinsindx=0aa2m兀xtdx=经上述处理后，式(5.195)的右边只剩下m=m之项，其余各项均为零。为此，可将式(5.195)改写为CTsin乙a,mnn=1再将此式两边分别乘以sinn兀xb其中n也是任意正整数，然后对y从0到b积分得:m兀x.n兀ytta号b.sindxdy=a,Jsinab2mn0n=1竺sin

58、也dybb5.196)同理该式右边的积分，当n丰n时，各项均为零，只有当n=n时，该积分才不等于零,而等于b/2。于是式(5.196)改写为).m兀x.n兀yab,y丿sinsindxdy=a,ab4mn因为m，n皆是任意的正整数，可以换写成m和n，并由上式解得m兀x.n兀y77,y丿sinsindxdyab4a=-mnab5.197)将该式代人式(5.194)，可解出4A=mnm兀x.n兀y77,y丿sinsindxdyab(22、2m2n2+a2b2丿兀4abD5.198)将该式代人式(5.191)，并利用式(5.194)就得到承受连续分布载荷q(x,y)作用的四边简支矩形板的挠度1VVa

59、乙乙mn(22、2m2n2+.a2b2丿w二兀4Dm=1n=1.m兀x.n兀ysinsinab5.199)例5.6设有四边简支的矩形板，边长分别为a和b，如图5.29所示。如板面受到均布载荷q0作用，试求板的挠度、弯矩和扭矩。解：若薄板承受均布横向载荷q(x，y)=qo常数时，由式(5.197)得4fafb.m兀x.n兀ya=qsinsindxdymnab000ab4qab()()16q=o1-cosm兀八1-cosn兀丿=o-ab兀2mn兀2mn式中，m和n都是奇数，如m、n中有一是偶数，则amn=0。代入式(5.199)，得w=兀6Dm=1n=1mn.m兀x.n兀ysinsinab(22、

60、2m2n2+a2b2丿(m,n二1,3,5.)5.200)ab板的最大挠度位于板的中心，将x二2，y二2代人得m+nw二竺0max6兀Dm=1n=1mn12(22、2m2n2+.a2b2丿(m,n二1,3,5,)这个级数收敛很快，仅取一项所得结果也能令人满意。例如取m二n二1，得正方形板中心处挠度的近似值为对于正方形薄板，即a二b,Wmax=黑=0.00416蛰如果取级数的前四项m二1，n=1,3；m二3，n=1,3，若精确到三位有效数，则w=0.00406q.a4/Dmax0将式(5.200)代人式(5.148)，可得板的弯矩和扭矩分别为=16qo兀4m=1n=1mnm2n2+卩-a2b2