对称特征值问题

1、对称特征值问题 第1页，共17页，2022年，5月20日，2点13分，星期三 Sturm 序列定义：多项式序列 即为 的特征多项式. 称为矩阵 的Sturm序列.第2页，共17页，2022年，5月20日，2点13分，星期三有：性质1 ，仅有实根. 这是因为矩阵 的任意k阶主子矩阵都是对称矩阵， 为它的特征多项式，所以它的k个零点都是实数.第3页，共17页，2022年，5月20日，2点13分，星期三性质2 无根，相邻两多项式 ， 无公共根. 性质3 若 是 的根，则第4页，共17页，2022年，5月20日，2点13分，星期三事实上, 因为 ,而故有：性质4 多项式序列 中相继两多项式 和的零点交

2、错隔开.即 假设为 的k个零点，则： 第5页，共17页，2022年，5月20日，2点13分，星期三从而 每个的零点均为单重实零点. 证明：（归纳法） 由于 又：故： 第6页，共17页，2022年，5月20日，2点13分，星期三同理： 故： 于是由 ,得出 类似可得 于是又由 便得 对于 ，均有： 第7页，共17页，2022年，5月20日，2点13分，星期三性质5 在 的邻域，所有多项式 都为正， 且当 自左向右变动经过 的零点 时， 的下降或上升是与 或一致的.Sturm序列基本性质： 1.相邻多项式无公共根 2.若 3.相邻两多项式的根彼此交错 第8页，共17页，2022年，5月20日，2点

3、13分，星期三以下记： 为数列 中相邻两数符号一致的数目（同号数）. 例如：注：若 ，则取它的符号与前一个同号. 例如：矩阵第9页，共17页，2022年，5月20日，2点13分，星期三此时必先求出 的表达式.求多项式 的值时，可用上述递推公式，不表6.4 第10页，共17页，2022年，5月20日，2点13分，星期三-31344.224.55111111140-2-3-3.22-3.5-412-4056.3688.25123208-3-7.626-14.875-328016-16-11-0.91719.062804211100第11页，共17页，2022年，5月20日，2点13分，星期三定理9

4、 若实对称三对角矩阵 的所有次对角元素不为 零，则 是 在区间 中根的数目， 即矩阵 的 的特征根的数目. 证明：由性质5知， 时 的同号数 现让 从 起从左向右变动。 当 不经过所有 的零点 时， 显然不变； 当 经过 的零点 时，也不改变. 第12页，共17页，2022年，5月20日，2点13分，星期三事实上，对于充分小的 在 内 均不变号， 根据性质3和5以及关于 的符号规定， 在 内和 同号，和反号在 内和 反号，和同号它们的符号变化为表6.5，6.6之一.总之，通过 的零点时， 不改变. 第13页，共17页，2022年，5月20日，2点13分，星期三+表6.5表6.6第14页，共17页，2022年，5月20日，2点13分，星期三当 通过 的零点 时，根据同样的论证， 由与 （包括在点 ）同号变到与它反号，因而失去一个同号数，定理证毕. 计算实对称三对角矩阵特征值的二分法 任意区间 中所含C的特征值数目为若C的特征值排列为：且则：第15页，共17页，2022年，5月20日，2点13分，星期三求特征值 的二分法如下： 给定包含 的初始区间 （由特征值的位置估计定理1，可取 ）对（1）取 的中点 （2）计算 的同号数 （3）若 则否则（4）若 则令否则第16页，共17页，2022年，5月20日，2点13分，星期三 特征向量的计算